= = ´ ´ 22 25 eeB eeA

Correction des exercices 8 et 9

Exercice 8 :

Effectuer les calculs ci-dessous :

Corrigé :

• 𝐴 = 5𝑒^%&' × 2𝑒^%&* = 5 × 2𝑒^+,&'-&*. = 10𝑒^+,&'-1&'. = 10𝑒^+*&' = 10𝑒^+&1

• A savoir :

Soit un nombre complexe de forme algébrique 𝑎 + 𝑖𝑏, de module 𝑟 et d’argument 𝜗.

Alors, son conjugué, de la forme 𝑎 − 𝑖𝑏, a le même module 𝑟 mais son argument de −𝜗.

Donc : 𝐵 = 2𝑒;;;;;;^:&1

× 2𝑒^+< = 2𝑒^{= %&1} × 2𝑒^+< = 4𝑒^{+,= &1-<.} = 4𝑒^{+,= &1-1&1.} = 4𝑒^+&1

• 𝐶 =^AB

C%&

* DB^%&*

= 4𝑒^+,C&*=&*. = 4𝑒^*%&* = 4𝑒^+<

• 𝐷 = ^DB

F%&

1

DB^%& = 1𝑒^+,=&1=<. = 𝑒^+,=&1=1&1. = 𝑒^=*%&1

3

6 2

5

p p

´

= eⁱ eⁱ

A ^p

p

´

= eⁱ eⁱ B 2 ² 2

3 3 4

2 8

p p

= i i

e

C e _p

-p

= _i

i

e D e

2 2 ²

Exercice 9 :

On considère le nombre complexe : .

Donner la forme exponentielle puis la forme algébrique de chacun des nombres complexes : z, z², z³, …, z⁶. Corrigé :

Mettons 𝑧 sous forme exponentielle pour pouvoir appliquer les règles des puissances.

• |𝑧| = I,^J_D.^D+ ,^√L_D.^D = I^J_M+^L_M = I^M_M= √1 = 1 N cos 𝜗 =

R 1 J = ^J_D sin 𝜗 =

√*

1 J =^√L_D

donc 𝜗 =^<_L[2𝜋] Conclusion : 𝑧 =^J_D+ 𝑖^√L_D = 𝑒^%&*

• 𝑧^D = X𝑒^%&*Y^D = 𝑒^1%&* = cos ,^D<_L. + 𝑖 sin ,^D<_L. = −^J_D+ 𝑖^√L_D

• 𝑧^L = X𝑒^%&*Y^L = 𝑒^*%&* = 𝑒^+< = cos(𝜋) + 𝑖 sin(𝜋) = −1 + 0𝑖 = −1

• 𝑧^M = X𝑒^%&*Y^M = 𝑒^C%&* = cos ,^M<_L. + 𝑖 sin ,^M<_L. = −^J_D− 𝑖^√L_D

• 𝑧^\ = X𝑒^%&*Y^\ = 𝑒^]%&* = cos ,^\<_L. + 𝑖 sin ,^\<_L. =^J_D− 𝑖^√L_D

• 𝑧^{^} = X𝑒^%&*Y^{^} = 𝑒^'%&* = 𝑒^D+< = cos(2𝜋) + 𝑖 sin(2𝜋) = 0 + 1𝑖 = 𝑖

i

z 2

3 2 1+

=