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Mathématiques

DEVOIR DE CONTROLE N° 1

4^èmesc

29 / 10 / 2010 , 2^H

Exercice N°1 : ( 3 pts)

1- Soit z un nombre complexe non nul d’argument^𝜋

3alors un argument de i 𝑧³ est : a/ - ^𝜋

3 𝑏/ − ^𝜋₂ 𝑐/ 𝜋 2- Soit z = - cos ( ^2𝜋

5) + i sin ( ^2𝜋

5 ) alors z est une racine cinquième de :

a/ 1 b/ -1 c/ i

3- Soit ( U_n) la suite définie sur IN par U_n = ^(−1)𝑛

𝑛+2 alors on a :

a/ lim𝑛→+∞𝑈𝑛 = 0 b/ lim𝑛→+∞𝑈𝑛 = + ∞ c / ( Un ) n’admet pas de limite 4- Les 2 suites u et v définies sur IN par U_n = ¹

𝑛+1 et v_n = −_𝑛+1² sont : a/ adjacentes b/ divergentes c/ décroissantes

Exercice N°2 : ( 6 pts )

Soit la suite (Un) définie sur IN par � 𝑈0 = 0

𝑈_𝑛+1 = �4 + 3𝑈_𝑛tout n∈ IN 1- Montrer que pour tout n ∈ IN on a : 0 Un< 4

2- a) Montrer que (Un) est une suite croissante

b) En déduire que (Un ) est convergente et calculer sa limite 3- a) Montrer que pour tout n ∈ IN on a : 0< 4 – Un+1<4

2 un

− b) En déduire que pour tout n ∈ IN on a: 4 – Un ²

( )1 2

≤ n− puis retrouver la limite de la suite (Un) Exercice N°3 : ( 6 pts )

1/ a) Résoudre dans IC : z ² - 4i z - 8 = 0 b) Mettre les solutions sous forme exponentielle

2/ Pour tout nombre complexe z , on pose : P(z) = z³ - ( 3 +4 i) z² - 4(2-3i) z + 24 = 0 a) Vérifier que P( 3 ) = 0 , en déduire une factorisation de P ( z ) .

b) Résoudre alors dans IC l’équation : P (z) = 0 .

≤

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3/ Dans le plan complexe rapporté a un repère orthonormé direct ( O , u, ) .on désigne par A , B , C v et I les points d’affixes respectives : 2+2 i ; -2 + 2 i ; 3 et 2 i

a- Montrer que le triangle OAB est rectangle et isocèle . b- Déterminer l’ensemble E = {𝑀(𝑧)/ | 2 i z + 4 | = 4 } c- Montrer que ( OC ) est tangente a E .

Exercice N°4: ( 5 pts )

Soit θ∈]0, [π et ( E ) : z ² – 2 z + 1 -e^2iθ = 0 . 1/a- Résoudre dans IC l’équation ( E ) .

b- Ecrire chacune des solutions de ( E ) sous forme exponentielle . 2/ Soit P le plan complexe rapporté a un repère orthonormé direct ( O ,  i j,

) .

On considère les points A ,M₁ et M₂d’affixes respectives z_A = 2 , z₁ = 1 + e^iθ et z₂ = 1 -e^iθ a- Déterminer et construire l’ensemble des points M1 lorsque θ decrit ]0, [π .

b- Montrer que ^𝑧2

𝑧1 =−𝑖 𝑡𝑔(^𝜃₂) ,en déduire que O M₁A M₂ est un rectangle . c- Déterminer θ pour que O M₁A M₂ soit un carré .

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