1S Devoir n° 19 maison mardi 1 avril 2014 Exercice 1:
Cet exercice reprend et complète le troisième algorithme vu au mois de février
Algorithme de Collatz : ( Lothar Collatz : Mathématicien allemand (1910-1990) )
Algorithme écrit en langage courant :
Variables
uest un nombre.
Entrées Saisiru Traitement
Tant queu >1
| Siuest pair
| alors affecteru/2 àu
| sinon affecter 3u+ 1 àu
| Afficheru Fin de tant que Fin
Version Algobox
Vous avez déjà eu l’occasion de tester cet algorithme en classe.
Cet algorithme est à l’origine d’une conjecture, appelée conjecture de syracuse :
Quel que soit le nombre entier non nul choisi au départ, on finit toujours par obtenir 1 dans la suite obtenue avec l’algorithme de Collatz.
Remarque :
• Actuellement cette conjecture n’est pas démontrée et aucun contre-exemple n’a été trouvé.
• Pourquoi syracuse ? Cette conjecture est appelée conjecture de Syracuse ou problème de Syracuse depuis que Helmut Hasse, un ami de Collatz, la présenta à l’université de Syracuse (près de New York) dans les années 50.
Quelques définitions
• La suite de nombres obtenus est appelé levol du nombre de départ.
• Les nombres de la suite sont appelés lesétapesdu vol.
• Le plus grand nombre obtenu est appelél’altitude maximaledu vol.
• Le nombre d’étapes avant d’obtenir 1 est appelé laduréedu vol.
travail à e ff ectuer
L’algorithme indiqué plus haut affiche, pour un nombre donné, les étapes du vol de ce nombre.
1. a. Modifier cet algorithme pour qu’il affiche la durée du vol.
b. Vérifier, à l’aide de ce programme que la durée du vol du nombre 50 est égal à 24.
2. a. Modifier de nouveau l’algorithme pour qu’il affiche la durée du vol et l’altitude maximale de ce vol.
b. Vérifier, à l’aide de ce programme que l’altitude maximale du vol du nombre 50 est égal à 88.
3. À l’aide de ce programme, donner les durées et les altitudes maximales des vols des nombres 18 et 31.
Remarque : Les algorithmes et programmes devront être recopiés sur le devoir selon la présentation habituelle dans un tableau à deux colonnes : algorithme côté gauche, programme pour calculatrice côté droit.
Les programmes pourront être écrits avec le logiciel algobox que l’on télécharge facilement sur Internet. Dans ce cas vous pourrez m’envoyer la version numérique du programme via la messagerie E-Lyco.
Exercice 2:
Deux sources lumineuses sont placées aux extrémités d’une rampe de 5 mètres de longueur.
la source placée en A possède une puissance de 8 W et celle placée en B un puissance de 27 W.
Un point M de la rampe reçoit un éclairement proportionnel à la puissance de la lampe et inversement proportionnel au carré de la distance qui le sépare de la lampe.
On souhaite déterminer la position de M de façon à ce que son éclairement soit minimum.
On pose AM =x.
1. Montrer que l’éclairement du point M est proportionnel àf(x) = 8
x2 + 27 (5−x)2. 2. À l’aide du logiciel Xcas, nous avons obtenu le résultat suivant :
Justifier le résultat obtenu par le logiciel en calculant la fonction dérivée def puis en montrant que cette dérivée est bien égale à l’expression donnée.
3. Déterminer le signe def ′(x) surRpuis dresser le tableau de variation def surR. 4. En déduire la position du point M pour lequel l’éclairement est minimum.
Exercice 3:
Dans le plan muni d’un repère orthonormé O,→−
ı ,→−
d’unité 2cm, placer les points A (−2; 5 ), B ( 1; 1 ) et C ( 3; 7 ).
1. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
2. Déterminer une équation du cercle circonscrit au triangle ABC. Préciser les coordonnées de son centre K et son rayon.
3. Déterminer une équation de la tangente en A au cercle circonscrit.
4. Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (AC). Déterminer la longueur AH.
