ETUDES DES FONCTIONS

(1)

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1

Douala Mathematical Society : www.doualamaths.net : Workbook : Premières C & D : 2015-2016

LISTE DES COMPETENCES A ACQUERIR CODE

COMPETENCE DENOMINATION

F101 Définir une fonction numérique à variable réelle

F102 Définir une application

F103 Différence entre fonction et application

F104 Fonction injective, fonction surjective, fonction bijective F105 Calculer l’image d’un nombre

F106 Déterminer l’image d’un intervalle F107 Détermination du domaine de définition F108 Etude de la parité d’une fonction

F109 Représenter graphiquement une fonction

F110 Représentation de la courbe d’une fonction associée F111 Dresser le tableau de variation

F112 Etudier le signe d’une fonction sur son tableau de variation

F113 Déterminer le nombre de solution de l’équation f x( ) 0 grâce au tableau de variations

F114 Extremum d’une fonction

F115 Montrer qu’un point est centre de symétrie pour la courbe d’une fonction F116 Montrer qu’une droite est axe de symétrie pour la courbe d’une fonction F117 Détermination des asymptotes d’une fonction

F118 Montrer que le point de concours des asymptotes est centre de symétrie F119

F120 F121 F122 F123 F124

ETUDES DES FONCTIONS

(2)

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2

Exercice n°1 Partie A : Cours

1. Démontrer que si et sont deux fonctions strictement décroissantes sur un intervalle .alors la fonction est strictement décroissante sur .

2. Soit un réel strictement positif et une fonction strictement décroissante sur . Montrer que la fonction a le même sens de variation que .

3. Soit f une fonction strictement décroissante sur et qui prend ses valeurs dans et une fonction strictement croissante sur . Montrer que la fonction est strictement décroissante sur . 4. On suppose, dans cette question, que f est impaire.

Démontrer que si est strictement décroissante sur alors est strictement décroissante sur .

Partie B : Applications :

1. Déterminer le sens de variation de la fonction définie sur par . 2. Soit la fonction définie sur par .

3. a. Montrer que est périodique. Sur quel intervalle suffit-il d’étudier la fonction ? b. Étudier la parité de . Sur quel intervalle suffit-il d’étudier la fonction ?

c. Montrer que est la composée de deux fonctions de référence que l'on précisera.

d. Déterminer le sens de variation sur .

e. Dresser son tableau de variation sur une période.

f. Donner une ébauche de la représentation de sur une période.

Exercice n° 2

On considére les applications : ^f ^{: 4;1}



^

 

^{ }^4;5



^,^x^^x²^²^x^³^et^g^{: 4;5}



^

 

^{  }^{4; 1}



^,

1 4

x  x

1. Démontrer que, pour tout x élément de l’ensemble de définition de f , on a 4

1) (

= )

(x x ²

f

2. En déduire que (C_f), courbe représentative de f , est l’image d’une partie de la parabole

2 0): =

(C y x par une translation que l’on déterminera.

3. Construire en interrompu (C₀) et en trait continu la courbe (C_f) 4. En déduire que f est bijective.

5. Démontrer que g est la bijection réciproque de f .

6. Tracer en stylo bleu la courbe représentative de g sur le même graphique que celle de f . Exercice n°3

Soit définie sur par

Dresser le tableau de variation de (sans calculer la dérivée), puis donner l'allure de la courbe

représentative de , en plaçant avec précision le sommet et les points d'intersection avec les axes du repère.

Exercice n°4

Soit et les fonctions définies par et . 1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction .

2. Exprimer en fonction de pour tout réel de .

f g I

fg I

 f I

f f

I ^{f x}  ^J ^g

J g f I

f



^{0 ;}^{ }



^f



^^{; 0}



f



^{0 ;}^{ }



^{f x}  ² ^x ¹

  x

g  ^{g x} ^^{sin 2}^x

g π g

g g

g

g 0 ; 2

  

 

 

g

f  f x( ) 2x² x 1 f

f

f g ^f ^x ^^x² ^⁴ ^g ^x ^ ^x

g f

 

g f x x x D_{g f}_

(3)

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3

Exercice n°5

1) Combien de représentations graphiques de fonction numérique avons-nous sur le schéma ci – dessous

2) Donner l’expression de chaque fonction en fonction de la variable x

Exercice n°6

On considère les fonctions suivantes : f x₁: x² ; f x₂:  x et f x₃:  x 4Donner l’ensemble de définition et l'expression des fonctions composées suivantes : ; ;

1) f g₁ ₁ 2) g₁ f₁ 3) g₁ f₂ ;

4) f₁ f₁ ; 5) f g₁ ₁ f₂ 2) Déterminer deux fonctions u et v telles que f v u

1) ^{f x}^{( )}^



^x^³



²

2) f x( ) ¹

 x

3) f x( ) 3x1 4) ( ) sin 3

f x   x2

5) 2

( ) 1 g x 3

 x



(4)

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4

Exercice n°7

1) Combien de représentations graphiques de fonction numérique avons-nous sur les schéma ci – dessous

2) Donner l’expression de chaque fonction en fonction de la variable x

(5)

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5

Exercice n°8

Soit f la fonction définie sur



^^;3



^par ^{f x}^{( ) 2}^{ } ³^^x et g la fonction définie sur



^2;^



^par

( ) 2 4 1

g x   x x

1) Montrer que pour tout , ^x^



^2;^



^,



^{f g x}^



^{( )}^^x

2) Montrer que pour tout ^x^{ }



^;3



^,



^{g f}^



^{( )}^x ^^x

3) 3) Est-ce que, dans cet exemple g f  f g ? Exercice n°9

Soit f et g deux fonctions définies sur  par f x( ) 3 x5 et

2 2

2 1

( ) 1

g x x x

 

