Axiomatique du corps des réels

Axiomatique du corps des réels

Rédaction incomplète. Version 0.4

Plan

I. Pré-requis . . . 1

II. Présentation axiomatique . . . 1

III. Premières propriétés. . . 1

1. Autour de la relation d'ordre. . . 1

1.Plus grand et plus petit élément. . . 2

2.Intervalles . . . 2

3.Raisonnement à la Cauchy . . . 2

2. Autour du "c'est pas trop gros".. . . 2

1.Caractère archimédien . . . 2

2.Densités . . . 3

3.Fonction partie entière. Division euclidienne réelle. . . 3

4.Approximations décimales. . . 4

3. Autour de la propriété de la borne supérieure.. . . 5

1.Partie non vide minorée. . . 5

2.L'ensemble des rationnels ne vérie pas la propriété de la borne supérieure.. . . 5

3.Parties convexes. . . 6

4.Suites monotones.. . . 7

Index

approximations décimales,4 développement décimal,4 fonction partie entière,3 forme normalisée d'un réel,4 mantisse d'un nombre réel,4 nombres décimaux,4

notation scientique d'un réel,4 partie convexe,6

partie dense,3

partie entière,3 partie fractionnaire,3 présentation axiomatique

corps des réels,1 question de cours

partie convexe deR, 6

rationnels, irrationnels, densité,3 raisonnement à la Cauchy,2

théorème des valeurs intermédiaires,6

I. Pré-requis

Ensembles innis d'entiers. Vocabulaire général relatif aux suites. Toute partie non vide deNadmet un plus petit élément. On utilisera aussi souvent que1 est le plus petit élément deN^∗ ce qui se traduit par :

∀(a, b)∈Z²: a−1< b < a+ 1⇒b=a

Pour toute partie innie I de N, il existe une bijection strictement croissante de N dans I. Voir Entiers naturels - Dénombrement.

Opérations sur les suites. Ensembles de valeurs associés à une suite. Suites majorées, minorées, bornées.

Suites extraites. voirSuites de réels.

Groupe des entiers relatifs. Corps des rationnels Présentation axiomatique deZ: groupe avec une relation d'ordre (à rédiger).

Présentation axiomatique deQ: corps avec une relation d'ordre (à rédiger).

Division euclidienne dansZ, conséquence dans Q.

Bornes supérieures et inférieures rappel des dénitions. VoirRelations Convergence d'une suite vers 0.

Borne inférieure. Borne supérieure Présentons une dénition des notions de borne supérieure et de borne inférieure dans le cadre général d'un ensemble ordonné c'est à dire muni d'une relation d'ordre.

Dénition. SoitE un ensemble ordonné etAune partie deE. On dit queAadmet une borne supérieure si et seulement si l'ensemble de ses majorants admet un plus petit élément. Ce plus petit élément est appelé la borne supérieure deAet notésupA. On dit queAadmet une borne inférieure si et seulement si l'ensemble de ses minorants admet un plus grand élément. Ce plus grand élément est appelé la borne inférieure deAet notéinfA.

Remarque. Pour admettre une borne supérieure, une partieAdoit être majorée mais ce n'est pas forcément susant. Un exemple est donné plus loin avecE=Q

II. Présentation axiomatique

Présentation axiomatique.

Rc'est plus gros queQ :Qest un sous-corps ordonné de R.

Rc'est bien : Toute partie non vide et majorée deRadmet une borne supérieure.

Rc'est pas trop gros : la suite (dénie dans N^∗) des inverses des entiers converge vers 0.

III. Premières propriétés

1. Autour de la relation d'ordre

On présente ici quelques conséquences du premier groupe de propriétés qui résultent des propriétés usuelles des opérations et de l'inégalité dansR.

1. Plus grand et plus petit élément.

Tout ensemble ni de nombres réels admet un plus grand et un plus petit élément.

Dénition. Soitaun nombre réel, on dénit :

a+ = max(0, a) a₋= max(0,−a) |a|= max(a,−a) Bien remarquer quea₊ et a₋ sont des réels positifs.

