Le circuit RLC série dans tous ses états
Le but de ce second projet Python est d’étudier numérique le comportement d’un circuit RLC série, dans tous ses états (régime transitoire et régime sinusoïdal forcé).
1. Etude du régime transitoire d’un circuit RLC série
1.1. Etude analytique
On étudie le régime libre d’un circuit RLC série, en établissant à tout instant la tension 𝑢! 𝑡 aux
bornes du condensateur.
1.1) Déterminer les conditions initiales du circuit, à savoir :
𝑢! 𝑡=0 et 𝑑𝑢!
𝑑𝑡 𝑡 =0
1.2) Déterminer l’équation différentielle régissant l’évolution de la tension 𝑢! 𝑡 aux bornes du condensateur et en déduire la pulsation propre 𝜔! et le facteur de qualité 𝑄 du circuit 𝑅𝐿𝐶 série.
1.3) Quelle est la condition sur le facteur de qualité pour que le régime soit apériodique ? critique ? pseudo-‐périodique ?
1.4) Déduire l’expression de la résistance critique, notée 𝑅!, en fonction de L et C.
1.5) Déterminer l’expression complète de 𝑢! 𝑡 pour les 3 régimes de fonctionnement.
1.6) Quel est l’ordre de grandeur 𝜏 de la durée du régime transitoire ?
1.7) Tracer l’allure de la tension 𝑢! 𝑡 aux bornes du condensateur dans les 3 régimes de fonctionnement.
1.2. Etude numérique
On souhaite ici modéliser numériquement la charge d’un circuit 𝑅𝐿𝐶 série.
Pour les modélisations, on prendra les valeurs numériques suivantes :
• 𝐿=10 mH
• 𝐶=10 nF
• 𝑅!=𝑅! valeur de la résistance pour être en régime critique, puis 𝑅!=5𝑅! et 𝑅!=𝑅!/10
• 𝐸=5 V
2 Projet Python 2 : Le circuit RLC série dans tous ses états
1.8) Dans l’éditeur, importer les modules scientifiques nécessaires pour le problème : -‐ numpy
-‐ matplotlib.pyplot
-‐ scipy.integrate (pour la résolution des équations différentielles).
1.9) Déclarer et affecter les variables suivantes :
-‐ l’inductance (notée L) et la capacité (notée C) du circuit
-‐ les 3 valeurs de résistance (notées R1, R2 et R3) correspondant aux trois régimes de fonctionnement possibles
-‐ la pulsation propre (notée omega0)
-‐ la valeur du facteur de qualité dans les trois régimes de fonctionnement (notés Q1, Q2 et Q3) -‐ l’amplitude (notée E) de la tension créneau
-‐ la durée caractéristique (notée tau) du régime transitoire
-‐ les conditions initiales pour la charge du condensateur : tension initiale (notée uc_0) et dérivée de la tension initiale (notée duc_0).
1.10) Définir un vecteur (noté t) contenant 1000 points et dont les valeurs sont comprises entre 𝑇=0 s et 𝑡=5𝜏.
1.11) Définir la fonction (appelée decharge) définissant l’équation différentielle régissant la décharge du condensateur (indépendamment du régime de fonctionnement).
1.12) Résoudre l’équation différentielle régissant la décharge du condensateur dans les 3 régimes de fonctionnement. On notera uc1, uc2 et uc3 les solutions correspondantes.
1.13) Tracer l’évolution de la tension aux bornes du condensateur au cours de la charge dans les 3 régimes de fonctionnement.
2. Etude du régime sinusoïdal forcé d’un circuit RLC série
2.1. Etude analytique
On souhaite étudier le fonctionnement d’un circuit RLC série en régime sinusoïdal forcé, en déterminant à tout instant l’expression des différentes grandeurs électriques du circuit. Pour cela, on considère un circuit RLC série soumis à une tension sinusoïdale de pulsation 𝜔 et de valeur efficace 𝑈 :
𝑢!= 2𝑈cos 𝜔𝑡
La tension aux bornes du condensateur et l’intensité circulant dans le circuit s’identifient donc aux solutions particulières de l’équation différentielle et peuvent se mettre sous la forme :
𝑢!= 2𝑈!cos 𝜔𝑡+𝜑 et 𝑖 𝑡 = 2𝐼cos 𝜔𝑡+𝜑′
• Etude de la résonance en intensité
2.1) Déterminer l’expression de l’intensité efficace I circulant dans le circuit en fonction de U, et de 𝜔! pulsation propre et Q facteur de qualité du circuit RLC.
2.2) Déterminer pulsation de résonance en intensité ainsi que les conditions d’une telle résonance.
Projet Python 2 : Le circuit RLC série dans tous ses états 3
• Etude de la résonance en tension
2.3) Montrer que la fonction de transfert du circuit RLC peut se mettre sous la forme : 𝐻= 1
1−𝜔! 𝜔!!+ 𝑗𝜔
𝑄𝜔!
2.4) Pour quelle valeur du facteur de qualité existe-‐il un phénomène de résonance en tension ? A quelle valeur de résistance, cette valeur du facteur de qualité correspond-‐elle ?
2.5) Par rapport aux régimes de fonctionnement du régime transitoire, dans quel régime a-‐t-‐on résonance en tension ? Commenter.
2.2. Etude numérique
On souhaite ici modéliser numériquement la résonance en tension et la résonance en intensité d’un circuit 𝑅𝐿𝐶 série, alimenté par une tension sinusoïdale de fréquence 𝑓 variable.
Pour les modélisations, on prendra les valeurs numériques suivantes :
• 𝐿=10 mH
• 𝐶=10 nF
• 𝑅!=𝑅! valeur de la résistance pour être en régime critique, puis 𝑅!=10𝑅! et 𝑅!=𝑅!/10
• 𝑈=5 V
2.6) Déclarer et affecter les variables qui ne l’ont pas été dans la partie précédente.
2.7) Définir un vecteur (noté f) contenant 500 points et dont les valeurs sont comprises entre 𝑓=0 Hz et 𝑓=100 kHz.
• Etude de la résonance en intensité
2.8) Définir 3 vecteurs (noté I1, I2, I3) correspondant à la valeur efficace de l’intensité circulant dans le circuit dans les 3 régimes de fonctionnement.
2.9) Tracer l’intensité efficace dans le circuit en fonction de la fréquence dans les 3 régimes de fonctionnement.
2.10) A l’aide des fonction np.amax et np.argmax du module numpy (dont on cherchera la fonction et le principe d’utilisation sur le site de Numpy), déterminer la fréquence de résonance en intensité et comparer à la valeur de l’étude théorique.
• Etude de la résonance en tension
2.11) Définir 3 vecteurs (noté H1, H2, H3) correspondant à la fonction de transfert dans les 3 régimes de fonctionnement.
2.12) Tracer la fonction de transfert en fonction de la fréquence dans les 3 régimes de fonctionnement.
2.13) A l’aide des fonction np.amax et np.argmax du module numpy, déterminer la fréquence de résonance en tension et comparer à la valeur théorique.
