Génie civil
Aménagements hydrauliques II
Entonnement dans un voûtageLCH/AS 17.06.2000
EXERCICE 5
Entonnement dans un voûtage
Pour la réalisation d’une galerie de dérivation, un entonnement doit être construit pour relier le cours d’eau au voûtage. Cet entonnement doit permettre, sous l'influence d’une dénivellation ∆z, l’accélération de l’écoulement jusqu’à une vitesse V1 correspondant à la vitesse de l’écoulement uniforme dans le voûtage.
Un schéma de cet entonnement est représenté ci-dessous.
Question 1: Calculer la dénivellation nécessaire ∆z pour un débit Q= 8m3/s avec les hypothèses suivantes:
• L’écoulement est fluvial dans le cours d’eau amont.
• Un passage à la profondeur critique se produit dans la section d’entrée de l’ouvrage.
• Les sections d’entrée "0" et d'extrémité aval du convergent "1" sont rectangulaires, de largeur b0= 5m, et b1= 2m.
• Dans le voûtage, l’écoulement est torrentiel et est caractérisé par son nombre de Froude F1, sa pente de fond Js1= 1.85% et par sa rugosité K1= 70m1/3/s selon Strickler.
•
Les pertes de charge dans l’entonnement sont négligeables.Question 2: A quelle condition la profondeur critique s’établit-elle dans la section "0" ? Calculer le débit maximum correspondant si le radier est de pente constante et les murs bajoyers rectilignes?
b0 b1
0 1
Vue en plan
ho=hc
∆z h1
L Profil en long
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Réponse 1: La dénivellation ∆z peut être calculée par l’équation de Bernoulli entre les sections (0) et (1) en tenant compte du fait que les pertes de charge entre les deux sections sont négligeables.
Cela permet d’écrire:
1
0
H
H =
La charge amont H0 est donnée par l’expression suivante:
2 0 0 2 0 2 0
0 2 0 0
0
z
h b g 2 h Q g z
2 h V
H +
⋅ + ⋅
= + +
=
De la même manière, la charge aval H1 est donnée par:
2 1 1 2 1 2 1
1 2 1 1
1
z
h b g 2 h Q g z
2 h V
H +
⋅ + ⋅
= + +
=
2 1 1 2 1 2 1
2 0 0 2 0 2
0
z
h b g 2 h Q h z
b g 2
h Q +
⋅ + ⋅
=
⋅ + + ⋅
⇒
Le nombre de Froude est donné par l’expression suivante:
3 2
2 3
2 2
h b g
Q dH
dA A g F Q
⋅
= ⋅
⋅ ⋅
=
+ ⋅
=
∆
+
+ ⋅
⇒
1 122 0
0
F
2 1 1 h z 2 F
1 1 h
Le régime est critique dans la section d’entrée, ce qui permet d’écrire:
+ ⋅
=
∆
+
1 12c
F
2 1 1 h z 2 h
3
h
cF h
z 2
3 2
1 1
121
−
+ ⋅
=
∆
Application numérique:
m 64 . 0 m 639 . 5 0
81 . 9
8 b
g h Q
3 / 1 2 3 2
1 2 0 2
c
= =
= ⋅
= ⋅
Dans la section 1, l’écoulement étant uniforme la hauteur h1 est calculée par l’équation de Manning-Strickler.
Application numérique
Q = 8m3/s, b1 =2m, Js1 = 1.85%, K = 70m1/3/s 02
. 4 F m 74 . 0
h1= ⇒ 12 =
Finalement, la dénivellation nécessaire vaut:
m z = 1 . 26
∆
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Réponse 2: Le régime critique s’établit dans une section lorsque la charge critique dans celle-ci est maximale.
Pour une section quelconque (x), dans l’entonnement, la charge critique est donnée par l’expression suivante:
( ) x H ( ) ( ) x z x
H
c=
min+
Pour une section rectangulaire, la charge minimale Hmin est donnée par:
c
min
h
2 H = 3
( ) h ( ) ( ) x z x
2 x 3
H
c=
c+
⇒
Il est possible d’exprimer hc(x) de la façon suivante:
3 / 1 2 0 2 0
c
g b
h Q
= ⋅
De même:( ) ( )
3 / 1
2 2
c
g b x
x Q
h
= ⋅
( ) ( )
3 / 2 0
0
⋅
=
⇒ b x
h b x h
c cFinalement, l’expression de la charge critique est donnée par:
( ) ( ) z ( ) x
x b h b 2 x 3 H
3 / 2 0 0 c
c
+
⋅
=
( ) ( )
( ) z ( ) x
x b
x b b
dx h x dH
3 / 5 3
/ 2 0 0 c
c
= − ⋅ ⋅ ′ + ′
⇒
La condition nécessaire pour que se produise le régime critique en x=0 s’écrit:
( ) z 0
b h b dx
0 x dH
0 0 0 0 c
c
′ + ′ ≤
⋅
−
= =
Le radier est à pente constante
L z
0′ = ∆ z
⇒
Les murs bajoyers sont rectilignes
( )
L b b L
b
0′ = ∆ b = −
1−
0⇒
z(x)hc(x)
x z
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Il vient donc:
b z b
h
0 0 c
∆
≤ ∆
La hauteur d’eau maximale correspondante vaut:
b b z h
c0max 0∆
⋅ ∆
=
D’où le débit critique maximal correspondant:
2 / 3
max 0 c 0
max
b g h
Q = ⋅ ⋅
Application numérique:
