NOTES DE MECANIQUE DES FLUIDES

NOTES DE

MECANIQUE DES FLUIDES

A. COLIN DE VERDIERE

- SOMMAIRE -

Chapitre I : Généralités Chapitre II : La cinématique

Chapitre III : Les équations du mouvement Chapitre IV : Mouvements permanents

Chapitre V : Champs de vorticité et de déformation - Théorèmes de vorticité Chapitre VI : l'écoulement autour d'obstacles

Chapitre VII : Ecoulements avec circulation Chapitre VIII : Flots visqueux

Chapitre IX : Ondes dans les fluides – Quelques exemples Chapitre X : Thermodynamique

Chapitre XI : Ecoulements compressibles Chapitre XII : Instabilité hydrodynamiques Chaptire XIII : Turbulences

Chapitre I

GENERALITES

L'objectif de la mécanique des fluides est de fournir les méthodes pour comprendre la diversité et la grande richesse des écoulements réalisés dans la nature :

- Régime des vents ouest ou d'alizé dans l'atmosphère,

- Existence du Gulf Stream dans l'Océan le long des côtes américaines, - Oscillation des Marées dans les ports,

- Vague déferlant sur une plage,

- Cheminée convective dans un cumulus (nuage)

- Ecoulement autour d'une aile d'avion, d'une voile de bateau, d'une hélice, - Mélange turbulent du lait dans votre café,

- Ressaut hydraulique observé quand le jet d'eau issu d'un robinet tombe sur l'évier.

- et combien d'autres encore...

Newton a jeté les bases de la Mécanique dans ses "Principia" dès 1686 et les 2 siècles suivants ont vu l'émergence d'une mécanique rationnelle comme pouvant expliquer le monde à partir de lois générales expliquant tant la chute des pommes que le mouvement régulier des planètes autour du soleil. Depuis le début du 20^ème siècle de nombreux physiciens tentant d'élaborer les théories décrivant les écoulements turbulents ont progressivement remis en question le déterminisme glacé de Laplace. Le coup de grâce fut donné par l'apparition du chaos, comportement irrégulier apériodique déjà présent dans un système dynamique à 3 degrés de liberté seulement. Dans de tels systèmes la sensibilité aux conditions initiales est telle que deux trajectoires initialement voisines divergent fatalement au bout d'un temps fini. Dans ces systèmes non linéaires, des causes "voisines" produisent des effets très différents à long terme. L'implication est la perte du pouvoir de prédiction dont l'exemple le plus frappant est donné par la difficulté de prévision du temps en Météorologie. Parallèlement cette nouvelle physique permet d'analyser conceptuellement des comportements variés : les systèmes peuvent bifurquer vers de nouveaux états de façon spontanée sous l'effet de petites perturbations au voisinage de zones critiques. Que les équations de la Mécanique puissent permettre une grande diversité est en accord avec ce que la nature offre quotidiennement à nos yeux. Le renouveau actuel vient non pas d'une remise en cause des équations mais de l'étude de leurs solutions dans des cas plus réalistes où les amplitudes et les interactions des mouvements d'échelles variées sont plus grandes.

Propriétés physiques des fluides

Un fluide est caractérisé par sa facilité à se déformer, par son absence de forme propre. En contraste avec un corps solide, la position relative des éléments fluides change beaucoup avec les forces appliquées. On ira plus loin et on définira un fluide de la façon suivante :

"Un fluide ne peut pas résister à une tendance à la déformation induite par des forces appliquées qui laissent le volume fluide inchangé".

En d'autres termes, aussi petite que soit la force, il y aura toujours écoulement. Les forces permettant ce changement de forme sont des forces de cisaillement agissant parallèlement aux facettes d'un élément de fluide :

Les solides peuvent aussi se déformer mais cette déformation est réversible tant que la contrainte ne dépasse pas une certaine valeur appelée limite élastique. La rhéologie concerne justement l'étude des lois entre la force ( ou contrainte )appliquée et la déformation. Un solide élastique a ainsi une mémoire parfaite de sa forme alors qu'un fluide n'en a aucune. Au-delà de la limite élastique du solide, une déformation permanente apparaît qui peut conduire jusqu'à un écoulement et on parle alors de plastification.

La figure ci-dessous résume quelques comportements :

Quand la relation déformation-contrainte est linéaire et part de l'origine on parlera de fluide Newtonien. Le cas plastique ci-dessus peut être illustré par l'écoulement des glaciers ou de la croûte terrestre où à chaque fois une certaine contrainte minimum est nécessaire pour produire une déformation permanente. Dans d'autres fluides, la viscosité (définie grossièrement comme le coefficient de proportionnalité entre contrainte et déformation) varie avec la façon dont est appliquée la contrainte dans le temps ; elle décroît en particulier avec le temps quand une contrainte est appliquée continûment pour les fluides thixotropes (certaines peintures, le ketchup, la mayonnaise). D'autres substances dites viscoélastiques ont un comportement intermédiaire entre fluide et solides car leur structure interne dépend du temps caractéristique de la contrainte appliquée. Quand celui-ci est faible, respectivement grand, elles se comportent comme des solides ou des fluides (marchez plus ou moins rapidement sur le sable mouillé). Les fluides étudiés ici seront newtoniens, en pratique des liquides ou des gaz présentant une uniformité de composition.

F

Déformation

Fluide newtonien

Plastique

Contrainte

Les différences entre les liquides et les gaz dues à la densité ne sont pas très importantes. Par contre la compressibilité différente entre un liquide et un gaz va induire des comportements très différents quand les écoulements sont rapides.

Un fluide est composé de molécules animées de mouvements désordonnés alors qu'à notre échelle quotidienne certains écoulements paraissent bien organisés. Une hypothèse fondamentale de continuité du milieu va nous permettre de développer les outils permettant de décrire l'aspect macroscopique des écoulements.

En l'absence de liaison chimique, la force entre deux molécules varie de la façon suivante :

où d0  3.10^-8 cm

La distance moyenne entre molécules est de l'ordre de d₀ dans les liquides et solides, et de 10 fois d0 dans les gaz.

Bien que la densité ne change que de quelques % quand un solide fond, ceci induit de grands changements dans la mobilité interne de la phase liquide. A l'échelle moléculaire, la masse et la vitesse varient beaucoup et il paraît illusoire de vouloir prédire la trajectoire de chaque molécule. Notre intérêt se porte sur des échelles macroscopiques, visuelles, grandes par rapport aux échelles moléculaires.

Représentons la densité (masse volumique) mesurée par un instrument qui fait une moyenne sur un volume de fluide proportionnel à la taille du capteur.

Quand le volume de fluide ne contient que quelques molécules, la densité mesurée varie aléatoirement puis continûment si le volume de fluide est assez gros pour contenir un grand nombre de molécules. Il ne doit pas être trop gros car sinon la densité va varier avec l'échelle macroscopique que l'on veut décrire (par exemple, la largeur

F

répulsion

attraction

distance d0

densité

Echelle de l'élément de fluide vue par l'instrument

d₀ L

d'une rivière si on étudie l'écoulement d'une rivière). La mécanique des fluides va tenter de prédire le comportement fluide d'un volume intermédiaire dont l'échelle L >> d0 en supposant les variables, vitesses, densité, température, pression, définies continues. On assigne leurs valeurs à un point et  (x, t) est une fonction continue de x et t.

