TD de Physique n o 12 : Ondes sonores dans les fluides

E.N.S. de Cachan Département E.E.A.

M2 FE 3

année

Physique appliquée 2011-2012

TD de Physique n ^o 12 : Ondes sonores dans les fluides

et diffusion de particules

Exercice n^o1 : Ondes sonores dans les fluides : modélisation (cours)

1. Écrire, dans le cadre de l’approximation acoustique, l’équation d’Euler et l’équation locale de conser- vation de la masse.

2. Exploiter le caractère isentropique de l’écoulement pour établir une relation liant les dérivées tempo- relles deP1(M, t)et de ρ1(M, t)et le coefficient de compressibilté isentropique.

3. Montrer queP1(M, t)et~v1(M, t)sont solutions d’une équation de propagation de d’Alembert. Donner l’expression de la céléritéc associée. Commenter.

4. On suppose, dans cette question, que le fluide est un gaz parfait de coefficient isentropiqueγ, de masse molaireM dont la températureT0est uniforme. Donner alors l’expression decen fonction deR(la constante des gaz parfaits),T0,M et γ. Faire l’application numérique dans le cas de l’air avec M = 29g.mol⁻¹ à25˚C.

5. Les fréquences sonores audibles correspondent à la plage allant de20 Hzà 20kHz. Établir la plage de longueur d’onde correspondante à25˚C. Commenter.

Exercice n^o2 : Structure des ondes sonores planes progressives (cours) 1. Rappeler la définition et l’intérêt des ondes planes progressives harmoniques.

Les deux équations de propagation de d’Alembert obtenues à la question 3 de l’exercice n^o1 ne sont qu’une condition nécessaire où les champsP1(M, t),v1,x(M, t),v1,y(M, t)etv1,z(M, t)semblent indépendants.

En réalité les équations couplées reliant P1(M, t) et ~v1(M, t) et le caractère irrotationnel de l’écoulement imposent un couplage entre ces champs et une structure aux ondes planes progressives.

2. Montrer que les ondes sonores planes progressives sont longitudinales.

3. Soit une onde sonore plane progressive caractérisée par les champsP1(M, t)et~v1(M, t) =v1(M, t)~uoù

~

uest sa direction de propagation. Donner l’expression du rapportZOP P =P1/v1, appelé impédance acoustique du milieu. Commenter.

Exercice n^o3 : Ondes sonores dans un pavillon exponentiel

On envisage (cf figure ci-contre) la propagation d’ondes sonores dans un volume limité par une surface de révolution d’axe Ox et de section variable S(x) = exp(σx)où σet S₀ sont des constantes. Au repos, la pressionP₀ et la masse volumiqueρ₀ sont uniformes. On note χ_s le coefficient de compres- sibilité isentropique de l’air etc= 1/√

ρ₀χ_s. L’onde sonore est décrite par les champsP₁(x, t)etρ₁(x, t)et le champ des vitesses~v₁pour lequel on fait l’ap- proximation de l’écoulement quasi-unidimensionnel en posant~v₁=v₁(x, t)~u_x. On traite le problème dans l’approximation acoustique.

1. En faisant un bilan de masse pour le système ouvert (V) compris entre les abscisses xet x+dx (cf figure), établir une équation aux dérivées partielles linéaires à coefficients constants reliantρ1 etv1.

2. À l’aide de l’équation d’Euler et de l’équation traduisant l’évolution thermodynamique du fluide, établir deux autres équations reliant les champsP1,ρ1 et v1.

3. En déduire la relation de dispersion pour des pseudo-OPPH proportionnelles à exp(j(ωt−kx)) et discuter la nature des ondes suivant les valeurs de la pulsation.

Exercice n^o4 : Réflexion et transmission des ondes sonores planes au niveau du raccordement de deux conduites

On étudie la réflexion et la transmission d’ondes sonores planes au niveau du raccordement de deux conduites de sectionsS₁ et S₂ (cf figure ci-contre : a) Cas réel b) Modélisation).

