A.P.M.E.P.
Entrée à Sciences Po
ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2013 MATHEMATIQUES
durée de l’épreuve : 3h
Les calculatrices sont autorisées.
Exercice Vrai-Faux
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant soigneusement la réponse
1. On considère la suite géométrique (un) de premier termeu0= −1 et de raison 4
5, et on poseSn=u0+u1+...+unpour tout entier naturel non nuln.
La suite (Sn) converge vers 5.
2. On considère les suites (un) et (vn) définies paru0=1,un+1=2un+3 etvn= un+3 pour tout entier natureln.
La suite (vn) est géométrique.
3. On considère les suites (un) et (vn) définies paru0=1,un+1=un+1 etvn= e−unpour tout entier natureln.
La suite (vn) est convergente.
4. Une entreprise de sondage réalise une enquête par téléphone. On admet que la probabilité que la personne contactée accepte de répondre est égale à 0,2.
Si un enquêteur contacte 50 personnes, la probabilité qu’au moins six per- sonnes acceptent de lui répondre est supérieure à 0,95.
5. Toute suite non majorée diverge vers+∞.
6. L’équation ln(x)+ln(x+1)=ln(2) admet le réel 1 pour unique solution.
7. On considère la fonctionf définie surRparf(x)=(x+1)2e−x.
La tangente à la courbe représentative def au point d’abscisse 0 est parallèle à la droite d’équationy=3x.
8. L’équationx3+4x2+4x= −2 a exactement trois solutions réelles.
9. Voici un algorithme :
Entrée Saisir un entier naturela
Traitement Affecter ànla valeur 1 et àcla valeur 1 Tant quec<a
Affecter ànla valeurn+1.
Affecter àcla valeurc+n2 Fin du Tant que
Sortie Afficher la valeur den Si on saisit pourala valeur 20, alors la sortie vaut 4.
10. On lance deux dés cubiques et non truqués. On appelleXla variable aléatoire donnant le plus grand des deux chiffres obtenus.
L’espérance de la variable aléatoireXest : E(X)=161 36 .
Entrée à Sciences Po A. P. M. E. P.
Problème
Partie A
On considère la fonctionf définie sur ]0 ;+∞[ par :
f(x)=ln
·e 2 µ
x+1 x
¶¸
et on appelleC sa courbe représentative dans un repère orthonormé (unité gra- phique 2 cm).
1. Étudier les variations de la fonctionf sur ]0 ;+∞[ ainsi que les limites en 0 et en+∞.
2. Montrer que l’axe des ordonnées du repère et la courbe Γd’équation y = ln³e
2x´
sont asymptotes à la courbeC. On rappelle que les courbesC etC′ respectivement représentatives de deux fonctionsf etgsont asymptotes en +∞si lim
x→+∞[f(x)−g(x)]=0.
3. a. Montrer que, pour tout réelxstrictement positif,f′(x)<1.
b. Étudier le signe de f(x)−x sur ]0 ;+∞[ et en déduire la position de la courbeC par rapport à la droiteDd’équationy=x.
4. Tracer la droiteDainsi que les courbesΓetC sur le même graphique.
Partie B
On se donne un réelu0supérieur ou égal à 1. La suite (un) est définie par la donnée deu0et de la relationun+1=f(un) pour tout entier natureln.
1. Montrer que la suite (un) est minorée par 1.
2. Montrer que la suite (un) est décroissante.
3. Montrer que la suite (un) est convergente.
Partie C
On admet que la limite de la suite (un) est égale à 1.
On se propose dans cette partie d’étudier la rapidité de convergence de la suite (un) vers sa limite.
1. Que peut-on dire de la suite (un) quandu0vaut 1 ? 2. Dans cette question on choisit la valeur3
2pouru0.
À l’aide de la calculatrice, donner les valeurs arrondies à 10−6près deu1,u2,u3. On suppose dans cette partie que le réelu0est strictement supérieur à 1.
3. a. Montrer que pour tout réelt> −1 on a ln(1+t)6t.
b. Montrer que pour tout réelh>0 on a
f(1+h)−1=ln µ
1+ h2 2(h+1
¶ .
4. On définit la suite (vn) parvn=un−1 pour tout entier natureln.
Montrer que pour tout entier naturelnon avn+16v
n2
2 .
5. Montrer que pour tout entier naturelnnon nul, on a 06vn62³v1 2
´2n−1
.
6. Dans cette question, on choisit à nouveau la valeur3
2 pouru0. À partir de quelppeut-on affirmer queup−1610−20?
3 mars 2013 2