L'hypothèse fondamentale de la mécanique des milieux continus est que le comportement d'un fluide à une échelle macroscopique est le même que celui d'un fluide à structure parfaitement continue. La structure des fluides tels que l'air et l'eau dans nos expériences quotidiennes macroscopiques supporte à l'évidence l'intérêt dune telle hypothèse.

Ce faisant on a oublié le "désordre" à l'échelle moléculaire, à l'échelle inférieure au "point" précédemment défini. Dans un fluide réel (par opposition à un fluide idéal) ce désordre est responsable de la viscosité et des phénomènes de diffusion.

On peut assez bien paramétriser ce désordre en fonction des échelles macroscopiques mais on a besoin de mesurer un certain nombre de coefficients pour ce faire. [Ex. : si on met de la teinture dans un fluide immobile tel que l'eau, la diffusion moléculaire tend à étaler, diluer cette teinture dans le fluide avec une certaine rapidité que l'on peut mesurer et qui traduit bien cet effet du désordre à l'échelle moléculaire].

Les différents types de forces :

- forces de volume (body force) :

Ce sont des forces externes qui agissent à grande distance et sur tous les éléments du fluide (Ex. : la gravité, les forces d'inertie dans un fluide en rotation comme les forces centrifuges ou Coriolis). Comme ces forces varient lentement, elles sont proportionnelles au volume. La force sur un élément de volume V, de densité  sera :

F(x,t) V - forces de surface :

Elles ont une origine interne, moléculaire et décroissent très rapidement avec la distance. Elles ne sont appréciables que pour des distances de l'ordre de la sépa- ration des molécules et sont dépendantes d'un contact mécanique. La force agissant sur un élément est proportionnelle à la surface de cet élément et l'on appellera contrainte le coefficient de proportionnalité.

Cette contrainte dépend de l'orientation de la surface et un petit exemple emprunté à la mécanique du solide suffit à le montrer. Soit une barre rectangulaire homogène accrochée verticalement à un support.

T T '

Z L

(a) (b)

Examinons les forces de contact dans les cas (a) et (b). Si la barre est homogène, les contraintes sont uniformes sur la surface et équilibrées par le poids de la barre situé en dessous :

en (a) F = T A = P z/l

où P est le poids de la barre et T la contrainte (ici une tension)

en (b) F' = T' A' = P z/l

mais A' = A/cos 

si bien que T' = T cos 

On va montrer ci-dessous comment calculer une contrainte sur une surface d'orientation arbitraire si on connaît en un point le tenseur des contraintes.

Soit une surface plane séparant deux régions, de normale n et d'élément d'aire A. La force locale exercée par le fluide dans la région 2 sur le fluide dans la région 1 sera spécifiée par :



^(n,x,t)A

où  est la contrainte exercée par 2 sur 1 quand la normale n pointe vers 2. Ce vecteur dans le même sens que n indiquera une tension pour le milieu 1 et dans le sens opposé une compression.

La contrainte exercée par 1 sur 2 est ^



^(n,x,t) en vertu du principe d'action et de la réaction, mais c'est aussi



^(n,x,t).

On parlera tantôt d'une pression (ou d'une compression) quand la contrainte est de signe opposé à la normale extérieure au volume considéré, et d'une tension dans le cas inverse. A la différence des solides élastiques qui peuvent être soumis à compression ou à tension, les forces de cohésion dans les fluides sont si faibles qu'elles ne peuvent résister à une tension si petite soit-elle. Pour cette raison, les contraintes dans les fluides sont toujours des compressions.

En mécanique du solide, on ne s'intéresse qu'aux forces de volume et aux forces à la surface extérieure du solide car les positions relatives des éléments intérieurs sont fixes. Il n'en est plus de même dans un milieu déformable où la distribution intérieure des forces doit être considérée. Pour avancer il faudra aussi savoir comment les forces de surface dépendent des propriétés locales du fluide et de son mouvement .ie.

se pencher sur ce que l'on appelle la rhéologie du fluide.

n

1 2

Le tenseur des contraintes :

On voudrait savoir comment la contrainte ∑ qui est une force par unité de surface dépend de l'orientation de la normale à la surface sur laquelle elle agit. Pour cela on considère le petit tétraèdre bâti sur les trois plans d'un système d'axes a, b, c et sur la facette de normale n.

La somme des forces agissant sur ce tétraèdre fluide est :

3 2

1 ( b) A ( b) A

A ) a ( A ) n

(  



  



  



 



Par projection de la surface A sur les plans des axes, on a : A1 = a . n A

A2 = b . n A A3 = c . n A

Notant le produit scalaire a.na_jn_j (indice répété indiquant une somme) la i^ème composante du vecteur contrainte ∑ peut donc s'écrire :

 

 

i⁽ⁿ⁾



i^(a)aj 



i^(b)bj 



i^(c)cj ⁿj



^A

Supposons maintenant que le tétraèdre diminue indéfiniment en gardant la même forme. L'équilibre du tétraèdre dépend de la somme des forces de surface et des forces de volume. Les forces de volume, proportionnelles au volume (comme les forces d'inertie v_x accélération) tendent vers 0 plus rapidement que les forces de surface ci- dessus. A la limite, ces forces de volume sont négligeables (si les accélérations, densité ont des limites finies) devant les forces de surface et donc dans cette limite le terme en accolades ci-dessus est nécessairement nul. On en déduit que :



j i j i j i



j

i(n) a



(a) b



(b) c



(c) n



^{  }

(Ce premier résultat indique que si on veut obtenir un effet non nul des forces de surface sur le tetraèdre élémentaire il faudra aller à un ordre d'approximation plus élevé et considérer les variations spatiales de ces forces entre les différentes faces). Comme n et

 sont 2 vecteurs qui ne dépendent pas du choix des axes, on en déduit que la quantité entre crochets ci-dessus représente les 9 composantes d'un tenseur du second ordre, également indépendant du choix des axes. On le note ij et on a :

j i(n)ijn



La contrainte locale du fluide sur n'importe quelle face d'orientation n peut se calculer par la formule ci-dessus. ij est le tenseur des contraintes, quantité donc indépendante du choix particulier d'une normale. ij est la i^ème composante de la force par unité de surface qui s'exerce à travers un élément de surface plane normale à la direction j. Son signe est

c

A1

A₂

A3

b

a

n

positif quand la contrainte exercée par le fluide vers lequel n pointe, sur le fluide duquel n s'éloigne, est du même sens que n.