1. Montrer que l’on a continuité de la pression en x = x₀ : P₁(x₀, t) =P₂(x₀, t).

2. Montrer que l’on a continuité du débit volumique au ni- veau du raccordement : D_V,1(x₀, t) = S₁v₁(x₀, t) = D_V,2(x₀, t) = S2v2(x0, t).

On définit l’impédance acoustique d’une conduite de section S par :Z =ρ0c/S.

3. Établir les expressions des coefficients de réflexion et de transmission en amplitude (pour le débit volumique et la surpres- sion) en fonction des impédances acoustiques des conduites raccor- dées.

4. Simplifier les expressions obtenues lorsque les conduites contiennent

le même fluide, et ne différent que par leurs sections. Commenter les cas limitesS2=∞etS2= 0.

Exercice n^o5 : Instruments à vent

Une OPPHv_1i =A_icos(ωt−kx) se propage dans le demi-espacex <0. Un obstacle imperméable placé enx= 0 impose la condition aux limites v1(0, t) = 0. Dans cet exercice on notec la célérité du son dans le fluide considéré.

1. Déterminer l’expression du champ des vitesses associé à l’onde résultante dans le demi-espace x <0.

Montrer qu’il s’agit d’une onde stationnaire.

2. Donner l’expression du champ de pression associé. Commenter.

3. Les instruments à vent à embouchure de flûte sont assimilables à un tuyau de longueurLouvert à ces deux extrémités. On admettra le résultat de l’exercice n˚4 : une extrémité ouverte sur l’atmosphère extérieure correspond en première approximation à un nœud de surpression. Déterminer les fréquences νp (avec p un entier naturel non nul) des modes de résonance du tube. Commenter.

4. Les instruments à vent possédant une anche (hautbois, clarinette) et ceux pour lesquels ce sont les vibrations des lèvres du musicien qui sont amplifiées sélectivement sont assimilables à un tuyau de longueurL ouvert à une de ses extrémités et fermé à l’autre.

a) Donner les conditions aux limites associées à ce problème.

b) Déterminer les fréquencesν_p(avecpun entier naturel non nul) des modes de résonance du tube. Commenter.

Exercice n^o6 : Aspects énergétiques (cours)

Une onde sonore (P1,~v1) se propage dans un fluide dont la pression au repos est uniforme et notéeP0. 1. Établir l’équation locale de conservation de l’énergie sonore en calculant la divergence du vecteur densité de flux de puissance sonore. Commenter.

2. On considère le cas une onde sonore plane progressive de direction~u.

a) Montrer que les densités d’énergie cinétique ec et interne ei sont égales. Puis établir la relation existant entre~Πetela densité d’énergie sonore.

b) L’intensité sonore en décibelsLest définie par :

L= 10 logI I₀

= 10 log<||Π||~ >

<||Π~0||>

où les valeurs moyennes sont faites sur le temps et où I₀ =< ||Π~₀|| >= 10⁻¹² W.m⁻² est une valeur de référence correspondant au seuil d’audition (à1500Hz) d’une oreille moyenne. À10mètres de la fusée Ariane au décollage, l’intensité sonore est de140dB (niveau sonore synonyme de destruction immédiate de l’oreille).

Calculer les vitesse et pression maximales associées à ce niveau sonore à 25˚C.

Données : vitesse du son dans l’air supposé parfait à 25˚C : 347 m.s⁻¹; masse volumique de l’air : ρ0 = 1,3kg.m⁻³.

c) Justifier alors la validité de l’approximation acoustique en calculant en ordre de grandeur le rapport de l’accélération convective par l’accélération locale.

Exercice n^o7 : 0ndes sonores sphériques

Une sphère pulsante de centre fixe O dont le rayona(t) =a0+a1cos(ωt)varie sinusoïdalement avec une amplitudea₁ << a₀ << λ, émet des ondes sonores dans tout l’espace extérieur à la sphère, rempli d’air de masse volumiqueµ₀où la célérité des ondes sonores vautc. Compte tenu de la symétrie du problème, on cherche en coordonnées sphériques de centre O des champs de la formeP₁(M, t) = P₁(r, t) et ~v₁(M, t) =v₁(r, t)~u_r. On rappelle que pour un champ scalaire f(r, t)ne dépendant ni de θ, ni deϕ en coordonnées sphériques, le laplacien peut s’écrire :

∆f =1 r

∂²(rf(r))

∂r²

1. Déterminer la forme générale des solutionsP1(r, t)de l’équation de d’Alembert et interpréter. Justifier qu’on doit choisirP₁= (1/r)f(r−ct).

