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ndecorrigé du TD n
o2 sur les probabilités
I
1. D’après les données de l’énoncé, on a :p(A)=0, 08 ;p(B)=0, 07 ;p³ A∪B´
=0, 88 oup³ 1∩B´
=0, 88.
2. A∪Best l’événement « avoir (au moins) l’un des deux défauts ».
p(A∪B)=1−P
³ A∪B
´
=1−0, 88=0, 12 ; p(A∪B)=0, 12
3. p(A∩B)=p(A)+p(B)−p(A∪B)=0, 08+0, 07−0, 12=0, 03 ; p(A∩B)=0, 03
4. Un élément deAappartient àBou n’appartient pas àB. Compléter le diagramme de Venn ci-dessous.
A∩B A∩B A
Les éléments deAappartiennent à B ou pas àB, doncA=(A∩B)∪
³ A∩B´
(réunion d’événements incompatibles, c’est-à-dire d’intersection vide)
5. On en déduitp(A)=p(A∩B)+p
³ A∩B
´ doncp
³ A∩B
´
=p(A)−p(A∩B)==0, 08−0, 03= 0, 05. La probabilité que, sur cet article, il n’y ait que le composantaqui soit défectueux est 0,05.
II
Une étude sur réalisée sur l’ensemble des 2 700 salariés d’une entreprise a permis d’établir les résultats suivants :
— 216 salariés ont entre 15 et 24 ans, 62 % des salariés ont entre 25 et 49 ans et 810 salariés ont plus de 50 ans.
— 2 025 salariés ont un emploi à durée indéterminée.
— 4 % des salariés ayant un emploi à durée indéterminée ont entre 15 et 24 ans et 64 % des salariés ayant un emploi à durée indéterminée ont entre 25 et 49 ans.
1. Recopier et compléter le tableau suivant donnant la répartition des effectifs selon l’âge et le type de contrat :
15-24 ans 25-49 ans Plus de 50 ans Total
Emplois à durée in-
déterminée 81 1 296 648 2 025
Autres catégories 135 378 162 675
Total 216 1 674 810 2 700
• 62 %×2700= 62
100×2700=62×27=1674
• 2025×4 %=2025× 4 100=81
• 64 %×2025=1296
On place ces trois nombres dans le tableau. On calcule alors les nombres manquants à partir des différents totaux.
2. On choisit la fiche de paye d’un salarié de cette entreprise. On admet que chacune de ces fiches possède la même probabilité d’être choisie. Nous sommes donc en situation d’équiprobabilité. La probabilité d’un événementAest nombre éléments deA
nombre d’éléments deΩ On considère les évènements suivants :
— J« La fiche choisie est celle d’un salarié ayant entre 15 et 24 ans » ;
— M« La fiche choisie est celle d’un salarié ayant entre 25 et 49 ans » ;
— S« La fiche choisie est celle d’un salarié ayant plus de 50 ans » ;
— D« La fiche choisie est celle d’un salarié ayant un emploi à durée indéterminée ».
(a) L’évènementS∩Dest l’événement « le salarié a plus de 50 ans et un emploi à durée indéterminée ».
p(S∩D)= 648
2700=0, 24= 6 25
(b) La probabilité de l’évènement « La fiche choisie est celle d’un salarié ayant entre 25 et 49 ans ou ayant un emploi à durée indéterminée »estp(M∪D)=p(M)+p(D)−p(M∩D)=1674+2025−1296
2700 =2403
2700=0, 89
3. On établit la fiche de paye d’un salariéayant entre 15 et 24 ans. Onrestreintdonc l’ensemble sur lequel porte l’étude.
La probabilité que la fiche soit celle d’un salarié n’ayant pas un emploi à durée indéterminée est135
216= 0, 625=5 8 Page 1/2
III Utilisation d’un tableau
On lance deux dés cubiques équilibrés numérotés de 1 à 6. On note alors le plus grand des deux numéros sortis.
1. Utilisons un tableau à double entrée pour modéliser la situation.
Dé 2
Dé 1 1 2 3 4 5 6
1 1 2 3 4 5 6
2 2 2 3 4 5 6
3 3 3 3 4 5 6
4 4 4 4 4 5 6
5 5 5 5 5 5 6
6 6 6 6 6 6 6
2. Ω={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
3. NotonsXle plus grand deux deux nombres.
• p(X=1)= 1 26
• p(X=2)= 3 26
• p(X=3)= 5 26
• p(X=4= 7 26
• p(X=5)= 9 26
• p(X=6)=11 26 On vérifie que la somme de toutes les probabilités vaut bien 1.
IV Utilisation d’un arbre
La porte d’entrée d’un immeuble est muni d’un clavier de trois touches marquées par les lettresA,BetC. Le code qui déclenche l’ouverture de la porte est formé d’une série de deux lettres distinctes ou non.
1. Recopier et compléter l’arbre suivant qui dénombre l’ensemble des codes possibles :
b b
A
b A
b B
b C
b
B
b A
b B
b C
b
C
b A
b B
b C
2. Il y a 9 codes possibles.
3. Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants.
A : p(« Le code se termine par A. »)= 3 9=1
3
B : p(« Le code est formé de deux lettres différentes. »)= 6 9=2
3 C : p(« Le code comporte au moins une fois la lettre A. »)= 5
9 (AA ; AB ; AC ; BA ; CA)
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