conference 8 paola goatin

(1)

“Modèles mathématiques et réalité"

Comment les mathématiques contribuent-elles

à la gestion du trafic routier?

Paola Goatin

INRIA Sophia Antipolis - Méditerranée paola.goatin@inria.fr

(2)

Plan de l’exposé

1 Modèles de trafic routier

2 _{Modèles macroscopiques}

3 _{Lois de conservation}

4 Exemples d’application

5 Dynamique des foules

(3)

Modèles de trafic routier

Trois échelles possibles : Microscopique

˙xi= vi, ˙vi= C

vi+1−vi

xi+1−xi

(“follow-the-leader”)

simulations numériques (http://www.traffic-simulation.de/) beaucoup de paramètres

(4)

Modèles de trafic routier

Trois échelles possibles :

Microscopique(et automates cellulaires) ˙xi= vi, ˙vi= C

vi+1−vi

xi+1−xi

(5)

Modèles de trafic routier

vi+1−vi

xi+1−xi

Macroscopique: équations aux dérivée partielles dérivée de la dynamique des fluides

théorie analytique peu de paramètres

(6)

Modèles de trafic routier

vi+1−vi

xi+1−xi

Cinétique: équations type Boltzmann

Macroscopique: équations aux dérivée partielles dérivée de la dynamique des fluides

théorie analytique peu de paramètres

(7)

Plan de l’exposé

(8)

Modèles macroscopiques

h

nombre de voitures dans [a, b] au temps ti= Z b

a

ρ(t, x) dx

doit être conservé !

Z_b aρ(t2−, x)dx = Z_b aρ(t1 +, x)dx + Z_t2 t1 f(t, a+)dt − Z_t2 t1 f(t, b−)dt ⇓

théorème de la divergence pour (ρ, f ) ⇓ Z t2Z b ∂tρ + ∂xf dx dt = 0 x t t1 t2 0 a b

(9)

Conditions requises

Aucune information doit se propager plus vite que les véhicules (anisotropie)

Relation flux-densité : f (t, x) = ρ(t, x)v(t, x).

La densité et la vitesse moyenne doivent toujours être non-négatives et bornées : 0 ≤ ρ(t, x), v(t, x) < +∞, ∀x, t > 0.

Ce n’est pas vraiment de la dynamique des fluides :

direction privilégiée

pas de conservation de la quantité de mouvement / energie pas de viscosité

(10)

Modèles macroscopiques

(11)

Modèles du premier ordre

Lighthill-Whitham ’55, Richards ’56, Greenshields ’35 :

Equation de transport non-linéaire: lois de conservation scalaire ∂tρ + ∂xf (ρ) = 0, f (ρ) = ρv(ρ)

Fonction flux émpirique :diagramme fondamental

avec R densité maximale (emboutillage) et ρcdensité critique : flux croissant pour ρ ≤ ρc :phase d’écoulement fluide

flux décroissant pour ρ ≥ ρc:phase de congestion

Ωf Ωc R ρ f 0 ρc Newell-Daganzo Ωf Ωc R ρ f 0 ρc Greenshields

(12)

Modèles d’ordre superieur

Motivation : les données experimentales montrent un diagramme fondamental plus complexe

0 100 225 0 2000 3600 ρ(veh/mile) ρv (veh/hr)

(13)

Modèles d’ordre superieur

Motivation : les données experimentales montrent un diagramme fondamental plus complexe

0 100 225 0 2000 3600 ρ(veh/mile) ρv (veh/hr) _{v = v(ρ, ?)}

(14)

Plan de l’exposé

(15)

Systèmes hyperboliques de lois de conservation

On retrouve un système d’EDPs de la forme ∂tu+ ∂xf (u) = 0,

u_{(0, x) = u0(x),} où t ∈ [0, +∞[, x ∈ IR1_,

u_{= u(t, x) ∈ IR}n_{quantités conservées,} f : IRn_→_IRn_flux.

(16)

Systèmes hyperboliques de lois de conservation

On retrouve un système d’EDPs de la forme ∂tu+ ∂xf (u) = 0,

u_{(0, x) = u0(x),} où t ∈ [0, +∞[, x ∈ IR1_,

u_{= u(t, x) ∈ IR}n_{quantités conservées,} f : IRn_→_IRn_flux.

On va essayer de répondre aux questions suivantes : Ce problème admet-il toujours une solution ? Est-elle unique ?

