• Indiquez NOM, PRENOM et numéro sur chaque feuille de papier ministre ainsi que sur l’énoncé et le brouillon.
• L’examen se déroule de 08H00 à 12H00.
• Ne sont autorisés que le matériel d’écriture et de dessin éventuel.
• Répondez aux questions 1 et 2 sur la même feuille de papier ministre.
• Répondez aux questions 3, 4 et 5 sur des feuilles de papier ministre séparée.
• Répondez à la question 6 sur la feuille d’énoncé.
• Déposez votre carte d’identité sur le banc.
• Attention : Indiquez les développements et justifications de vos réponses. Une réponse sans développement ou justification ne sera pas prise en compte !!!
Question 1 – Théorie 1 /3
Soit un point P décrivant une courbe au cours du temps.
Q1.1 : Ecrivez l’expression de sa position en coordonnées cylindriques.
1 1
Q1.2 : Etablissez (en partant de l’expression de sa position) l’expression de la vitesse et de l’accélération du point P en coordonnées cylindriques.
1 1
Où
1
lim∆1 ∆ 1∆
∆ 1∆
∆ 1 1
1
De même avec
1
La dérivée par rapport au temps du vecteur position nous fournit le vecteur vitesse : 1 1 1
La dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse nous fournit le vecteur accélération : ! "#1 ! 21 !1
Q1.3 : En déduire la position, la vitesse et l’accélération (en coordonnée cylindrique) d’un point décrivant une trajectoire d’hélice circulaire de rayon R et de pas P. L’hélice est parcourue à vitesse angulaire ω constante.
Trajectoire d’hélice circulaire à vitesse angulaire constante :
%1&
' 1 %1&(
2) 1 %(1&(
2) 1 %("1
Question 2 – Théorèmes énergétiques /3
L’énergie potentielle V(x) d’une particule P en fonction de sa position est donnée par : *+ , sin + où (b>0). La masse de la particule est m.Q2: Si on la place à l’instant t=0 en A tel que +/01, que doit valoir au minimum sa vitesse initiale dirigée vers les x positifs pour que la particule P atteigne la position B telle que +201 ?
L’énergie totale de la particule est conservée : ' * 3.
Pour que la particule atteigne le point +201 , il faut que sa vitesse reste positive et non nulle tout le long de son parcours vers ce point.
La vitesse de la particule est minimum lorsque le potentiel est maximum c’est lorsque V(x) est maximum (=b) qu’il faut s’assurer que la vitesse est positive non nulle :
Il faut 34 , et initialement 356"789"
56"784:",4 ;:95
Question 3 – Cinématique 1 /4
Un disque de rayon R muni d’une encoche radiale OX tourne à la vitesse angulaire ( < (A l’instant t=0, les axes OX et OY sont confondus avec les axes fixes Ox et Oy). Dans cette encoche se trouve un point P qui peut se déplacer suivant la loi =>&= ?"1 sinΩ, où Ω est une constante.Q3.1 : Déterminez les composantes dans OXY des vitesses relative, d’entraînement et absolue de P.
AB C>D&
EAB%
2 Ωcos Ω1I AJ KD ( L >M& <%2 1 sinΩ1N O9P AB AJ%
2 Ω cosΩ 1I<%
2 1 sinΩ1N
Q3.2 : Déterminez les composantes dans OXY des accélérations relative, d’entraînement, de Coriolis et absolue de P.
QAB C">D&
" E
AB
%
2 Ω"sin Ω1I
QAJ QKD < L >M& ( L ( L > <%D& 2 1 sinΩ1N<""%
2 1 sinΩ1I QRS 2( L AB <%Ω cos Ω1N
QO9P QAB QAJ QRS<%
2 2Ω cosΩ 1 sinΩ1N%
2 Ω"sinΩ <"" <""sinΩ1I
Q3.3 : Déterminez les instants auxquels s’annule la vitesse d’entraînement.
=AJ= <%
2 1 sinΩ 0 En 0 ou pour sinΩ 1
Ce qui correspond aux instants ou le point P se retrouve à l’origine :
UV:0" 2W)X où W Y Z
Question 4 – Potentiel et équilibre /4
Soit le système articulé suivant composé de 3 barres AB, BC et CD pesantes homogènes de masse m et de longueur L. La barre AB est articulée à un mur vertical par une rotule en A. La barre CD est articulée à un mur vertical par une rotule en D. La barre BC est liée aux barres AB et CD par des articulations. Le point B est lié à un ressort de constante de rappel k. L’extrémité supérieure du ressort est montée sur un rouleau de manière à garder le ressort toujours vertical. La position libre du ressort est obtenue pour 0. L’articulation A est soumise au moment de force M.Q4.1 : Déterminez le potentiel du système complet.