Les 9 composantes de ce tenseur ne sont pas indépendantes. Si on considère l'équilibre des moments des forces d'un petit volume de fluide par rapport à son centre, on montre que ce tenseur est symétrique (Voir exercice).

ij = ji

Un tenseur d'ordre deux est une classe de matrices particulière. Rappelons qu'un vecteur est défini comme une quantité qui change comme les composantes du vecteur position dans une rotation des axes. On parle en particulier de transformation orthogonale quand le repère orthogonal initial se transforme en un autre repère orthogonal sous l'action d'une rotation. Si x' et x dénotent les composantes du nouveau et de l'ancien vecteur dans le nouveau et l'ancien repère respectivement, on a :

x = P x' et

x' = P^Tx

où P est la matrice de passage de la transformation orthogonale entre le nouveau et l'ancien repère. (Pour ces types de transformations, l'inverse est égale au transposé P^T). Inversement on peut considérer que ces relations définissent le concept de vecteur.

De façon analogue on définit un tenseur d'ordre deux  comme une matrice qui se transforme sous l'effet d'une transformation orthogonale comme :

' = P^T  P

La propriété de symétrie et les coefficients réels indiquent que ce tenseur peut toujours être diagonalisé. Il est possible donc de trouver des axes dits principaux où l'expression du tenseur 'ij = 0 quand i  j et ou donc dans ce système d'axes les composantes tangentielles disparaissent [Dans cette diagonalisation la trace _ii = '_ii se conserve].

Cas du fluide au repos - La Statique.

Considérons les forces de surface qui agissent sur une petite sphère fluide dues au fluide extérieur :

Dans le système d'axes principaux on a :

On décompose le tenseur diagonalisé en une partie isotrope et le reste :

'11 = 1/3ii + ('11 – 1/3ii) etc…

En un point de la sphère de normale n, la force due à la première partie est 1/3_ii n et est en général une compression (ii < 0). Cette force est isotrope et le fluide peut y résister.

La deuxième partie du tenseur illustre des contraintes dont au moins l'une est une compression et l'autre une tension (la troisième peut être l'une ou l'autre). Ceci tend à déformer la sphère en un ellipsoïde sans en changer le volume. Il n'y a aucune façon de pouvoir équilibrer ceci par des forces de volume plus petites. La déformation est donc inéluctable. On en déduit donc que dans un fluide au repos cette partie anisotrope de la contrainte ne peut pas être supportée par le fluide et elle est donc nulle. Dans un fluide au repos, la définition que nous avons donné d'un fluide montre que le tenseur des contraintes est isotrope et que les contraintes tangentielles de cisaillement sont nulles.

Les contraintes étant toujours normales (dans n'importe quel système d'axe), le tenseur peut s'écrire :

ij = - p ij

(ij symbole de Kronecker = 1 si i = j, = 0 si i ≠ j)

p étant la pression et en général positive, le signe moins indique que les forces sont des compressions. Dans un fluide au repos, la force de contact par unité d'aire qui s'exerce à travers une surface plane de normale n est -p n. Les forces de pression statique agissent donc de la même façon dans toutes les directions.

L'équilibre mécanique d'un fluide :

Un solide est en équilibre quand les résultantes des forces et des moments extérieurs sont nulles. L'équilibre d'un fluide requiert que tous les éléments de fluide soient simultanément en équilibre. Si F désigne les forces de volume, on doit donc avoir pour un volume arbitraire :

0 dA n P dV

F  







Le deuxième terme peut être transformé en intégrale de volume par un analogue du théorème de la divergence s'appliquant à un scalaire p.

Si a est un vecteur, le théorème de la divergence donne :





^{adV a ndA}

En appliquant ce théorème au vecteur pb où b est un vecteur constant arbitraire on démontre que :





^{PndA pdV}

Et donc l'équilibre requiert :

0 dV p dV

F   







Comme le volume d'intégration est arbitraire, ceci est nul si et seulement si l'intégrant est nul :

F = p

En l'absence de couples liés aux forces de volume, la symétrie du tenseur des contraintes assure que la résultante des moments est aussi nulle et la relation ci- dessus est donc la condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre d'un fluide.

Intéressons nous au cas particulier où F, la force de volume par unité de masse dérive d'un potentiel :





 F

 étant l'énergie potentielle par unité de masse, on a:

-  = p En prenant le rotationnel :

   = 0

Ceci indique que les surfaces de  constant et  constant coïncident. Quand c'est le cas, ces surfaces sont aussi des isobares (Surface p = constante) et :

) d (

dP  



Applications 1. gravité :  = gz

La condition d'équilibre ci-dessus est appelée équilibre hydrostatique :

dz g dP 

Soit une colonne fluide verticale d'un fluide homogène de densité . Le fluide sera en équilibre si la pression p2 excède p₁ d'une quantité  g H. Ainsi :

p2 - p1 =  g H

où H est la hauteur de la colonne fluide. La pression augmente linéairement avec la profondeur.

2. Qu'est-ce que la pression atmosphérique ? Dans l'expérience du baromètre, lorsqu'on renverse un tube rempli de liquide dans une cuve remplie du même liquide, on s'aperçoit que le niveau dans le tube se stabilise à une hauteur h. Le volume en haut du tube contient de la vapeur d'eau saturante du liquide considéré de pression négligeable le. Les pressions en A et B étant les mêmes, la pression de l'atmosphère en B est égale à g fois la hauteur h de la colonne au-dessus de A.

P₁

P₂

H g

B A h

3. Cette relation est à la base de la mesure de différence de pression statique lorsque l'on cherche à mesurer la pression P dans une enceinte. La pression étant la même à l'équilibre dans un plan horizontal (et ce quelque soit la forme du récipient), la mesure de la cote h fournit directement la différence de pression entre l'intérieur du récipient et l'atmosphère si celui-ci débouche à l'air libre :

P - Pa =  gh

4. Supposons un océan de densité moyenne c. Si l'origine de l'axe z est à la surface, la pression p, à une cote z, sera :

p = pa - cgz

où _c est supposé constant, l'eau étant peu compressible.

pa c  1 025 Kg/m³ La pression augmente donc de 1 bar environ pour chaque dizaine de mètres d'immersion.

Unités de pression : 1 bar = 10⁵ Pascal 1 pascal = 1N/m²

Le bar est donc une pression considérable correspondant à une force au m² appliquée par une masse de 10 tonnes !

5. Atmosphère : pour de l'air sec, l'équation d'état des gaz parfaits nous indique comment la densité varie avec la pression :

p =  RT où R = 287.04 J/Kg/˚K

dans ce cas pour trouver la pression dans l'atmosphère : dP / dz = - gP / RT

A 15 % près, l'atmosphère a une température relativement constante entre la surface et 70 km, T

c ~ 250˚K.

On obtient : p = p_a e^-gZ/RTc

Hs = RTc/g (= 7.4 km) apparaît donc comme l'échelle de la variation de la pression et de la masse volumique dans l'atmosphère.

P

Pa

h

p = pa

Z Air

Ea

u p(Z)

L'équilibre d'un corps flottant :

Soit un corps solide plongé dans un liquide. La force résultante du fluide sur le corps est ^



^pnA. Supposons que l'on remplace le corps solide par le fluide environnant sans modifier les pressions. La force de volume agissant sur le fluide

"remplaçant" est ^



^{V où}  et  sont prolongées à l'intérieur par continuité à partir de leurs valeurs à l'extérieur. Mais cette force est équilibrée par la résultante des forces de pression sur la "frontière" qui valent donc ^



^{V} intégrée sur la région occupée par le corps.