5. Déterminer la nature de l’ensemble (E) des points M du plan tels que−−−→AM.−−→AC = 5.
6. Représenter (E) sur la figure.
Exercice 4:
ABCD est un carré de centre H.
E est un point du segment [AC] différent de A et C qui se projette sur (AB) en F et sur (BC) en G. Démontrer que le triangle FGH est rectangle et isocèle.
A B
E
D C
H
F
G G
Corrigé Exercice 1:
1. a. Pour afficher la durée du vol, il faut ajouter, à l’intérieur de la boucle, un compteur qui dénombre les différentes étapes de ce vol. On va donc déclarer une variableduree au départ puis l’initialiser à 1 (la première valeur de la suite est donnée). Dans la boucle tant que cette variable est incrémentée puis elle est affichée a la fin.
Algorithme écrit en langage courant : Variables
u est un nombre.
dureeest un nombre.
Entrées Saisiru duree= 1 Traitement
Tant queu >1
| Siuest pair
|| alors affecteru/2 àu
|| sinon affecter 3u+ 1 àu
| fin de Si
| Afficheru
|duree = duree + 1 Fin de tant que
Afficherduree Fin
Version Algobox
b. Vérifier, à l’aide de ce programme que la durée du vol du nombre 50 est égal à 24 : Erreur cette durée est de 25 !
2. a. Modifier de nouveau l’algorithme pour qu’il affiche la durée du vol et l’altitude maximale de ce vol.
Cette fois il faut trouver la valeur la plus élevée parmi toutes les valeurs. Il suffit de créer une nouvelle variablealtitude et l’initialiser à la première valeur de la suite. Ensuite, dans la boucle tant que : si la nouvelle valeurucalculée est supérieure àaltitude, alors nous affectons àaltitudecette nouvelle valeur calculée.
Algorithme écrit en langage courant : Variables
u est un nombre.
duree est un nombre.
altitudeest un nombre.
Entrées Saisiru duree = 1 altitude= 1 Traitement
Tant queu >1
| Siuest pair
|| alors affecteru/2 àu
|| sinon affecter 3u+ 1 àu
| fin de Si
| Afficheru
| Siu >altitude
|| alors affecteruàaltitude
| fin de Si
| duree = duree + 1 Fin de tant que
Afficherduree Afficheraltitude
Version Algobox
3. Nombre 18 : Durée du vol : 21 ; altitude : 52. Nombre 31 : Durée du vol : 107 ; altitude : 9232.
Corrigé Exercice 2:
Deux sources lumineuses sont placées aux extrémités d’une rampe de 5 mètres de longueur.
la source placée en A possède une puissance de 8 W et celle placée en B un puissance de 27 W.
Un point M de la rampe reçoit un éclairement proportionnel à la puissance de la lampe et inversement proportionnel au carré de la distance qui le sépare de la lampe.
On souhaite déterminer la position de M de façon à ce que son éclairement soit minimum.
On pose AM =x.
1. Montrer que l’éclairement du point M est proportionnel àf(x) = 8
x2 + 27 (5−x)2.
L’éclairement est proportionnel à la puissance de la lampe doncf(x) =k1×P(P désigne la puissance ).
L’éclairement est inversement proportionnel au carré de la distance qui le sépare de la lampe doncf(x) =k2× 1 d2 (d désigne la distance). Au finalf(x) =k× P
d2.
• Pour la lampe A, L’éclairement est donc proportionnel à 8 x2.
• Pour la lampe B, L’éclairement est donc proportionnel à 27 (5−x)2.
Les deux éclairement s’ajoutent. Nous obtenons donc que l’éclairement du point M est proportionnel à f(x) = 8
x2 + 27 (5−x)2.
2. Dérivée def : La dérivée de 1
v étant−v′
v2, donc8 x2
′
=−8×2x x4 =−16
x3 (5−x)2= 25 +x2−10xdonc
(5−x)2′
= 2x−10 = 2(x−5) puis 27 (5−x)2
!′
=−27×2(x−5)
(5−x)4 =54(5−x)
(5−x)4 = 54 (5−x)3 Alorsf ′(x) =−16
x3 + 54
(5−x)3 =−16(5−x)(5−x)2+ 54x2 x3(5−x)3 .
