Analyse Numérique. Saiida LAZAAR. ENSA de Tanger Université AbdelMalek Essaadi, Maroc

ESCE UM AVEIRO

Analyse Numérique

Saiida LAZAAR

ENSA de Tanger

Université AbdelMalek Essaadi, Maroc

Méthodes numériques pour la résolution d’équations différentielles

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

ESCE UM AVEIRO Introduction

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

Introduction

- Certaines équations différentielles ne peuvent pas être résolues sous forme explicite. Ex. : ^dy_dt =y²−t

- Cependant, on peut approximer la solution de ces équations par des méthodes numériques.

- Nous allons nous concentrer sur le problème de Cauchy et nous allons voir des méthodes d’approximation de typeEuler, etRunge Kutta.

- Par soucis de simplicité, nous allons nous restreindre aux méthodes à un pas.

ESCE UM AVEIRO Introduction

Problème de Cauchy

Hypothèses

SoitIun intervalle deIR non réduit à un point, soitt₀∈I.

f désigne une fonction continue surI×IR à valeurs dansIR. Soit y₀un réel donné.

Introduction

Problème de Cauchy

Définition

On appelle problème de Cauchy le problème suivant : Trouvery une fonction continue et dérivable surIà valeurs réelles telle que :

∀t ∈I,y⁰(t) =f(t,y(t)), y(t₀) =y₀

ESCE UM AVEIRO Méthode d’Euler

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

Méthode d’Euler

Méthode d’Euler

Introduction

Soit le problème différentiel suivant : trouvery telle que

∀t ∈[t₀,t₀+T] y⁰(t) =f(t,y(t)), y(t₀) =y₀

Nous supposons quef est continue sur[t₀,t₀+T]×IRet vérifie une hypothèse deLipshitz:

∃L/∀t ∈[t₀,t₀+T],|f(t,y)−f(t,z)| ≤L|y−z|, ∀y,z ∈IR Nous allons voir que le problème de Cauchy admet une solution unique qu’on va approcher de façon discrète.

ESCE UM AVEIRO Méthode d’Euler

Solution du problème de Cauchy

Discrétisation

On se donne une subdivision de[t₀,t₀+T]soit : t₀<t₁< ... <t_N = (t₀+T)

On poseh_n=t_n+1−t_n pourn=0, ...,N−1 le pas de discrétisation et on noteh=maxh_n

Solution numérique

Siy désigne la solution du problème de Cauchy, on :

y(t_n+1) =y(tn) + Z t_n+1

tn

y⁰(t)dt=y(tn) + Z t_n+1

tn

f(t,y(t))dt

Méthode d’Euler

Solution du problème de Cauchy

Schéma d’Euler

La méthode d’Euler s’écrit en remplaçantRtn+1

tn f(t,y(t))dtpar f(t_n,y_n).h_ndans l’équation précédente.

On remarque ici une approximation de l’intégrale par une méthode de quadrature.

Schéma d’Euler explicite et implicite

Dans la solution précédente, on change seulement le termef(.,y_n), on introduitt_nout_n+1

ESCE UM AVEIRO Méthode d’Euler

Solution du problème de Cauchy

Schéma d’Euler explicite

y_n+1=y_n+h_nf(t_n,y_n)

Schéma d’Euler implicite

y_n+1=y_n+h_nf(t_n+1,y_n+1)

Méthodes à un pas

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

ESCE UM AVEIRO Méthodes à un pas

Méthodes à un pas

Définition

Considérons le problème de Cauchy avec la condition de Lipshitz et la même subdivision de l’intervalleI.

Une méthode à un pas s’écrit : y_n+1=y_n+h_nΦ(t_n,y_n,h_n),n≥0

y₀=η

On suppose queΦest continue et ne dépend que def.

Remarque:Φ(t,y,h) =f(t,y)pour la méthode d’Euler.

Théorème

Si la méthode à un pas est stable et consistante, alors elle est convergente.

Définitions générales

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

ESCE UM AVEIRO Définitions générales

Consistance, convergence, stabilité

Consistance

La méthode à un pas est consistance avec l’équation différentielle initiale si pour toute solution du problème de Cauchy, on ait :

PN−1

i=0 |y(t_n+1)−y(tn)−hnΦ(tn,y(tn),hn)| →0 quandhn→0.

Convergence

maxn|y(tn)−yn| →0.

Définitions générales

Ordre d’une méthode à un pas

Définition

La méthode à un pas est d’ordrep>0 s’il existe un réelK indépendant dey et deΦtel que :

N−1

X

n=0

|y(t_n+1)−y(t_n)−h_nΦ(t_n,y(t_n),h_n)| ≤Kh^p

pour toute solutiony ∈C^p+1[t₀,t₀+T¸]de l’équationy⁰(t) =f(t,y(t))

ESCE UM AVEIRO Définitions générales

Exemple de méthodes à un pas

Méthode du développement de Taylor voir les détails au tableau.

*Pourp=1, on retrouve la méthode d’Euler.

Méthode de Runge Kutta

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

ESCE UM AVEIRO Méthode de Runge Kutta

Méthode de Runge Kutta

Les méthodes de Runge-Kutta sont des méthodes d’approximation de solutions d’équations différentielles.

En 1901, elles ont été nommées en l’honneur des mathématiciens Carl Runge et Martin Wilhelm Kutta.

Ces méthodes reposent sur le principe d’itération : Une 1ère estimation de la solution est utilisée pour calculer une seconde plus précise.

Méthode de Runge Kutta

Méthode de Runge Kutta d’ordre q

Définition























t_n,i =tn+c_ihn

y_n,i =y_n+h_n X

1≤j<i

a_ijp_n,j

p_n,i =f(t_n,i,y_n,i) t_n+1=tn+hn

y_n+1=y_n+h_n X

1≤j<q

b_jp_n,j

On a toujours :P

1≤j<ia_ij =c_i,P

1≤j<qb_j =1.

**Pour les méthodes d’ordre 2 et 4, voir explications au tableau.

ESCE UM AVEIRO Conclusion

Plan

1 Introduction

2 Méthode d’Euler

3 Méthodes à un pas

4 Définitions générales

5 Méthode de Runge Kutta

6 Conclusion

Conclusion

Conclusion

Nous avons présenté dans ce cours une initiation à l’analyse numérique.

Une introduction à la discrétisation numérique a également été présentée.

Les schémas numériques présentés ont été illustrés sur un modèle mathématique régi par une équation de type y⁰(t) =f(t,y(t)).