C'est la loi d'Archimède généralisée qui stipule qu' un corps solide immergé est soumis à une flottabilité égale au poids du volume de liquide déplacé par le corps.

- bateau :

Analysons de façon élémentaire son équilibre et les oscillations autour de cet équilibre.

Nous supposerons pour simplifier que le bateau est un cylindre dont les génératrices sont parallèles à 0y (axe perpendiculaire au plan de cette page). En G centre de gravité s'applique le Poids P du navire tandis qu'en C, centre de carène ou centre de masse du volume immergé de la carène, s'applique la résultante B des forces de flottabilité, c'est-à-dire des forces de pression sur la surface mouillée. Soit d = ds dy un élément de surface de la coque. La force de pression hydrostatique vaut  gz d soit  gz d cos  dans la direction verticale 0z si  est l'angle entre 0z et la normale n.

Comme ds cos  = dx, ceci est  gz dx dy et la flottabilité est donc :



^{ }

 g zdxdy gV B

V étant le volume du bateau. On vient de redémontrer de façon élémentaire la formule d'Archimède. A l'équilibre C et G sont sur une même verticale, B équilibre le poids P du bateau, et on retrouve ainsi directement le principe d'Archimède. Cette condition B = P détermine le tirant d'eau du bateau.

Supposons maintenant que le bateau roule, un cas fréquent, autour de l'axe 0y. La forme de la carène immergée va changer et le point C va se déplacer sur une courbe dont le centre de courbure est appelé métacentre M.

n

B C

G ds

n P

B G C

 M

P

Dans le cas de la figure il y a stabilité car le couple formé par P et B ramène le bateau vers sa position d'équilibre. Cette stabilité est garantie si M se trouve au-dessus de G. La distance MG = h est appelée hauteur métacentrique et permet de calculer la fréquence de petites oscillations. Si J est le moment d'inertie du bateau autour d'un axe y la loi de la dynamique appliquée aux mouvements de rotation est :

J d²/dt² + hP sin  = 0 où  est l'angle entre GM et CM.

Pour de faibles oscillations sin  est environ  et la fréquence de roulis est donné par :

 = (hP/J)^1/2 formule analogue à celle d'un pendule composé.

La recherche de la stabilité vise à augmenter la force de rappel et donc augmenter h mais ceci aura tendance à augmenter aussi la fréquence de roulis. Pour augmenter la stabilité on peut jouer sur la descente du centre de gravité le plus bas possible mais aussi sur la forme du bateau. Ce dernier facteur est largement utilisé dans les voiliers modernes dont la largeur augmente régulièrement au détriment du creux.

Un autre phénomène à considérer est la possibilité de résonance due au champ de vagues externes. Pour assurer un bon confort il faudra essayer de placer la fréquence propre du bateau en dehors de la gamme des fréquences majeures des vagues.

Chapitre II

LA CINEMATIQUE

Il existe plusieurs façons de décrire les champs de vitesse et d'accélération dans un fluide. On peut par exemple, regarder le chemin tortueux suivi par une particule fluide, noter le déplacement x (t) de cette particule et déduire l'accélération de la particule fluide ²x/t². Une observation ordinaire (fumée de cigarette, cheminée, etc.) nous montre rapidement da difficulté pratique de cette méthode à cause de la grande complexité des trajectoires du fluide. Ainsi cette description dite "Lagrangienne" n'est pas utilisée sauf dans des cas très simples. A celle-ci on préfère la description

"Eulérienne" qui consiste à spécifier à un instant t donné le champ de vitesse u (x, y, z, t) partout dans l'espace. On oublie les trajectoires des particules. On définit les lignes de courant comme étant les courbes tangentes en tous points au vecteur vitesse u.

Elles satisfont donc l'équation différentielle : w dz v dy u

dx  

On dit que l'écoulement est stationnaire ou permanent, si le champ de vitesse u ne dépend pas explicitement du temps. Quand c'est le cas, une particule fluide située à un instant donné sur une ligne de courant y reste puisque le vecteur vitesse (de la particule) reste tangent à la courbe. Ainsi lignes de courant et trajectoires des particules sont identiques quand u est indépendant du temps.

- lignes matérielles (ou encore filaments) : ce sont les lieux des particules qui ont occupé une certaine région de l'espace à un instant donné. Par exemple, une ligne fluide marquée de colorant est une ligne matérielle.

- accélérations d'une particule dans la représentation eulérienne

Si l'accélération d'une particule fluide est aisée à obtenir dans la description lagrangienne, il n'en est pas de même dans le mode Eulérien. Soit une particule fluide située en x à t où le champ de vitesse est u (x, t). A l'instant t plus tard la particule sera au point x + x = x + u t où le champ de vitesse est u (x + x, t + t).

La variation de vitesse de la particule fluide est donc :

u = u(x + ut, t + t) – u(x, t) = t 

 



  



 (u )u t

u + O(t²)

et son accélération instantanée devient :

u ) u t (

u  





notée Du/Dt; le symbole D/Dt, appelée "dérivée matérielle" rappelle que l'on dérive en suivant la particule fluide.

De même, la variation d'une autre propriété  du fluide (comme la température ou la concentration d'un polluant) le long de la trajectoire d'une particule fluide se calculera comme :







 



 

 u

t Dt D

En l'absence de diffusion et de sources ou de puits de , l'évolution de  dans le champ de vitesse u est gouvernée par l'équation différentielle partielle dite d'advection :

Dt 0 D 

Cette relation signifie simplement que  est conservée pour une particule fluide. Si le champ de vitesse est donné, les problèmes de pollution (atmosphérique par exemple) sont étudiés avec cette équation en calculant les nouvelles valeurs de  à partir d'une condition initiale donnée de . Mais il faut aussi rajouter au côté droit de cette équation des termes de diffusion représentant le mélange turbulent de  et les sources/puits de

Il est important de bien comprendre la signification et la façon de calculer l'opérateur d'advection (u) u. Les parenthèses indiquent que l'on fait d'abord le produit scalaire u, et que l'on applique l'opérateur scalaire ainsi obtenu sur le vecteur u.

Ainsi les 3 composantes de (u)u s'écrivent en coordonnées cartésiennes :

z w w y v w x u w

z w v y v v x u v

z w u y v u x u u



 



 







 



 







 



 





Dans des systèmes de coordonnées orthogonales (polaire, cylindrique ou sphérique) des termes métriques apparaissent qui ne contiennent pas de dérivées spatiales (ex : u²/r en polaire).