2. Dans la suite, on pose k=ω/cet on cherche une solution de la forme P₁ = (A/r) cos(ωt−kr−α).

Déterminer le champ des vitesses correspondant et commenter la structure de l’onde pourr >> λ.

3. Simplifier l’expression du champ des vitesses pour r << λ et déterminer A et α en exploitant la condition aux limites sur la sphère.

4. Exprimer la puissance moyenne rayonnée à travers une sphère de centreO et de rayon r >> λ.

5. Exprimer l’impédance complexeZ_R=P₁/v₁au niveau de la membrane et la comparer à l’impédance ZOP P des ondes planes progressives. En déduire pourquoi on peut considérer qu’on a un nœud de pression à l’extrémité d’un tuyau ouvert sur une atmosphère, dont la section a pour dimension typiquea0<< λ.

Exercice n^o8 : Réflexion-transmission d’une OPP sous incidence normale (cours) On considère deux domaines (D⁰) et (D⁰⁰) de l’es-

pace séparés au repos par le plan d’équationx = 0et remplis de deux fluides différents de masse volumique au reposρ⁰₀ etρ⁰⁰₀, dans lesquels le son a pour célérité c⁰ et c⁰⁰ (cf figure ci-contre). Les impédances acoustiques des milieux sont notéesZ_{OP P}⁰ etZ_{OP P}⁰⁰ . La pression au repos P₀ prend la même valeur dans tout l’espace. Par ana- logie avec l’optique cette structure est appelée "dioptre acoustique".

Une onde plane progressive se propage dans le domaine (D⁰) dans la direction ~ux. Elle donne a priori naissance , au niveau du dioptre acoustique, à une onde réfléchie et à une onde transmise. On donneP₁⁰ etP₁⁰⁰ les surpressions etv₁⁰ et v⁰⁰₁ les vitesses de part et d’autre du dioptre.

1. Justifier qu’il y ait continuité des champs de pression et des vitesses à l’interface.

2. On introduit r (resp. t) le coefficient de réflexion (resp. transmission) en amplitude pour la vitesse.

Donner leurs expressions en fonction deZ_{OP P}⁰ etZ_{OP P}⁰⁰ . Commenter.

3. On introduit R (resp. T) le coefficient de réflexion (resp. transmission) en puissance. Rappeler les définitions deRet T et donner leurs expressions en fonction deZ_{OP P}⁰ etZ_{OP P}⁰⁰ . Commenter.

4. Vérifier la cohérence de ces expressions avec la conservation de la puissance.

Exercice n^o9 : Création d’une onde sonore

Un haut-parleur peut, en première approximation, être modélisé (cf figure ci-contre) du point de vue de son rayonnement par un disque de rayon a et de surface πa². On repère la position du disque sur l’axe Oz par sa cote ξ(t), prise nulle au repos et on pose V(t) = ˙ξ(t). On se place en régime sinusoïdal :ξ=ξ0e^jωt. On admet que le disque impose les conditions aux limites de l’onde qu’il rayonne et que l’onde est localement plane au voisinage du disque. On pose alors : v(0) = V et on note p(0) la surpression supposée uniforme au niveau de la face du disque dirigée vers les z croissants.

I- Surpression sur l’axe

1. On s’intéresse à la surpression sur l’axe au point M de coordonnées (0,0,z) avec z>0. Montrer en appliquant l’analogue du principe de Huygens-Fresnel pour les ondes sonores que la surpression élémentaire complexe créée en M par une couronne élémentaire de rayon r de la membrane vaut :

dp(z) = Kp(0)2πrdre^−jk

√r²+z²

√r²+ z² .

2. Établir la relation

p(z) = A e^−jk

√z²+a²

−e^−jkz , en exprimantAen fonction des données.