Développons le numérateur def(x) :N1(x) =−16(5−x)(25 +x2−10x) + 54x3
N1(x) =−16(125−50x+ 5x2−25x+ 10x2−x3) + 54x3=−2000 + 800x−80x2+ 400x−160x2+ 16x3+ 54x3 N1(x) = 70x3−240x2+ 1200x−2000
Développons le numérateur de l’expression proposée :N2(x) =−10(x−2)(7x2−10x+ 100) N2(x) =−10(7x3−10x2+ 100x−14x2+ 20x−200) =−10(7x3−24x2+ 120x−200)
N2(x) =−70x3+ 240x2−1200x+ 2000
Nous constatons que les numérateurs sont opposés mais les dénominateurs le sont aussi carx−5 et 5−xsont opposés donc leurs cubes le sont aussi.
Finalement l’expression def ′(x) est bien égale à l’expression proposée.
3. Déterminer le signe def ′(x) surRpuis dresser le tableau de variation def surR.
Pour étudier les signe def ′(x), il faut remarquer quexetx3 ont le même signe, doncx−5 et (x−5)3 ont le même signe.
Pour 7x2−10x+ 100 :∆=−2700 donc 7x2−10x+ 100 est strictement positif.
Nous en déduisons quef ′(x) a le même signe que−10(x−2) =−10x+ 20, d’où le tableau de signe def ′(x) et les variations def(x) :
x −∞ 0 2 5 +∞
−10(x−2) + + 0 − −
7x2−10x+ 100 + + + +
x3 − 0 + + +
(x−5)3 − − − 0 +
f ?(x) + − 0 + −
f(x) ✒ ❅
❅❅❘ 5
✒ ❅❅
❅
❘
Exercice 3:
Dans le plan muni d’un repère orthonormé O,→−
ı ,→−
d’unité 2cm, placer les points A (−2; 5 ), B ( 1; 1 ) et C ( 3; 7 ).
1. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
AB=
q
(1−(−2))2+ (1−5)2=√
9 + 16 =√
25 = 5. AC=
q
(3−(−2))2+ (7−5)2=√
25 + 4 =√ 29 . BC=
q
(3−1)2+ (7−1)2=√
4 + 36 =√
40 . Le triangle ABC ne présente aucune particularité ! 2. Équation du cercle circonscrit au triangle ABC. Préciser les coordonnées de son centre K et son rayon.
Le centreΩdu cercle circonscrit au triangle ABC est l’intersection des médiatrices de [BC] et [AC].
La médiatrice (d3) de [BC] est la perpendiculaire à [BC] passant par A’ ( 2 ; 4 ) : M (x; y)∈(d3) ⇔ −−−→A’M x−2
y−4 et −−→BC 3−1 = 2
7−1 = 6 sont orthogonaux.
⇔ 2(x−2) + 6(y−4) = 0⇔ 2x+ 6y−28 = 0(d3) ⇔ x+ 3y−14 = 0 (d3) La médiatrice (d4) de [AC] est la perpendiculaire à [AC] passant par B’ ( 0.5 ; 6 ) :
M (x; y)∈(d3) ⇔ −−−→B’M x−0.5
y−6 et −−→AC 3−(−2) = 5
7−5 = 2 sont orthogonaux.
⇔ 5(x−0.5) + 2(y−6) = 0⇔ 5x+ 2y−14.5 = 0 Intersection des droites (d3) et (d4). Il faut résoudre le système
( x+ 3y−14 = 0 10x+ 4y−29 = 0
−4x −12y + 56 = 0 : −4×(L1) 30x + 12y −87 = 0 : 3×(L2) 26x −31 = 0 : x=31
26
10x + 30y −140 = 0 : 10×(L1)
−10x −4y + 29 = 0 : −(L2) 26y −111 = 0 : y=111
26 Les coordonnées du centre K du cercle circonscrit au triangle ABC sont31
26; 111 26
. Le rayon du cercle circonscrit est égal à AK avec AK2=31
26+ 22
+111 26 −52
=83 26
2
+
−19 26
2
=7250 262 . Il est donc égal à5√
290 26 . Une équation de ce cercle est
x−31 26
2
+ y−111
26 2
=7250
262 soit (26x−31)2+ (26y−111)2= 7250 3. Déterminer une équation de la tangente en A au cercle circonscrit.