La conservation de la masse

Localement, la conservation de la masse va nous fournir une équation supplémentaire (en plus de la 2^ème loi de Newton) qui est rendue nécessaire par l'inconnue supplémentaire que représentent les forces de surface (ou de contact) au sein du fluide. La masse d'un volume de fluide est  V et quand on applique l'opérateur D/Dt on doit donc avoir :

Dt

D (V) = 0

Soit encore en remarquant que les règles habituelles de dérivation d'un produit s'appliquent :

Dt V D V 1 Dt

D

1 



 



Considérons le petit cube élémentaire x, y, z. Il se déforme au cours de son mouvement et :

Dt z D z y 1 Dt

D y x 1 Dt

D x ) 1 z y x Dt(

D z y x V 1 Dt

D V

1 



 



 







 



 

 

Pour calculer chacun des termes ci-dessus évaluons l'élongation d'un segment AB de fluide de longueur x dans la direction 0x.

A B A' B'

Des vitesses u différentes en A et B vont allonger le segment (si u/x est positif) qui aura alors pour nouvelle longueur x + u/x x t dans l'intervalle de temps t. Si bien que par unité de temps :

x u t

AB AB ' B ' A



 





Ceci n'est pas autre chose que la variation relative de l'élément x cherchée plus haut : x

x u Dt

D x 1



 

 

avec 2 autres relations analogues sur les autres axes.

Ainsi u

z w y v x V u Dt

D v

1 











 

 

La divergence du champ de vitesse est égale à la variation relative du volume fluide au cours de son déplacement. Ainsi la conservation de la masse devient :

0 Dt u

D 

2.1 que l'on peut aussi réécrire :

 

u 0 t   





 2.2

Cette dernière relation montre que l'on peut aussi dériver l'équation de la conservation de la masse en prenant un volume fixe dans l'espace et en faisant le bilan de ce qui rentre et de ce qui sort (voir exercice). Lorsque le mouvement est stationnaire, cette relation traduit la conservation du débit de masse au sein d'un tube de courant.

xA

xB

x

Il s'agit d'une surface composée entièrement de lignes de courant :

Pendant un intervalle t, une masse _S₁q₁t entre dans le tube, tandis qu'une masse S2q2t en sort. Lorsque l'écoulement est stationnaire la conservation de la masse dans le tube de courant implique 1 S1 q1 = 2 S2 q2 puisque aucun échange n'est par définition possible au travers des parois latérales du tube. Si de plus la masse volumique varie peu entre les positions 1 et 2, on voit ainsi que le long d'un tube de courant, le produit Sq est constant ce qui est une traduction de la conservation du débit en volume. En conséquence, les lignes de courant ne donnent pas seulement la direction du flot mais aussi son intensité qui est inversement proportionnelle à l'écartement des lignes. Ceci est très utile en pratique car on obtient ainsi bien plus rapidement l'image d'un champ de vitesse qu'en regardant des milliers de petits vecteurs u

Hypothèse d'incompressibilité

La plupart des fluides sont compressibles dans le sens où une augmentation de la pression augmente la densité. On montrera plus loin que le changement relatif de densité / due à une variation de pression ∆ p s'écrit :

p C 1

2 









où C = (pK)^-1/2 est la vitesse du son dans le fluide et K le coefficient de compressibilité

p 1





 .

Nous verrons aussi que les variations de pression dans un écoulement de vitesse V sont de l'ordre de V²/2 . Ainsi on s'attend à des variations de densité dues à la compressibilité de l'ordre de :

2 2

C V 2

 1







Pour bien des écoulements naturels ce rapport sera très petit puisque dans l'eau par exemple ceau ~ 1 500 m s^-1. Dans l'air les vents atteignent rarement beaucoup plus de 50 m/s induisant un rapport de 3 % ( cair ~ 300 m s^-1.)

Par contre pour les écoulements rapides dans l'air autour d'ailes d'avion, ou de projectiles qui ont des vitesses de l'ordre de 1 000 km/h, le rapport / ne sera pas petit et des phénomènes liés à la compressibilité telles que les ondes de choc apparaîtront. Si on s'intéresse à des écoulements plus lents pour lesquels V/C << 1 une approximation majeure dite d'incompressibilité peut être faite. L'ordre de grandeur de chacun des termes de l'équation 2.1. peut être évalué si on suppose que l'écoulement

S1

S₂

q₂ q1

s'effectue avec une vitesse V sur une échelle de longueur L avec une variation de densité . Il s'ensuit une échelle de temps advective naturelle L/V.

z 0 w y

v x

u Dt

D

1 



 



 



 



 Ordre de grandeur





 O(1) O(1) O(1) = 0

Dans les conditions où / est petit, la conclusion à laquelle on ne peut échapper est que la somme des trois termes

z w y v x u











 est beaucoup plus petite que chacun d'entre eux pris individuellement. L'approximation du fluide incompressible consiste à écrire que cette divergence est nulle en gardant à l'esprit que ceci est à O(/) près :

  u = 0 2.3

Comme vu précédemment, cette relation traduit la conservation du volume . Un tel champ de vitesse est dit solénoïdal.

Ceci est l'hypothèse d'un fluide incompressible : le champ de vitesse est non divergent. Quand on utilise cette équation plutôt que l'équation complète de conservation de la masse, on filtre des équations les ondes sonores. Ceci est raisonnable car la dynamique des ondes sonores est "haute fréquence" et peu couplée aux phénomènes "basse fréquence" auquel on va s'intéresser ; il serait extrêmement maladroit de garder des équations qui contiennent les 2 dynamiques quand on étudie des écoulements lents (Voir Chapitre 11).

Chapitre III

LES EQUATIONS DU MOUVEMENT

Les équations du mouvement pour un fluide traduisent très exactement la 2^ème loi de Newton :

(Masse)  (Accélération) = Somme des forces Nous allons l'écrire pour un volume matériel V

arbitraire. Pour un volume de fluide V limité par une surface S, le premier terme Masse  Accélération est la somme sur le volume V de toutes les contributions des volumes élémentaires dV. Pour un tel élément, la masse est dV et l'accélération Du/Dt.

Donc



^{ DDtu dV} est le terme cherché.

Les forces de volume F effectuent une contribution



^FdV au terme de gauche et les forces de surface, une contribution



^{i dA}



^{ij nj dA} … pour la composante i.

L'équation du mouvement pour le volume V selon la composante i est donc : dA

n dV

F Dt dV

Du

s ij j i

i

 



 ^{ }  ^{   }

le dernier terme à droite peut se réécrire dV x_i ^ij





  par application du théorème de la divergence à chaque direction i. Par cette astuce, on transforme les forces de surface en force de volume équivalente.

Comme la relation intégrale ci-dessus doit s'appliquer pour tout choix du volume matériel V on en déduit que localement l'équation différentielle partielle du mouvement dans chaque direction i (dérivée pour la première fois par Cauchy) est :

j ij i

i

F x Dt Du











 3.1

On ne peut progresser sans spécifier plus avant forces de volume et forces de surface. Dans la plupart des cas les forces de volume F se réduisent à la force de gravité due à l'attraction terrestre et aux forces d'inertie apparaissant dans les fluides en rotation.

dV

n

 dA

U

Le tenseur des contraintes 

ij est plus complexe à déterminer car il englobe les réactions internes du fluide et dépend du mouvement du fluide lui-même. Notons que les contraintes de surface ne peuvent engendrer une accélération du fluide que si elles varient spatialement dans le fluide de façon à ce que la divergence _ij

xj 



 soit non nulle. Si celle-ci est nulle, les forces de surface se borneront à déformer l'élément fluide sans changer sa quantité de mouvement. C'est l'objet de la rhéologie que de fournir des équations supplémentaires (généralement empiriques) reliant contraintes et déformations.

