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Mathématiques 2

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28 mai 2017 17:16 2016-022-PC-Mat2

Oral Mathématiques 2 PC

1. On considère la série ∑

𝑛⩾1

𝑎 𝑛 avec ∀𝑛 ∈ ℕ , 𝑎 𝑛 = (−1) 𝑛 ln (1 + 1 𝑛 ).

Démontrer que la série ∑

𝑛⩾1

𝑎 𝑛 converge.

2. a. Vérifier avec le logiciel la relation

∑ ∞ 𝑛=1

𝑎 𝑛 = ln ( 2𝜋)

b. Démontrer avec rigueur le résultat.

3. Montrer que le rayon de convergence de la série entière ∑

𝑛⩾1

𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 est 1.

On note 𝑓 sa somme sur ]−1, 1[.

4. a. Faire un tracé de 𝑓 avec le logiciel et vérifier que 𝑓(𝑥) →→→→→→→→→→

𝑥 → 1

ln ( 2𝜋)

b. Démontrer avec rigueur le résultat.

5. a. Faire un tracé de 𝑓 avec le logiciel et vérifier que 𝑓 admet une limite en 1.

b. Démontrer avec rigueur le résultat.

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