Exercice 1 (D'après Pondichéry, avril 2005)
Une résidence de vacances propose deux types d’appartements (studio et deux pièces) à louer à la semaine. L’appartement doit être restitué parfaitement propre en fin de séjour.
Le locataire peut décider de le nettoyer lui-même ou peut choisir l’une des deux formules d’entretien suivantes : la formule Simple (nettoyage de l’appartement en fin de séjour par le personnel d’entretien) ou la formule Confort(nettoyage quotidien du logement durant la semaine et nettoyage complet en fin de séjour par le personnel d’entretien).
Le gestionnaire a constaté que :
60 % des locataires optent pour un studio et parmi ceux-ci 20 % ne souscrivent aucune formule d’entretien ;
la formule Simple a beaucoup de succès : elle est choisie par 45 % des locataires de Studio et par 55 % des locataires des deux-pièces ;
18 % des locataires ne souscrivent aucune formule.
On rencontre un résident au hasard.
Soit S l’événement « Le résident a loué un studio ».
A l’événement « Le résident a souscrit la formule Simple ».
B l’événement « Le résident a souscrit la formule Confort ».
R l’événement « Le résident n’a souscrit aucune formule d’entretien ».
1. a. Définir par une phrase « B ∩ S » puis « PS(B)».
b. Calculer PS(B).
2. Le résident a loué un deux-pièces. Montrer que la probabilité qu’il assure lui-même le nettoyage de son appartement est 0,15.
3. Le gestionnaire affirme que près de la moitié des résidents choisit la formule Simple.
Présenter les calculs qui justifient son affirmation.
4. La location d'un studio à la semaine coûte 350 euros, celle d'un deux-pièces 480 euros.
La formule Simple coûte 20 euros et la formule Confort 40 euros.
Soit L le coût de la semaine (loyer et entretien); il prend différentes valeurs Li. On désigne par pi la probabilité que le coût de la semaine soit égal à Li.
a. Compléter le tableau ci-dessous.
b. Calculer l'espérance de L. En donner une interprétation.
Exercice 2
Dans un hypermarché, on propose aux mille premiers clients, à l’entrée du magasin, de participer gratuitement à une loterie.
Parmi ces mille tickets, il y a :
dix tickets donnant droit à un bon d’achat de cent € ;
soixante tickets donnant droit à un bon d’achat de trente € ;
cent tickets donnant droit à un bon d’achat de dix € ;
Les autres tickets sont perdants.
En moyenne, combien peut espérer gagner un client participant à cette loterie ?
Li 350 370 390 480 500 520
pi 0,12 0,21 0,12
TES1 loi de probabilité FEUILLE n°4
d'une variable aléatoire discrète
Exercice 3 Polynésie, septembre 2007
Une buvette, située en bordure de plage, est ouverte de 12 heures à 18 heures. Elle propose des crêpes salées et des crêpes sucrées. Chaque client achète une seule crêpe.
60 % des clients se présentent à l'heure du déjeuner (entre 12 heures et 14 heures).
Parmi les clients achetant une crêpe l'après-midi (à partir de 14 heures), 80 % choisissent une crêpe sucrées.
On appelle :
D l'événement : « le client est venu à l'heure du déjeuner ».
A l'événement : « le client achète une crêpe salée ». On sait que la probabilité qu'un client achète une crêpe salée est égale à 0,62.
On pourra représenter les différentes situations par des arbres pondérés.
Les résultats seront donnés sous forme décimale.
1. Déterminer les probabilités des événements D et D.
2. a. Un client est venu l'après-midi. Quelle est la probabilité qu'il ait acheté une crêpe salée ? b. Calculer PA ∩ D.
c. En utilisant la formule des probabilités totales, calculer P(A∩D).
d. Un client vient à l'heure du déjeuner; montrer que la probabilité qu'il achète une crêpe salée est égale à 0,9.
3. Un client a acheté une crêpe salée;quelle est la probabilité, à 0,01 près, qu'il soit venu l'après-midi ?
4. On vend 3 euros une crêpe salée et 2 euros une crêpe sucrée. La buvette reçoit 250 clients par jour. Quelle est l'espérance de la recette quotidienne due à la vente de crêpe ?
Exercice 4 Polynésie, septembre 2006
On suppose qu’un indice, calculé quotidiennement, n’évolue d’un jour à l’autre que de trois façons possibles soit il diminue de 10 %, soit il est stable, soit il augmente de 10 %.
On note i0=100 l’indice de départ et inl’indice au bout de n jours.
1. a. Si pendant dix jours consécutifs il y avait trois jours de hausse, puis quatre jours de stabilité, puis trois jours de baisse, quel serait, arrondi au centième, l’indice final i10? Quelle serait l’évolution en pourcentage par rapport à i0?
b. On suppose que l’indice augmente tous les jours.
Montrer que la suite indes indices est une suite géométrique, dont on précisera le terme initial et la raison.
Dans ce cas déterminer au bout de combien de jours cet indice dépassera la valeur 1 000.
2. Une étude a montré que, chaque jour, l’indice augmente de 10 % avec une probabilité égale à 0,3, diminue de 10 % avec une probabilité égale à 0,2 et reste stable avec une probabilité égale à 0,5. L’évolution d’un jour à l’autre est indépendante de l’évolution des jours précédents.
On s’intéresse maintenant à l’évolution de cet indice sur deux jours.
On note X la valeur de l’indice i2 au bout de deux jours.
a. Construire un arbre de probabilités illustrant l’évolution de cet indice sur deux jours.
b. Compléter le tableau suivant, donnant la loi de probabilité de X où les xisont les valeurs possibles de X et pila probabilité que X soit égale à xi.
xi 81 90 100 110 121
pi 0,2 0,12 0,25
c. Calculer l’espérance mathématique de X.