Proposition. Soitaetb des nombres réels, alors :

a=a₊−a₋ |a|=a₊+a₋ ||a| − |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|

2. Intervalles

Dénition des neuf types d'intervalles :

[a, b] ]a, b] ]a, b[ [a, b] [a,+∞[ ]a,+∞[ ]− ∞, b] ]− ∞, b[ R avec des inégalités larges ou strictes. On dénit aussi :

←−→[a, b] = [min(a, b),max(a, b)]

Dénition. La longueur d'un intervalle du type[a, b],]a, b],]a, b[,[a, b]estb−a.

Remarque. Tout intervalle de longueur strictement plus petite que1contient au plus un entier. Tout intervalle de longueur strictement plus grande que1contient au moins un entier.

3. Raisonnement à la Cauchy

Un raisonnement à la Cauchy consiste à déduire une inégalité large à partir d'une famille d'inégalités strictes plus faibles.

Par exemple : soitaetbdeux réels, alors

(∀x∈R:x < a⇒x≤b)⇒a≤b On prouve la contraposée :

Lorsqueb < a, il existe bien un x < a(par exemple ^a+b₂ ) tel queb < x. La réciproque est vraie mais ne présente en général pas d'intérêt.

Voir par exemple la démonstration duthéorème de passage à la limite dans une inégalité.

2. Autour du "c'est pas trop gros".

0 a b

Fig. 1: Densité et petits bonds

1. Caractère archimédien

Proposition. Rest archimédien c'est à dire que

∀a >0,∀b >0 :∃n∈Ntel queb≤na

Preuve. Considérons le réel strictement positif ^a_b. La dénition de la convergence vers0de la suite _n¹

n∈N^∗assure l'existence d'un entierN tel que

∀n≥N : 1 n <a

b

Choisissons unn≥N, on a bien alorsb < na d'après les propriétés usuelles de l'inégalité.

2. Densités

Dénition (partie dense). Une partieA deRest dite dense si et seulement si, pour tout intervalle I deRnon réduit à un point,A∩I6=∅.

Proposition. Tout intervalle contient une innité de nombres rationnels et une innité de nombres irrationnels.

Les ensemblesQetR−Qsont denses dansR.

Preuve. Le principe (voir gure1) est de former un "petit bond" assez petit (la suite des inverses converge vers 0) puis de progresser en faisant de tels petits bonds (caractère archimédien).

On veut montrer qu'un intervalle de la forme]a, b[aveca < bcontient un rationnel.

Comme la suite des inverses des entiers converge vers0, il existe un entierq0tel que _q¹₀ < b−a. Comme R est archimédien, l'ensemble N des entiers p tels que p_q¹

0 > a est non vide. À cause de la propriété fondamentale deN, cet ensemble admet un plus petit élémentp₀. Par dénition, p₀ ∈ N donc a < ^p_q⁰

0. D'autre part :

p0−1< p0⇒p0≤p0−1est faux⇒p0−1∈ N ⇒/ (p0−1)1 q0

≤a⇒ p0

q0

≤a+ 1 q0

⇒ p0

q0

< a+ (b−a) =b On a donc montré qu'il existait un rationnel ^p_q0⁰ ∈]a, b[. On peut poursuivre le raisonnement :

∃p1

q1

∈

a,p0

q0

∃p2

q2

∈

a,p1

q1

· · · On veut montrer maintenant qu'un intervalle de la forme]a, b[aveca < bcontient un irrationnel.

On verra plus loin queQne vérie pas la propriété de la borne supérieure. CommeQ R, il existe donc au moins un nombre irrationnelx. Alors−xest aussi irrationnel (commex=−(−x), si−xétait rationnel,xle serait aussi).

On peut donc supposer que l'irrationnelxest strictement positif. On peut reprendre le raisonnement.

Comme la suite des inverses converge vers0, il existe un entierq₀ tel que 1

q₀ <b−a

x ⇒ x

q₀ < b−a

Le raisonnement est exactement le même avec les petits bonds_q^x₀ de longueur irrationnelle. Il existe donc un entier p0 tel que

x0= p0x q0

∈]a, b[

Le nombrex0 est irrationnel carx= ^q_p⁰

0x0. Donc six0était rationnel, xle serait aussi. La suite du raisonnement est identique.