* 2 [\]^
2 sin _ \]^ sin W^ sin "
2 `
* 2\]^ sin W^ sin "
2 `
Q4.2 : Quel moment de force M faut-il appliquer pour que la position d’équilibre corresponde à un angle de 30° ?
La dérivée première du potentiel vaut :
* 2\]^ cos W^"
2 2 sin cos ` A l’équilibre, on a :
* a 0 Le moment de force s’exprime donc :
` 2\]^ W^"sin cos [2\]^ W^2 _ √3"
2
Q4.3 : Cette position est-elle stable ? La dérivée seconde du potentiel vaut :
"*
" 2\]^ sin W^"cos 2 Et plus particulièrement pour un angle de 30° :
"*
" \]^ W^"
2 4 0 La position est stable.
Question 5 – Dynamique et équations différentielles /4
On désire étudier le mouvement d’une personne de masse m qui saute à l’élastique depuis un pont situé à une altitude h au dessus d’une rivière. L’élastique a une longueur statique (sans charge) L et une constante de rappel k.On néglige la masse de l’élastique dans les calculs et on suppose que la vitesse initiale de l’individu est nulle. On vous demande d’effectuer les calculs en considérant un mouvement uniquement vertical. De plus, on néglige toute dissipation d’énergie. On assimile le sauteur à un point matériel.
Q5.1 : A partir des équations du mouvement, déterminez l’altitude minimale atteinte par l’individu. Quelle est la pulsation du mouvement oscillant ?
On place un axe x orienté positivement vers le bas et avec son origine sur le pont.
Le mouvement doit être décomposé en différentes parties : 1. Chute libre sans frottement de x=0 à L.
2. L’élastique commence à travailler en x=L, l’individu descend jusqu’en xmax. La première partie du mouvement :
En écrivant d \] \+!, on trouve :
+! ] + ] + ] + ]"
2 + +]"
2 La seconde partie du mouvement :
En écrivant :
d \] W+ ^ \+!
] W^
\ +! W
\ + On trouve :
+efgh ijkl mnW
\ o plqr mnW
\ o
+esgJh t ]\
W ^ + ]\
W jkl mnW
\ o ];2^]
;W\ lqr mnW
\ o ]\
W ^
+ ]\
W nW
\ lqr mnW
\ o ];2^]
;W\
nW\ jkl mnW
\ o
L’altitude minimale correspond à un allongement maximal de l’élastique et est atteinte pour une vitesse nulle
;\
W lqr mnW
\ o n2^
] jkl mnW
\ o 0 u ;\
W tanxn2^W ]\
Cet allongement vaut
+5Oy ]\
W jkl mnW\ uo ];2^]
;W\ lqr mnW
\ uo ]\
W ^ L’altitude minimale z5{J z +5Oy
La pulsation est ;5|
Question 6 – Théorie 2 /2
Soit un point P lié à la roue arrière du vélo représenté sur les schémas suivants. Le vélo se déplace dans un repère absolu oxy avec une vitesse *R constante.Répondez aux questions suivantes en n’oubliant pas de justifier vos réponses. Les calculs ne sont pas demandés.
Q6.1 : Représentez sur le schéma suivant les trajectoires absolue, relative et d’entrainement de P.
Le repère relatif CXY est en translation par rapport à un repère absolu oxy, la trajectoire d’entrainement est donc une droite. Dans ce repère relatif, le point P est en rotation à vitesse angulaire constante, la trajectoire relative est donc un cercle. La trajectoire absolue est la composée des précédentes.
Q6.2 : Représentez sur le schéma suivant les vitesses absolue, relative et d’entrainement de P.
La vitesse relative est un vecteur tangent à la trajectoire relative. La vitesse d’entrainement est le vecteur Vc. La vitesse absolue est la composée des vitesses précédentes.
Q6.3 : Représentez sur le schéma suivant les accélérations absolue, relative, d’entrainement et de Coriolis de P.
L’accélération d’entrainement est nulle car Vc est constante. L’accélération relative est un vecteur dirigé vers le centre du cercle. L’accélération de Coriolis est nulle étant donné que le repère relatif n’est pas en rotation par rapport au repère absolu. L’accélération relative est donc égale à l’accélération absolue.
Cf. schéma précédent.