3. Détermination de A.On suppose, uniquement dans cette question, le milieu légèrement absorbant.

Traduire cette propriété sur k. Que devientp(z)lorsque a→+∞? Quelle est alors la nature de l’onde ? En déduire queA = p(0). On admettra la généralité du résultat et on adopte cette valeur pour toute la suite du problème.

4. On note λ la longueur d’onde de l’onde sonore émise et on se place dans les conditions de champ lointain :z>>aetλ/a>>a/z. Pour z=1 m, ces conditions sont-elles numériquement vérifiées pour un haut- parleur dont la plage d’utilisation est 0,8−8 kHz et tel que S = 73 cm². Dans toute la suite et dans ces conditions, on admettra que les ondes sont localement planes ce qui permettra d’utiliser les résultats du cours.

5. Montrer que dans les conditions de champ lointain :

|p(z)| ' ρ₀ξ₀Sω² 2πz , avecρ₀ la masse volumique de l’air.

6. Applications numériques.Calculer l’amplitude de vibration du disque produisant une intensité sonore de 90 dB à 1 m du disque sur l’axe, pour f=1 kHz puis pour f=60 Hz. Commenter ces deux valeurs.

II- Directivité

1. Dans les conditions de champ lointain, on considère un pointM⁰ tel que l’angle entre −−−→

OM⁰ et Oz soit égal àθ. S’il existe, quel est (approximativement) le plus petit d’angleθpour lequel on observe un minimum de diffraction ? En déduire une condition pour que le rayonnement d’un haut-parleur ne s’annule dans aucune direction. Pour quelles fréquences cette condition est-elle vérifiée pour le haut-parleur précédent ?

2. Pourquoi les haut-parleurs d’aigus sont-ils si petits ?

Exercice n^o10 : Diffusion en présence de sources de particules

On étudie la diffusion unidimensionnelle de neutrons dans un barreau de plutonium cylindrique d’axeOx et de section droite d’aire S, s’étendant entre les abscisses x = 0 et x = L. On note n(x, t) la densité de neutrons à l’abscissexet à l’instantt. Cette diffusion satisfait à la loi de Fick, avec un coefficient de diffusion D= 22m².s⁻¹.

Les réactions nucléaires entre les neutrons et la matière entraînent une production de neutrons : il apparaît δ²N = Kn(x, t)Sdxdtpendant une durée dt dans une tranche d’épaisseur dx, où K = 3,5.10⁴ s⁻¹ est une constante positive caractéristique des réactions nucléaires. On admet en première approximation quen doit s’annuler à tout instant aux extrémités du cylindre, en x= 0 et x=L. En revanche, on suppose que n(x, t) ne s’annule pas à l’intérieur du cylindre.

1. Établir l’équation aux dérivées partielles vérifiées parn(x, t).

2. Dans le cas du régime stationnaire, déterminern(x)à une constante multiplicative près. Montrer que ce régime n’est possible pour une valeur particulièreLS deLdont on donnera l’expression.

3. En régime quelconque, chercher n(x, t) à une constante multiplicative près, sous la forme n(x, t) = f(x)g(t).

4. En déduire que n(x, t) diverge si L est supérieure à une valeur critique L_C que l’on déterminera.

Application numérique.

Exercice n^o11 : Diffusion sphérique

On considère un milieu dans lequel se produit la diffusion de neutrons caractérisée en un pointM par la densité particulairen(r, t)dépendant uniquement der=OM et det. Les particules radioactives qui produisent les neutrons sont présentes dans la sphère de centreOet de rayona. Elles produisentσneutrons par unité de volume et de temps.σest une constante.

1. Établir l’équation aux dérivées partielles vérifiées parn(r, t).

2. Déterminer les solutionsn(r)en régime stationnaire.

Exercice n^o12 : Diffusion d’atomes dans les solides

On considère un phénomène unidimensionnel (suivant la direction Ox) de diffusion d’atomes, dans un milieu occupant tout le demi-espace x > 0. On appelle D le coefficient de diffusion et n(x, t) la densité d’atomes enxà l’instantt. On note~jle vecteur densité de courant particulaire.

À l’instant initial, la concentration en atomes est nulle partout sauf dans une faible épaisseur située en x= 0, où l’on implante une quantitéQd’atomes par unité de surface.