La tangente en A au cercle est la perpendiculaire à la droite (AK) passant par A.
M (x; y)∈(TA) ⇔ −−−→AM x+ 2 y−5
et −−→AK 31 26+ 2 111
26 −5
sont orthogonaux.
⇔ 31
26+ 2
(x+ 2) +111 26 −5
(y−5) = 0
⇔ 83(x+ 2)−19(y−5) = 0⇔83x+ 19y+ 261 = 0
4. Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (AC). Déterminer la longueur AH.
La hauteurhBissue de B est la perpendiculaire à (AC) passant par B M (x; y)∈(hB) ⇔ −−−BM→ x−1
y−1 et −−→AC 3−(−2) = 5
7−5 = 2 sont orthogonaux.
⇔ 5(x−1) + 2(y−1) = 0⇔ 5x+ 2y−7 = 0 (hB) Équation de la droite (AC) :
M (x; y)∈(AC) ⇔ −−−→AM x+ 2
y−5 et −−→AC 3−(−2) = 5
7−5 = 2 sont colinéaires.
⇔ 2(x+ 2)−5(y−5) = 0⇔ 2x−5y+ 29 = 0 (AC)
Corrigé Intersection des droites (AC) et(hB). Il faut résoudre le système
( 5x+ 2y−7 = 0 2x−5y+ 29 = 0 25x + 10y −35 = 0 : 5×(L1)
4x −10y + 58 = 0 : 2×(L2)
29x 23 = 0 : x=−23
29
10x + 4y −14 = 0 : 2×(L1)
−10x + 25y −145 = 0 : −5×(L2) 29y −159 = 0 : y=159
29 Les coordonnées de la projection de B sur (AC) sont
−23 29 ; 159
29
. Longueur AH =
s −23
29 + 2 2
+ 159
29 −5 2
= s
−23 + 58 29
2
+
159−145 29
2
=
√352+ 142
29 =
√1421 29 =7√
29 29
5. Déterminer la nature de l’ensemble (E) des points M du plan tels que−−−→AM.−−→AC = 5.
M (x; y)∈(E) ⇔ −−−→AM x+ 2
y−5 et −−→AC 3−(−2) = 5 7−5 = 2
⇔ 5(x+ 2) + 2(y−5) = 5⇔ 5x+ 2y−7 = 5 L’ensemble (E) est la droite d’équation 5x+ 2y−12 = 0 6. Représenter (E) sur la figure.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−1
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
−6
bA
bB
bC
bH
b
K
b
Exercice 4:
ABCD est un carré de centre H.
E est un point du segment [AC] différent de A et C qui se projette sur (AB) en F et sur (BC) en G. Démontrer que le triangle FGH est rectangle et isocèle.
A B
E
D C
H
F
G G
Choisissons le repère (A ;1 2
−−→AB ;1 2
−−−→ AD )
Les points ont alors les coordonnées suivantes : A ( 0 ; 0), B ( 2 ; 0), C (2 ; 2), D (0 ; 2) et H (1 ; 1).
Comme E est sur la droite (AC), ses coordonnées sont (x;x). Nous en déduisons que les coordonnées de F et G sont F (x; 0) et G (2 ;x).
alors −−→HF x−1
−1 donc HF = q
(x−1)2+ (−1)2=√
x2−2x+ 2 et −−−→HG 1
x−1 donc HG = q
12+ (x−1)2=√
x2−2x+ 2 = HF.
−−→HF.−−−→HG =−1(x−1) + 1(x−1) = 0 donc les vecteurs −−→HF et−−−→HG sont orthogonaux . Conclusion : Le triangle FGH est rectangle et isocèle.
