Mines PC 2019
1 La série converge car elle est absolument convergente. La continuité se montre à l'aide de la convergence normale.
2 La fonction g à intégrer se prolonge en 0 par g(0) = 1en une fonction g continue sur [0,+∞[. Et au voisinage de +∞, g(x)est dominé par x12, intégrale de Riemann.
3 On utilise le théorème continuité d'une intégrale à paramètre, avec pour domination ϕ(t) =|f(t)|
4∀n≥1,|f(nh)| ≤ n2Ch2, donc la série converge absolument.
5,6 On remarque queφhest continue par morceaux sur [0,+∞[. Pourh >0et t≥h: ht −1<t
h
donct−h <t
h
hdonc
|φh(t)|= f
t h
h
≤ C
1 + (t−h)2 donc dominé par t12 au voisinage de+∞, ce qui prouve l'intégrabilité de φh. Ensuite :
∀n≥1, h.
n−1
X
k=0
f(kh) = ˆ nh
0
φh
puis on prend la limite pourn→+∞.
7 On va utiliser l'extension du théorème de convergence dominée.
∀h >0,∀t≥0, t−h <
t h
h≤t Donc lim
h→0
t
h
h=t ; f étant continue : lim
h→0f t
h
h
=f(t), d'où la convergence simple. La domination est assurée par la question 6.
8 On choisit
f(t) = sint2 t2 prolongée parf(0) = 1. On montre que pourC= 2,
∀t∈R,|f(t)| ≤ C 1 +t2 En eet :
- si|t| ≤1:
0≤f(t)≤1≤ 2 1 +t2 -si|t| ≥1,
0≤f(t)≤ 1 t2 ≤ 2
1 +t2 f vérie les hypothèses de II, donc on peut appliquer la question 7 :
h→0limS(h) = rπ
2 Or,
∀h >0, S(h) =h+h.
∞
X
n=1
sin n2h2
n2h2 =h+1 hR h2 On en déduit que
R(x) ∼
x→0
rπx 2 Conclusion,R n'est pas dérivable en 0.
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