1. Établir l’équation aux dérivées partielles vérifiée parn(x, t).

2. On montre alors que la densité d’atomes dans le matériau au cours de la diffusion est de la forme :

n(x, t) =B(t) exp

− x² A(t)

oùA(t)et B(t)sont des fonctions du temps. Déterminer les fonctions A(t) etB(t)en fonction deQ,D et t.

On donne l’intégrale :

Z ∞

0

exp(−u²)du=

√π

2

3. Déterminer la profondeur de diffusionhpour laquellen(h, t) =n(0, t)/e.

4. Au bout d’une heure,hvaut5µm. Donner l’allure du profil des concentrations àt₁= 1het àt₂= 3h.

Problème : Quelques aspects de la circulation sanguine (suite)

Deuxième partie

Propagation d’ondes dans un tube élastique

On considère un tube élastique de longueur infinie que l’on repère avec un axe Ox (cf figure ci-contre). On supposera par la suite que toutes les grandeurs physiques ne dépendent que de l’abscisse xet du temps. À l’intérieur de ce tube on trouve un fluide que l’on considère non visqueux. On noteraρ(x, t) =ρ₀+ ρ₁(x, t)la masse volumique de ce fluide, P(x, t) =P₀+P₁(x, t)

la pression etu(x, t)sa vitesse que l’on supposera dirigée selon l’axe Ox. Les grandeursρ₀etP₀correspondent à l’état du fluide au repos. Les effets de pesanteur sont négligés.

1. Dans cette partie, on s’intéresse à l’aorte et aux grosses artères de l’être humain.

a) Justifier que l’on peut négliger les effets de la viscosité pour étudier la dynamique de la circulation dans cette partie du système circulatoire. Écrire l’équation d’Euler pour le fluide.

b) Linéariser l’équation obtenue. À quelles conditions peut-on le faire ? On vérifiera à la fin de cette section que ces conditions sont bien satisfaites.

2. Le tube est élastique de section variableS(x, t) =S0+S1(x, t).

a) Établir l’équation exprimant la conservation de la matière. On considérera le fluide dans le volume compris entrexetx+dx.

b) Linéariser cette équation. En utilisant le coefficient de compressibilité isentropique du fluideχet le coefficient de distensibilité du tubeD= ¹_S∂P^∂S, obtenir une équation reliant ^∂P_∂t¹ et ^∂u_∂x.

3. En déduire l’équation de propagation pour les ondes dans ce tube et montrer que leur célérité est donnée par :

1

c² =ρ0(χ+D)

4. La masse volumique du sang ainsi que sa compressibilité sont semblables à celles de l’eau. La célérité du son dans l’eau vautceau= 1400 m.s⁻¹. Déterminer la célérité des ondes dans un tube métallique dont la distensibilité vautD_m= 10⁻¹¹P a⁻¹et dans un vaisseau sanguin où la distensibilité vautD_v= 4∗10⁻⁵P a⁻¹. Comparer les valeurs obtenues.

5. On place en x = 0 une pompe imposant un débit massique Q_m(t) à l’origine. On suppose que cet écoulement est tel que les vitesses et surpressions sont petites.

a) En supposant qu’aucune onde ne provient de l’infini, déterminer l’expression de la vitesseu(x, t)et de la surpressionP1(x, t)du fluide sur le demi-axeOz positif à l’aide de la fonctionQm.

b) Le débit volumique moyen imposé par le cœur est Q= 4,5 L.min⁻¹. Quel est l’ordre de grandeur de la surpression nécessaire pour assurer ce débit ? Comparer avec le cas d’un tube rigide. Commenter.

c) Avec l’âge, la distensibilité des vaisseaux diminue (artériosclérose). Quels effets de ce phénomène prévoyez- vous sur l’organisme ? Un moyen de traitement est d’insérer un ballon (très allongé) rempli de gaz dans l’aorte, ne l’obturant qu’en partie ; justifier qualitativement ce procédé.

6. Que peut-on penser des approximations faites lors de la linéarisation pour les valeurs données dans cette partie ? Évaluer en particulier l’amplitude relative des oscillations de rayon de l’aorte.