Nous avons vu que dans un fluide au repos, le tenseur des contraintes était isotrope, la pression étant définie par :

ij = - p ij 3.2

Dans un fluide en mouvement, les contraintes tangentielles sont, en général, présentes, les contraintes normales dépendent de la direction de cette normale et donc la relation (3.2) n'est plus valable. En analogie avec la notion de pression dans un fluide au repos, nous allons définir mécaniquement la pression comme étant la valeur moyenne de la composante normale de la contrainte :

p = - 3 1_ii

Quand on définit ainsi la pression, rien ne nous indique que cette "pression"

coïncidera avec la quantité pression introduite en thermodynamique (et nous aurons pourtant besoin de cette coïncidence dont nous reparlerons quand nous discuterons de l'équation de l'énergie). En thermodynamique la pression est définie à l'équilibre. Pour avoir accord entre les définitions mécaniques et thermodynamiques de la pression il faut supposer que l'on est toujours quasiment à l'équilibre et que l'ajustement thermodynamique est rapide comparé à l'évolution de l'écoulement. L'expérience montre que ceci est généralement le cas.

Avec ces définitions 

ijdans un fluide en mouvement s'écrit :

ij = - p ij + dij

la partie non isotrope dij étant due entièrement au mouvement du fluide et restant à déterminer.

L'expérience de Newton que nous allons maintenant décrire permet de progresser dans la détermination de d_ij.

t

F

x₂ = a 2

1 x2 = -a

Profil de vitesse en fonction du temps depuis l'instant où la planche a commencé à bouger

Profil de vitesse en régime permanent après un temps assez long.

Newton (ou son assistant) exerce une certaine force F dans un fluide initialement au repos à l'aide d'une grande planche traînée en surface à une vitesse U. Au départ seuls les éléments fluides à proximité immédiate de la planche bougent à la vitesse U. En raison de la friction interne du fluide à l'échelle moléculaire, la quantité de mouvement va se transmettre lentement vers le bas (vers les x2 < 0). Au bout d'un temps assez long on observe un régime de vitesse linéaire qui n'évolue plus. En re-faisant cette expérience pour un même fluide mais en variant la profondeur du canal, la force et la taille de la planche, Newton a montré expérimentalement que :

profondeur U A

F 

A étant l'aire de la planche et µ un coefficient de proportionnalité caractéristique du fluide considéré et appelé coefficient de viscosité moléculaire. Les fluides qui obéissent à cette loi expérimentale sont depuis nommés fluides "Newtoniens". Pour cet écoulement unidirectionnel, il semble donc que la partie "d

ij" des contraintes dépende linéairement du cisaillement u1/x2 soit :

2 1

12 x

d u







(dij ne peut dépendre de la vitesse elle-même car il est nécessairement nul quand le mouvement relatif est nul).

Dans l'expérience de Newton, en régime permanent la contrainte d12 est indépendante de la profondeur et donc égale en haut (x₂ = a) à la force appliquée par unité de surface, soit F/A. En bas le fluide colle à la paroi immobile et donc la vitesse tangentielle est nulle :

U1 (x2 = -a) = 0.

Dans ces conditions la vitesse en tous points du fluide est : U1 ( x2) = d12 x2+ a) / µ

Notez que la vitesse en x₂ = a est aussi égale à U, de sorte que le fluide colle aussi à la paroi mobile. Dans cette expérience simple, nous apprenons que le tenseur dij ne dépend donc que des dérivées premières de la vitesse. Nous devons remarquer aussi que dans un fluide en rotation solide, les dij sont nuls puisqu'il ne peut y avoir de forces de friction interne. Ainsi on cherche une expression des dérivées de la vitesse qui soit aussi invariante par rotation et la combinaison

i j j

i

x u x

u







 satisfait cette propriété (On pourra vérifier que cette combinaison est nulle pour un écoulement en rotation solide).

Quand le milieu est isotrope (pas de direction privilégiée) et le tenseur symétrique, on peut montrer que le tenseur de rang 2 le plus général permettant de déterminer d

ij pour une géométrie d'écoulement quelconque est : d_ij = 2 e_ij + _ij e_ll

µ et  étant deux coefficients de viscosité, positifs, caractéristiques du fluide et fonction de son état thermodynamique (température, pression) et eij le tenseur des déformations

égal à 



















i j j

i

x u x

u 2

1 (voir chapitre V). Cependant comme d_ii = 0 d'après notre définition mécanique de la pression, on déduit de l'expression ci-dessus que :

2 + 3  = 0 (car ii = 3)

Cette relation constitue l'hypothèse de Stokes car elle découle entièrement de la définition mécanique de la pression faite plus haut qui est généralement adoptée. Dans ces conditions :

dij = 2  eij - 3

2  ij ell 3.3

On notera que ell =

k k

x u



 (soit la divergence de u), ce qui implique que lorsque l'écoulement est supposé incompressible l'expression de d

ij se réduit au premier terme du membre de droite de 3.3.

Le coefficient positif µ ne change pas de façon appréciable avec la température et la pression et il est souvent pris constant dans les applications. [Ce n'est pas le cas cependant pour l'étude des mouvements lents du manteau terrestre où les variations de µ sont fondamentales pour le mouvement.]

Voici quelques valeurs de la viscosité à 20 ˚C pour les deux fluides importants :

Viscosité (g/cm.s) µ

Viscosité cinématique (cm².s^-1) = µ/

eau 0.01 0.01

air 1.810^-4 0.15

glycérine 8.5 6.8

Les relations 3.1 et 3.3 permettent d'écrire l'équation du mouvement dite de

"Navier Stokes" sous forme vectorielle :

 Dt u

D = - p +  (² u + 3

1 (u)) + g 3.4

Dans le cas important où le fluide est incompressible, .u = 0 et 3.4 devient :

 Dt u

D = - p +  ² u + g 3.5

Quand la friction interne dans le fluide est négligeable on obtient l'équation (ou le modèle) d'Euler :

 Dt u

D = - p + g 3.6

3.4, 3.5 et 3.6 sont des équations différentielles partielles que l'on ne peut tenter de résoudre que si on connaît les conditions initiales (à t = 0) et les conditions aux limites aux frontières. Les opérateurs différentiels faisant intervenir les dérivées premières et

secondes de la vitesse par rapport aux variables d'espace, il faut en effet préciser comment les calculer au voisinage des frontières.

Conditions aux limites :

La première condition aux limites a une origine cinématique. Sur une frontière solide immobile, le fluide doit avoir une vitesse normale nulle :

u . n = 0 3.7

Si la frontière est mobile, la relation précédente devient :

(u -u_s).n = 0 3.8

où us est la vitesse de la frontière.

Ce type de condition est en accord total avec la conservation de la masse du fluide (ou du volume du fluide quand celui-ci est incompressible) enclose par les frontières solides et on s'en rendra compte en intégrant l'équation de conservation de la masse sur un domaine fluide. Cette première condition est suffisante dans le modèle d'Euler. Pour ce qui est des conditions initiales, les opérateurs temporels étant du premier ordre, il suffit de préciser les valeurs initiales des 3 composantes de la vitesse pour les équations de quantité de mouvement, 3.4, 3.5 ou 3.6.

Une forme analogue à cette condition est quelquefois utile pour imposer la condition aux limites sur une surface libre séparant 2 fluides immiscibles, par exemple l'interface air-eau. Une telle surface est dite matérielle et le fait que les 2 fluides ne puissent pas s'interpénétrer se traduit par la continuité de la vitesse normale perpendiculairement à la frontière.

Supposons que la surface séparant les milieux (1) et (2) ait pour équation : F (x, y, z, t) = 0

Si une particule initialement sur cette surface y reste à une nouvelle position x + x à t +

t, on peut écrire : F(x + x, t + t) = 0

Après un développement limité pour t petit, on obtient : F(x,t) + x  F + t

t F



 = 0

Compte tenu des conditions initiales on obtient finalement : Dt

DF = 0 3.9

qui représente la condition aux limites cherchée.

1 2 Surface

matérielle Mouvement des

particules fluides

Les conditions de type 3.7, 3.8 ou 3.9 sont suffisantes dans le cadre du modèle d'Euler sans friction. Le fluide dans ce modèle glisse sans frottement sur les frontières solides. Pour cette raison les conditions sont aussi appelées conditions de glissement.

Le milieu du 19^ème siècle fut marqué par des discussions assez longues entre Navier, Stokes et Poisson pour savoir quelle était la condition aux limites additionnelle en fluide visqueux rendue nécessaire par les dérivées secondes présentes dans les équations de Navier-Stokes 3.4 et 3.5. Cette condition est une condition de non glissement. En effet dans les fluides réels, on observe qu'un élément de fluide au voisinage d'une frontière solide colle à la paroi et la condition supplémentaire est donc :

u.t = 0 3.10

(t vecteur unitaire tangent à la surface)

ou (u - u

s).t = 0 quand la frontière est mobile.

Les 2 conditions de type 3.7 et de type 3.10 sont donc nécessaires dans le cadre du modèle de Navier-Stokes. Le vecteur vitesse total est nul à la paroi et on parle de condition de non glissement.

Discutons brièvement de l'hypothèse d'écoulement idéal, sans friction du modèle d'Euler. Considérons un écoulement au-dessus d'un obstacle. Si effectivement on peut négliger la friction dans l'intérieur du fluide dans un grand nombre de situations, au voisinage de la paroi, le fluide réel, lui, colle à la paroi. On a souvent un très grand cisaillement ∂U/∂y au voisinage de la paroi et donc même si µ est faible la Force/Aire risque d'être très grande à la paroi (µ x ∂U/∂y). Dans une couche mince dite limite on n'a plus le droit de négliger la friction et la question est de savoir si la dynamique de la couche limite n'a pas des effets sur l'intérieur du fluide supposé idéal. C'est tout le dilemme de l'application du modèle d'Euler à des fluides réels, dilemme qui a occupé tout le 19^ème et la moitié du 20^ème siècle !

Dérivation élémentaire du gradient de pression

On revient en arrière pour donner une introduction plus simple aux forces de pression qui interviennent comme le gradient de p dans les équations du mouvement 3.4, 3.5, 3.6. Ceci est souhaitable car ces forces de pression constituent une des nouveautés de la dynamique des fluides par rapport à la dynamique des solides.

Profil de vitesse de couche limite

Considérons un petit cylindre dont les faces coïncident avec les surfaces isobares p et p + dp et dont les génératrices sont parallèles à la normale aux surfaces isobares. La force sur le cylindre est :

S (p + dp) - Sp

orienté dans la direction où p décroît. [La contribution latérale est nulle car la pression est la même à une hauteur donnée sur le cylindre].

La force par unité de volume est donc : S dp/(S dn) = dp/dn Pour un cylindre suffisamment petit :

dp = ∂p/∂n dn

p a une direction vers les p croissants et un module ∂p/∂n. On voit donc que :





























z y x

p p p volume p

de unité

pression de

force

Cette forme permet de déguiser les forces de surface en forces de volume qui seule permettent de calculer l'accélération des particules matérielles.

Bilan des équations et des inconnues

Les équations à notre disposition sont 3 équations du mouvement du type 3.4, 3.5 ou 3.6 pour chacune des 3 directions d'espace et d'une équation de conservation de la masse. Ce qui fait 4 équations. Les inconnues sont les 3 composantes de la vitesse u, v, w, la pression p et la densité , soient 5 inconnues. Il nous manque donc une équation. Cette équation manquante est l'équation de l'énergie interne : en effet si la friction agit dans le fluide on peut penser qu'il y aura échauffement du fluide et que sa température augmentera. Si de plus le fluide est chauffé par des sources de chaleur externes, il nous faut cette équation de l'énergie interne pour préciser comment la température va évoluer. La température apparaît donc comme une inconnue supplémentaire. A l'équilibre thermodynamique, il y aura une équation supplémentaire, l'équation d'état liant densité température et pression. Ces considérations énergétiques sont essentielles quand on veut étudier la propagation de la chaleur dans un fluide chauffé. Nous n'allons pas aborder ces problèmes tout de suite car ils sont complexes.

Nous supposerons que le fluide est "suffisamment" incompressible et que la dissipation d'énergie par friction ne change pas appréciablement la température, donc la densité.

Dans ce cadre, l'équation d'état que nous allons utiliser est simplement :

 = cste 3.11

qui décrit le cas d'un fluide dit homogène. Ainsi le nombre des équations est égal au nombre des inconnues u, v, w et p.

Diffusion

Nous avons vu comment la friction d'origine moléculaire a été introduite dans les équations de la mécanique des fluides par la relation liant contrainte et

p + dp p

dn

déformation, mais il est nécessaire de comprendre plus en détail les processus de diffusion (la friction étant un cas particulier de diffusion de quantité de mouvement).

L'état d'équilibre d'un système fluide est caractérisé par une distribution spatiale uniforme des propriétés du fluide (exemple température, vitesse, vorticité), chaque élément étant alors en équilibre mécanique et thermique avec son environnement. Si tel n'est pas le cas, la matière à l'échelle moléculaire interagit pour restaurer l'équilibre. Ceci est rendu possible par l'existence de transports moléculaires de chaleur, d'énergie etc..., dirigés par exemple d'une région chaude vers une région froide.