3. Fonction partie entière. Division euclidienne réelle.

Proposition - Dénition (partie entière). Pour tout réelx, il existe un unique entier appelé partie entière de x et notéE(x)oubxctel que

bxc ≤x <bxc+ 1⇔x−1<bxc ≤x

Preuve. Montrons d'abord l'unicité. Sipetp⁰ sont des naturels vériant l'encadrement de dénition : p≤x < p+ 1

p⁰ ≤x < p⁰+ 1 )

⇒ x−1< p≤x x−1< p⁰≤x

)

⇒x−1−x < p−p⁰< x−(x−1)⇒ −1< p−p⁰ <1⇒p=p⁰

Soitx >0, commeRest archimédien, il existe un ensemble non videM={k∈Ntqx < k}. Notonsmle plus petit élément deM.

Dem−1< m, on tire quem≤m−1 est faux doncm−1∈ M/ ce qui entraînem−1≤x. De m∈ M, on tire x <(m−1) + 1.

Remarques. 1. L'encadrement dénissant la partie entière dexpeut aussi s'écrire : x−1<bxc ≤x

2. Pour tout réelx, on note{x}=x−bxc. On dit que c'est la partie fractionnaire dex.On a alorsx=bxc+{x}

avec{x} ∈[0,1[.

3. On peut démontrer de même l'existence et l'unicité d'un réeldxetel que dxe −1< x≤ dxe

4. Approximations décimales.

Dénition (Nombres décimaux). Pour toutn∈N, on dénitDn par Dn=Z 1

10ⁿ ensemble des multiples de10⁻ⁿ. L'ensemble des nombres décimaux est notéDavecD=∪_n∈NDn.

On peut remarquer queD0 =Z et queDest une partie de QmaisD6=Q. Un nombre rationnel est décimal si et seulement son produit par une certaine puissance de10est un entier. Ainsi ¹₃ n'est pas un nombre décimal.

L'ensemble Dn est aussi l'ensemble des réels que l'on peut atteindre à partir de0 par des petits bonds de

±10⁻ⁿ.

Dénition (valeurs décimales approchées). Pour tout réelx >0 et toutn∈N, dénissonsmn(x)et rn(x)par : x=mn(x) +rn(x)avecmn(x)∈Dn et rn(x)∈

0,10⁻ⁿ . Le nombremn(x)est l'approximation décimale par défaut à l'ordre ndex.

Par dénition,

mn(x)≤x≤Mn(x) 0≤Mn(x)−mn(x)≤10⁻ⁿ On convient de noterrn(x)le reste de la décomposition c'est à dire

Remarques. Les ensembles Dn sont de plus en plus grands : chacun est inclus dans le suivant Dn ⊂Dn+1. Ceci entraîne que la suite des approximations par défaut est croissante.

Cette dénition s'interprète avec des parties entières : 10ⁿx= 10ⁿmn(x)

| {z }

∈Z

+ 10ⁿrn(x)

| {z }

∈[0,1[

⇔

(10ⁿm_n(x) =b10ⁿxc partie entière 10ⁿrn(x) ={10ⁿx} partie fractionnaire.

Considérons le reste modulo10deb10ⁿxc(notonsun ce reste etqn le quotient). Il appartient à J0,9Ket

10ⁿx= 10qn+un+{10ⁿx} ⇒10ⁿ⁻¹x= qn

|{z}

∈Z

+ 10⁻¹





 un

|{z}

∈[0,9]

+{10ⁿx}

| {z }

∈[0,1[







⇒ {10ⁿ⁻¹x}= 10⁻¹(u_n+{10ⁿx})⇒10{10ⁿ⁻¹x}= u_n

|{z}

∈Z

+{10ⁿx}

| {z }

∈[0,1[

On en déduit queun est aussi la partie entière de 10× {10ⁿ⁻¹x}.

On dénit la décimale d'ordrendexnotéedn(x)comme étant cet entier entre0et9.

dn(x) =











le reste modulo10deb10ⁿxc

le chire des unités dans l'écriture décimale de10ⁿmn(x) le reste de la division par 10 de10ⁿmn(x)

la partie entière de10× {10ⁿ⁻¹x}

Remarque. Si la suite des décimales d'un nombre réel est périodique à partir d'un certain rang, alors ce réel est rationnel (la réciproque estvraie).

Proposition (forme normalisée. Notation scientique). Pour tout nombre réelxstrictement positif, il existe un unique couple(m, e)tel que

x=m10^e avec m∈[1,10[ ete∈Z. Dénition. On dit quemest la mantisse du réel.

Preuve. Comme10ⁿ ≥n pour n∈N^∗, le caractère archimédien de Rmontre que l'ensemble E des k∈ N^∗ tels quex <10^k est non vide. Soitk0 le plus petit élément de cet ensemble. Alors

k0∈A k₀−1∈/ A )

⇒10^k0−1≤x <10^k0 ⇒1≤x10^1−k0 <10.

On en déduit que le couple(m, e)avecm=x10^1−k0 et e= 1−k₀ convient. L'unicité résulte de m10^e=m⁰10^e0 ⇒m⁰10^e0−e<10⇒10^e0−e<10⇒e⁰ ≤e.

L'autre inégalité se prouve de la même manière ; d'oùe=e⁰ puism=m⁰.

Proposition (Algorithme naïf de développement décimal d'un réel). Soitx∈[1,10[. Il admet une seule décimale avant la virgule qui estd0(x) =bxc.

Le dévelopement après la virgule s'obtient par l'algorithme suivant :

x1= 10 (x− bxc))∈[0,10[, d1(x) =bx1c ∈J0,9K x2= 10 (x1−d1(x))∈[0,10[, d2(x) =bx2c ∈J0,9K x3= 10 (x2−d2(x))∈[0,10[, d3(x) =bx2c ∈J0,9K

... ...

Preuve. La relation fondamentale de l'algorithme s'écrit comme

x_n+1= 10(x_n−d_n(x))⇔x_n=d_n(x) +xn+1

10 . On en déduit la décomposition décimale dex:

x=bxc+ (x− bxc) =d₀(x) +x₁

10 =d₀(x) +d₁(x) 10 + x₂

10² =d₀(x) +d₁(x)

10 +d₂(x) 10² + x₃

10³

=· · ·=d0(x) +d1(x)

10 +· · ·dn(x)

10ⁿ + xn+1

10ⁿ⁺¹ avec xn+1

10ⁿ⁺¹ ∈

0,10⁻ⁿ .

Cet algorithme est naïf car on ne dispose en général d'aucun moyen commode pour évaluer les nombres indiqués.

3. Autour de la propriété de la borne supérieure.

1. Partie non vide minorée.

Proposition. Une partie non vide minorée deRadmet une borne inférieure.

Preuve. SoitB une partie non vide et minorée. On noteAla partie deRformée par lesxtels que −x∈B. Soitmun minorant deB. Pour toutxdeA,−x∈B doncm≤ −xdoncx≤ −m. Ainsi−mest un majorant de Aqui est donc une partie non vide et majorée.

Montrons que−supAest la borne inférieure deB. On a déjà vu que simest un minorant deB alors−mest un majorant deA doncsupA≤ −mdoncm≤ −supA. Ainsi−supAest un majorant de l'ensemble des minorants deB.

D'autre part, pour toutb∈B on a−b∈A donc−b≤supA donc−supA≤bdonc−supA est un minorant de B. C'est donc le plus grand des minorants c'est à dire la borne inférieure.

2. L'ensemble des rationnels ne vérie pas la propriété de la borne supérieure.

On se propose ici de donner un exemple de partie de Qmajorée mais n'admettant pas de borne supérieure.

Toute démonstration faisant appel à un nombre réel positif dont le carré est2n'est pas satisfaisante car il faudrait commencer par démontrer son existence. Attention, on ne peut pas utiliser la fonctionx→x²car les résultats sur les fonctions continues et les tableaux de variations sont démontrés à partir des propriétés deR. On doit travailler uniquement avec des nombres rationnels.

Introduisons les partiesA etB A=

x∈Qtqx≥0 etx²<2 B=

x∈Qtqx≥0et x²>2

On veut montrer queAest majoré et ne possède pas de borne supérieure. On pourrait le faire en raisonnant par l'absurde et en montrant que(supA)²= 2mais cela revient à ce qui est proposé ici.

On va prouver et utiliser trois résultats : 1. Six∈A, il existe y∈Atel quex < y. 2. Six∈B, il existe y∈B tel quey < x.

3. Il n'existe pas d'entierspet qtels quep²= 2q².

Le point 3. a été prouvé comme un exemple de la propriété fondamentale de N (descente innie). On peut en déduire queAetB sont complémentaires dans Q.

A∩B=∅ A∪B =Q⁺

Pour démontrer 1., considérons uny=x+havechrationnel et0< h < ^2−x₄².

Alors, d'une parth < ²₄ =¹₂ <1donch²< h, d'autre partx < ³₂ carx²<2alors que ⁹₄ >2. On en déduit 2−y²= 2−x²− h²

|{z}

<h

− 2x

|{z}

<3

h >2−x²−4h >0⇒y∈A

La démonstration de 2. est du même type. On considèrey =x−havech rationnel tel que0< h < ^x2₂⁻² et on vérie quey²−2>0.

Montrons que l'ensemble des majorants deAest égal à B.

Le résultat 1 montre que A n'admet pas de plus grand élément. Donc, si m est un majorant de A, alors m /∈Adoncm∈B.

Si m∈B, alors pour toutx∈A,x²<2< m². Comme les deux sont strictement positifs,x < m. Ceci est valable pour tous lesx∈A doncmest un majorant deA.

Le résultat 2 est symétrique du résultat 1. Il signie queB n'admet pas de plus petit élément.

Ainsi, en restant dans l'ensembleQ, la partie majoréeAn'admet pas de borne supérieure.

En revanche, si on se place dansR, la partieAadmet une borne supérieure, notons lam. Avec les outils utilisés ici, il n'est pas facile de montrer quem²= 2. Pour prouver l'existence de racines carrées dansR, il vaut mieux utiliser le théorème des valeurs intermédiaires qui sera prouvé plus loin (en utilisant les propriétés de R). La fonction x→x²−1 est continue. Elle est strictement négative en1 et strictement positive en2, elle prend donc la valeur 0quelque part entre les deux.

3. Parties convexes.

Dénition (partie convexe). Une partieI deRest dite convexe lorsque

∀(a, b)∈I²:←−→

[a, b]⊂I Il est clair par dénition que tout intervalle est convexe.

Proposition. Toute partie convexe deRest un intervalle.

Ce résultat est à relier au théorème des valeurs intermédiaires de la partie Propriétés globales des fonctions continues

Preuve. SoitIune partie convexe deR: neuf cas sont possibles : I est borné.

cas 1. I admet un plus petit élémenta= minI et un plus grand élémentb= maxI.

cas 2. I admet un plus petit élémenta= minI et n'admet pas de plus grand élément (on noteb= supI).

cas 3. I n'admet pas de plus petit élément (on notea= infI) et admet un plus grand élémentb= maxI. cas 4. I n'admet pas de plus petit élément (on notea= infI) et n'admet pas de plus grand élément (on

noteb= supI).

I est majoré et n'est pas minoré.

cas 5. I admet un plus grand élémentb= maxI.

cas 6. I n'admet pas de plus grand élément (on noteb= supI).

I est minoré et n'est pas majoré.

cas 7. I admet un plus petit élémenta= minI.

cas 8. I n'admet pas de plus petit élément (on notea= infI).

(cas 9.)I n'est ni minoré ni majoré.

Dans chaque casI est un intervalle de l'un des neuf types présentés.

Par exemple dans le cas 3, montrons queI=]a, b].

Pour toutx∈I :a < x≤bcaraest un minorant qui n'est pas dansIet best un majorant.

Considérons unxquelconque dans]a, b]. Six=balorsx∈I carb= maxI. Sia < x < b, alorsan'est ni un minorant ni un majorant de I. Il existe alors u∈I tel queu < x et unv ∈I tel que x < vdoncx∈[u, v]

ce qui entraine (par convexité deI) quex∈I.

On vient de prouver l'égalité annoncée par une double inclusion.

Les autres cas sont analogues. Leur traitement constitue un bon exercice d'entrainement aux manipulations de borne supérieures et inférieures.

4. Suites monotones.

Théorème. Toute suite croissante majorée converge vers la borne supérieure de l'ensemble de ses valeurs.

Preuve. Soit (an)_n∈N une suite croissante de nombre réels. Cette suite est majorée, l'ensemble (noté V) de ses valeurs admet donc une borne supérieure notéeM.

Pour toutε > 0, M −ε n'est pas un majorant deV. En eet M ≤M −ε est faux et M est le plus petit des majorants deV. Il existe doncN ∈Ntel queuN ≤M−εest faux autrement ditM −ε < uN. Mais alors, pour tous les entiersn≥N, comme la suite est croissante,

M−ε < u_N < u_N+1≤ · · · ≤u_n≤M < M+ε Ce qui est la dénition de la convergence versM.