    Les intégrales de Bessel

(1)

Les intégrales de Bessel

Pour tout couple ( ;  d’entiers naturels on pose :

   

1

0

, 1 d

I   



t^ t ^ t^.

Le but est de déterminer une expression de ^I



^{ }^,



en fonction de  et .

On effectue une intégration par parties en choisissant deux fonctions u et v telles que

 

'

u t t^ et ^{v t}

  

^ ¹^^t



^^.

On a alors

 

1

1 u t t

 

   et ^{v t}^'

 

^{ }



¹^^t



^¹^.

On obtient :

     

1 1

1 0 0

, 1 1 d

1 1

t t

I t t t

 

 

 

       

   

 



^.

 

1

1 1 0

1 d

1t^{ } t ^ t

  



 

 

1 1 1 0

1 d

1 t^{ } t ^ t

  

 





^1, ¹



1I

     

 

On a donc



^,

 

^1, ¹



I 1I

      

  .

Grâce à cette relation, on peut donner une expression de ^I



^{ }^,



en fonction de  et .



^,

 

^1, ¹



I 1I

      

 

 

 

¹

 

^2, ²



1 2 I

  

    

   

….

 

 

¹



^{... 1}

  

^{, 0}



1  2  ... I

   

        

(2)

 

1

1 1

0 0

, 0 d 1

1 1

I t t t



  

      

       

 



On peut alors écrire la formule finale suivante :

 

   

! !

, ! 1

I   

  

       

 

! !

, 1 !

I   

  

   