Le transport est tel que la différence entre les valeurs d'une propriété de chaque côté d'une surface diminue. Ceci est une donnée expérimentale d'évolution des systèmes naturels qui est à la base du deuxième principe de la thermodynamique. Supposons que la propriété soit notée C(x,t). Le transport de la quantité associée à C à travers un élément de surface de normal n et d'aire A (et par unité de temps) est f  n A où f est le vecteur flux qui peut être fonction de x ou t. Comme on ne peut pas mesurer f à l'échelle moléculaire, on fait l'hypothèse que f est due aux interactions moléculaires au voisinage immédiat de l'élément de surface de sorte que C varie approximativement linéairement sur une distance grande par rapport à l'échelle moléculaire. On postule alors que les composantes de f sont :

fi = Kij

kj

C





où Kij est un tenseur du second ordre caractéristique du fluide à déterminer expérimentalement.

Quand il n'y a pas de direction privilégiée dans le milieu (isotropie), K_ij  k_ij, et f est parallèle à C et f = - kC. C'est le cas pour les fluides usuels.

Dans cette expression f est dirigé en opposition au gradient C(k > 0) de façon à lisser la distribution de C .

Dans le cas de la friction, f est le flux de quantité de mouvement et k la viscosité. De façon analogue la diffusion moléculaire agit aussi sur la vorticité et transporte chaque composante de la vorticité de façon à essayer de l'uniformiser dans l'espace.

La diffusivité se définit comme la quantité transportée par unité d'aire et de temps divisée par le gradient de la même quantité par unité de volume. Les unités sont L² T^-1 (la viscosité cinématique  = / est un exemple de diffusivité appropriée pour la vitesse ou la vorticité).

Supposons que nous ayons une discontinuité de vitesse qui correspond donc à l'existence d'une feuille de vorticité, à t 0. On peut montrer que sous l'effet de la diffusion, l'épaisseur de la feuille croît comme  t ^{1 2}. [L'analogie avec le lissage d'un saut de température dans un solide est complète].

Chapitre IV

MOUVEMENTS PERMANENTS

Dans le cas des écoulements permanents en fluide homogène et non visqueux on peut obtenir assez simplement une première intégrale du mouvement analogue à la conservation de l'énergie en mécanique du solide. Dans les géométries à une dimension (tuyaux etc..) cette intégrale jointe à la conservation de la masse fournit toute la solution. Les applications pratiques sont considérables.

Intégrale ou théorème de Bernouilli

Considérons le modèle d'Euler en fluide idéal et stationnaire (ou permanent)

(u  ) u = - p + F

Supposons que les forces de volume F dérivent d'un potentiel : F = -  

(ex : pour la gravité  = gz)

L'identité remarquable : (u)u =   u +

2

1q², q = |u|,  =   u

où  est le vecteur vorticité (voir chapitre V), permet d'écrire l'équation du mouvement sous la forme :

H = u  

où  p

2 H q

2

Ainsi donc H est normal à u et au vecteur vorticité  : u . H = 0

 .  H = 0

et H est donc constante le long d'une ligne de courant et (ou) le long d'une ligne de vorticité (tangente en tous points au vecteur vorticité) la première de ces relations étant la plus employée :

p + gz +  2 q²

= cst 4.1

Alors que le deuxième terme est l'énergie potentielle par unité de volume et le troisième l'énergie cinétique par unité de volume, le premier représente clairement le travail des forces de pression. La pression a donc une signification énergétique. Quand la pression augmente dans la direction de l'écoulement, les particules fluides effectuent du travail contre les forces de pression et perdent de l'énergie cinétique.

On peut aussi obtenir le résultat 4.1 en se rappelant l'expression de l'accélération le long d'une courbe fixe (ici la ligne de courant). L'accélération a une composante

s q q



 le long de la courbe et une composante normale q²/R (où R est le rayon de courbure) dirigé vers le centre de courbure. Ainsi l'équation du mouvement le long de la courbe s'écrit :

0 2 q

gz 1 s p

2



 



   





Si on définit l'excès de pression p_e du au mouvement par p_e = p + gz alors : pe +

2

1 q²= cste

le long d'une ligne de courant. Selon la composante normale : R

q n

p_e ²



 



où n est dirigé à l'opposé du centre de courbure : Un écoulement circulaire a obligatoirement les plus basses pressions du côté du centre de courbure.

Quand la ligne de courant est droite, R  ∞ et p_e/n = 0, un résultat quelque fois utile. On observera que les tourbillons formés après un coup de rame dans l'eau présentent tous une dénivellation de la surface libre.

Remarque sur p :

Quand on introduit l'excès de pression p, la gravité disparaît du problème quand le fluide est homogène . Elle ne disparaît totalement que si les conditions limites ne la font pas réentrer. Lorsque le fluide est soit illimité soit contenu dans une enveloppe solide les conditions aux limites sont de type vitesse et la gravité ne peut donc jouer aucun rôle dynamique ! Quand les conditions aux limites font intervenir une surface libre (par exemple à l'interface air-mer), on doit avoir continuité de la pression totale et la gravité revient dans la dynamique. Si le fluide est stratifié en densité elle est bien sûr présente à cause de l'existence des forces de flottabilité qui varient spatialement.

Remarque sur les flots irrotationnels

Par définition un flot est irrotationnel si  u0 partout. Dans ce cas H = 0 et H = cst (même valeur dans tout l'espace). On retrouve la même valeur de la constante sur toutes les lignes de courant.

Exemples :

Nous allons maintenant considérer plusieurs exemples d'application de cet important théorème.

1) Vitesse d'un jet à l'orifice d'un container (Formule de Toricelli) : Appliquons le théorème de Bernouilli

à une ligne de courant qui quitte la surface libre et sort par l'orifice. Si le réservoir est assez grand, la vitesse est négligeable en surface par rapport à la vitesse en sortie. D'autre part une fois les effets transitoires passés (après avoir retiré le bouchon) le mouvement devient permanent. Ainsi entre les points A et B, on peut écrire :

p_a = p_a + 2

1  q² - gh

et donc : q = ²

1

gh) (2

Ceci est la même vitesse que celle atteinte par un corps en chute libre tombant d'une hauteur h. Dans un fluide, l'effet additionnel des forces de pression est simplement de faire émerger le jet dans une direction perpendiculaire au mur sans changer sa vitesse par rapport à celle de la chute libre.

2) Tube de pitot (anémomètre)

On veut déterminer la vitesse U d'un écoulement en mesurant la différence de pression dans un manomètre raccordé aux points A et B.

Si le tube de Pitot est assez petit, il modifie peu l'écoulement en amont. Puisque les lignes de courant sont rectilignes, la constante de Bernouilli sur toutes les lignes de courant est la même et on écrit :

p + 2

1  U² = pe + 2 1 q². En A, le flot s'arrête, q = 0, et donc :

pe (A) = p + 2 1  U²

En B, après une certaine distance, le flot est à nouveau rectiligne et possède donc une pression p_ (B) = P_ puisque toutes les lignes de courant non perturbées possèdent cette propriété. La lecture de la différence de niveau entre C et D est donc proportionnelle à la différence de pression ½  U² entre A et B et permet donc de déterminer la vitesse.

3) Diagnostic sur la portance

A Z

B h

D

B A

U C