(17)

Cas linéaire : f (u) = Au, avec A ∈ R

n×n

matrice

Le système est (strictement) hyperbolique si A admet n valeurs propres réels distincts λ1< . . . < λn ∂tvi+λi∂xvi= 0 v_{(0, x) = ¯}v_(x) où vi= li· u, u = n X i=1 vir_i

(18)

Cas linéaire : f (u) = Au, avec A ∈ R

n×n

matrice

Le système est (strictement) hyperbolique si A admet n valeurs propres réels distincts λ1< . . . < λn ∂tvi+λi∂xvi= 0 v_{(0, x) = ¯}v_(x) où vi= li· u, u = n X i=1 vir_i

Méthode des caractéristiques: ˙yi(t) = λi ⇒

d

dtvi(t, yi(t)) = ∂tvi+ λi∂xvi= 0 ⇒ vi(t, yi(t)) = ¯vi(y0)

(19)

Cas linéaire : f (u) = Au, avec A ∈ R

n×n

matrice

Superposition des ondes :

u_{(t, x) =} n X i=1 ¯ vi(x − λit)ri x v2 x v1 x t ⇒existence et unicité

(20)

Cas linéaire : f (u) = Au, avec A ∈ R

n×n

matrice

Superposition des ondes :

u_{(t, x) =} n X i=1 ¯ vi(x − λit)ri x v2 λ2 x v1 λ1 x t

(21)

Cas NON-linéaire

Strictement hyperbolique :la Jacobienne Df (u) a n valeurs propres réels distincts

λ1(u) < λ2(u) < . . . < λn(u) vecteurs propres r₁_{(u), . . . , rn(u)}

Vraiment non-linéaire :∇λi· ri> 0 (∼ flux convexe) Linéarment dégénéré :∇λi· ri≡0 (∼ flux linéaire)

(22)

Flux non-linéaire ⇒

apparition de chocs !

Exemple : ∂tρ + ∂x[ρ(1 − ρ)]= 0 ρ0 t.q. ( 0 si x < 0 1 si x > 1

Courbes caractéristiques : ρ(t, y(t)) = ρ0(y0) pour y(t) solution de ˙y(t) = f′_{(ρ(t, y(t)))}_{= 1 − 2ρ(t, y(t)) = 1 − 2ρ0(y0}₎

⇒ y(t) = (1 − 2ρ0(y0)) t= ( 1 si y0 < 0 −1 si y0 > 1 ρ t

(23)

Flux non-linéaire ⇒

apparition de chocs !

⇒ y(t) = (1 − 2ρ0(y0)) t= ( 1 si y0 < 0 −1 si y0 > 1 x ρ t

(24)

Flux non-linéaire ⇒

apparition de chocs !

⇒ y(t) = (1 − 2ρ0(y0)) t= ( 1 si y0 < 0 −1 si y0 > 1 ρ t

(25)

Solutions faibles

Au sens des distributions : Z Z

u_∂_t_{φ + f (u) ∂}_x_{φ dx dt = 0} _{∀φ ∈ C}1 c(R

+ × R) Sur une courbe de discontinuité (choc) x = ξ(t) :

x t ξ ω− ω+ n+ n−

(26)

Condition de Rankine-Hugoniot

A l’aide de la formule de Green : 0 = Z Z ω u_{∂tφ + f (u) ∂xφ dx dt} = Z Z ω₋ + Z Z ω+ u_{∂tφ + f (u) ∂xφ dx dt} = Z ∂ω₋ (u−n− t + f (u−)n−x)φ ds − Z Z ω₋ (∂tu_{+ ∂xf (u))dt dx} + Z ∂ω+ (u+n+t + f (u+)n+x)φ ds − Z Z ω+ (∂tu_{+ ∂xf (u))dt dx} = Z x=ξ(t) (u−n−t + f (u−)n−x)φ ds + Z x=ξ(t) (u+n+t + f (u+)n + x)φ ds = Z x=ξ(t)

(u+− u−)nt+ (f (u+) − f (u−))nxφ ds

(27)

Condition de Rankine-Hugoniot

Dans l’exemple précedent :

∂tρ + ∂x[ρ(1 − ρ)]= 0 ρ0 s.t. ( 0 si x < 0 1 si x > 1 donc ρ−= 0, ρ+= 1 ⇒ ˙ξ=f (ρ+) − f (ρ−) ρ+−ρ− =1 − ρ+−ρ−= 0

(28)

Non-unicité des solutions faibles

Exemple :

∂tρ + ∂x[ρ(1 − ρ)] = 0 ρ0(x) ≡ 1/2

On peut construire une infinité de solutions satisfaisantes RH ∀α > 0 :

ρ(t, x) =          1/2 x < −αt 1/2 +α −αt < x < 0 1/2 −α 0 < x <αt 1/2 x >αt x t= α x t = −α ρ= 1₂+ α ρ= 1_{2 −}α t

(29)

Condition d’entropie

uε_{solution de ∂t}uε_{+ ∂xf (u}ε_{) = ε∂xx}uε converge vers u solution de ∂tu_{+ ∂xf (u) = 0}

(30)

Condition d’entropie

uε_{solution de ∂t}uε_{+ ∂xf (u}ε_{) = ε∂xx}uε converge vers u solution de ∂tu_{+ ∂xf (u) = 0} Entropie : E = E(u)entropie convexe : D2_{E(u) > 0}

(31)

Condition d’entropie

F = F (u)t.q. ∇F (u) = ∇E(u)Df (u) flux d’entropie alors uε _satisfait

∂tE(uε_{) + ∂xF (u}ε_{) =∇E(u}ε_{) ∂t}_uε_{+ ∂xf (u}ε_{) = ε∇E(u}ε_)∂xx_uε =ε∂xxE(uε) − εD2E(uε)(∂xuε_⊗_∂xuε_{) ≤ ε∂xxE(u}ε₎

(32)

Condition d’entropie

F = F (u)t.q. ∇F (u) = ∇E(u)Df (u) flux d’entropie alors uε _satisfait

∂tE(uε_{) + ∂xF (u}ε_{) =∇E(u}ε_{) ∂t}_uε_{+ ∂xf (u}ε_{) = ε∇E(u}ε_)∂xx_uε =ε∂xxE(uε) − εD2E(uε)(∂xuε_⊗_∂xuε_{) ≤ ε∂xxE(u}ε₎ et à la limite ε → 0, u doit satisfaire

∂tE(u) + ∂xF (u) ≤ 0 ou

Z Z

(33)

Condition de Lax (cas scalaire)

Pour un flux f strictement convexe (f′′_{(u) ≥ c > 0) ou concave} (f′′_{(u) ≤ −c < 0), la condition d’entropie est équivalente à}

f′_(u

−) > ˙ξ > f′(u+)

les caractéristiques “entrent” dans le choc

x

f ′(u_{− )} f ′_(u+)

˙ ξ

(34)

Condition de Lax (cas scalaire)

Exemple :flux concave

∂tρ + ∂x[ρ(1 − ρ)]= 0 La condition de Lax s’écrit :

1 − 2ρ−> 1 − ρ−−ρ+> 1 − 2ρ+

ρ f

ρ+ ρ−

(35)

Problème de Riemann

Le problème de Cauchy plus simple : ∂tu_{+ ∂xf (u) = 0} u_{(0, x) =}

(

u_g _{si x < 0} u_d _{si x > 0} La solution doit être auto-similaire

u_{(t, x) ≡ u(at, ax)} _{∀a > 0} ⇒on cherche u de la formeu_{(t, x) = v(x/t)}

x t

(36)

Solveur de Riemann (n = 1)

si f′_{(ug) > f}′_{(ud) ⇒ choc de vitesse λ =} f(ud)−f (ug)

u_d−ug

si f′_{(ug) < f}′_{(ud) ⇒ onde de détente :} u(t, x) = v(x/t), x/t = λ ⇒ d dλf (v) = λ d dλv f′_{(v) − λ} d dλv d dλv 6= 0 ⇒ f ′_{(v) = λ}

(37)

Plan de l’exposé

(38)

Exemple : feu rouge

Peut s’écrire comme un problème de Riemann : ∂tρ + ∂x[ρ(1 − ρ)] = 0 ρ0(x) = ( ¯ ρ si x < 0 1 si x > 0 0 < ¯ρ < 1 ¯ ρ < 1 ⇒chocde vitesse λ = 1 − ¯ρ − 1 < 0

(39)

Exemple : feu vert

Peut s’écrire comme un problème de Riemann : ∂tρ + ∂x[ρ(1 − ρ)] = 0 ρ0(x) = ( 1 si x < 0 0 si x > 0 0 < ¯ρ < 1 1 > 0 ⇒détentede profilρ(t, x) = 1 2− x 2t, −t ≤ x ≤ t

(40)

Exemple : péage

Peut s’écrire comme un problème de Riemann avec contrainte : ∂tρ + ∂x(ρ(1 − ρ)) = 0 ρ(0, x) = 0.3χ[0.2,1](x) f (ρ(t, 1)) ≤ 0.1 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 rho at time t=0 x rho

(41)

(42)

Exemple : jonctions

1) coefficients de distribution du trafic 2) maximisation du flux

(43)

Exemple : reseaux

Un grand rond-point à Rome :

ou une ville entière, une agglomération (voir http://traffic.berkeley.edu/) ...

(44)

Plan de l’exposé

(45)

Dynamique des foules

Système2Dmodélisant une foule dans un espace confiné :       

∂tρ(t, x, y) + divx,yf(t, x, y) = 0 (cons. masse)

+conditions au bord

+ équation de fermeture pour définir le flux f pour simuler le comportement des piétons :

viser le chemin plus rapide

éviter les endroits bondés et les parois

comportement irrationnel en situation de panique formation de files dans flux opposés

auto-organisation collective aux intersections etc ...

(46)

Le chemin plus rapide ...

(47)

Le paradoxe de Braess

Un obstacle devant la sortie peut réduire la pression et le temps d’évacuation

(48)

Plan de l’exposé

(49)

Conclusion

Modélisation macroscopique du trafic :

∂

t

u(t, x) + div

_x

f

(u(t, x)) = 0

t > 0, x ∈ IRD, u ∈ IRn

AVANTAGES :

modélisation de type milieu continu

description globale de l’évolution spatio-temporelle comparaison satisfaisante avec les données réelles

adaptés à la formulation de problèmes de contrôle ou d’optimisation MAIS :pas de théorie analytique générale pour

systèmes hyperboliques multi-D (n > 1) contrôle des lois de conservation

(50)

Perspectives

Modèles macroscopiques pour le gestion du trafic :

Trafic routier (D = 1) Dynamique des foules (D = 2)

Contrôler pour :

(51)

Mais il y aura toujours des phénomènes qui ne sont pas prévu par la modélisation... !

(52)