 1) Démontrez que pour tout réel x, on a 1g x( ) 2

2) Démontrez que la fonction g f est bornée sur  (c’est-à-dire qu’il existe un minorant met un majorant M tels que pour tout réel x, ^m^



^{g f}^



^{( )}^x ^^M)

3) Démontrer que pour tout réel x, ^{ }²



^{f g x}^



^{( ) 1}^

Exercice n°10

On considère les fonctions f et g définies par : f x( )x²4 et g x( ) x 4 et les intervalles :



^;0



I   et ^J ^



^5;^



1) Déterminer ^{f I}

 

2) Déterminer ^{g I}

 

Exercice n°11

Soit f la fonction définie par : ( )

1 f x x

 x

 . Exprimer

 

fois

n f

f f f   f

 ⁿ^^ , en fonction de x et n Exercice n°12

Soit ^f ^{: 1;}



^{ }

 

^0;^



^{telle que} ^{f x}^{( )}^^x²^¹. f est-elle bijective Exercice n°13

Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?

: , 1

f  n n

: , 1

g  n n

   

2 2

: , , ,

h   x y  x y x y 

 

¹

: \ 1 ,

1

k x x

x

 

    Exercice n°14

Soit f : définie



² ²



( ) 1 f x x

 x

 1. f est-elle injective ? surjective ? 2. Montrer que ^f

 

^ ^{ }



^1;1



3. Montrer que la restriction ^g^{: 1;1}



^

 

^{ }^1;1



^,^{g x}^{( )}^ ^{f x}^{( )} est une bijection.

4. Retrouver ce résultat en étudiant les variations de f

(6)

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6

Exercice n°15

Dans chacun des cas suivants, justifier que la fonction f considérée est bien définie sur D_f, puis démontrer que la courbe C_f représentant la fonction f dans un repère orthonormé admet l’élément de symétrie indiqué

1) ^{( )} ¹^;



^{; 1}

 

^1;



; centre de symétrie



1;1



1 ^f

f x x D

x

         



2) f x^{( )} x² ⁴x^{3 ;}D_f   



^;1

 

^3;



; Axe de symétrie 



x2



3) ^{( ) 2} ³ ³ ^;



^{; 2}

 

^2;



; centre de symétrie



2; 7



2 ^f

f x x D

  x         



4) ^{( )} ¹ ³^- ²^{- 3} ⁵^; ; centre de symétrie



1; 2



3 3 ^f

f x  x x x D   

5) ( ) cos⁴ - 2cos² ; ;

f 2

f x  x x D  Axe de symétriex  Exercice n°16

On considère la fonction f définie par

 

2 7 10

( ) 2 1

x x

f x x

 

  et on note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé



^{O i j}^{; ,}^{ }



d'unité 2 cm.

1) Déterminer l’ensemble de définition de f 2) Déterminer trois réels a, b et c tels que ( )

1 f x ax b c

   x



3) Déterminer toutes les asymptotes à la courbe C et leur point d’intersection.

4) Démontrer que le point 1;⁵ 2

 

 

  est centre de symétrie de l Exercice n°17

Dresser le tableau de variation de la fonction f définie sur par puis déterminer le nombre de solutions de

Exercice n°18

Soit f l’application de IR-{3} dans IR-{2} par .

1) Monter que f est bijective et déterminer sa bijection réciproque notée f^-1. 1pt+0,5pt Le plan est rapporté au repère orthonormé (O, I, J)

2) a) Montrer que le point A(3 ;2) est centre de symétrie de la courbe (C ) de f.

b) Montrer que pour tout on a : .

c) Calculer les limites de f aux bornes de son domaine Exercice n°19

1. Soit la fonction définie sur par et C sa représentation graphique.

Montrer que le point de coordonnées est un centre de symétrie de C.

2. Soit définie sur par . De plus, on suppose que pour tout réel x, a. Montrer que la fonction est périodique et de période 2.

b. Sachant que , calculer et .

 f x( )x³3x²3x2 ( ) 0

f x 

 

3

7 2



  x x x f

 

³



IR

x

 

3 2 1

 

 x x

f

f ^^{ } ³   ² ² ⁷ ¹

3

x x

f x x

 

 

Ω  ^^{3 ;} ^⁵ 

g     

1  

1 g x g x

g x

  

 ^{g x} ^{ }¹

g

 ⁰ ¹

g  ^g²⁰⁰⁶ ^g²⁰⁰⁷

(7)

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7

Exercice n°

T racer les représentations graphiques des fonctions usuelles : 1) f x( )x²

2) 1

( )

g x  x ³⁾ ^{h x}^{( )}^ ^x 4) i x( )x³

En utilisant une translation, tracer sur l'un des graphiques précédents, la représentation graphique de 1) ^{l x}^{( )}^



^x^³



²

2) m x( ) x2

3) 1

( ) 1

n x  x



4) ^{p x}^{( )}^



^x^²



²

5) g x( ) x2 6) r x( )x²5

7) 1

( ) 1 s x  x 8) ^{t x}^{( )}^



^x^³



²^²

Sur un autre graphique, tracer successivement les représentations graphiques de :

1) 1

( ) A x  x

2) 1

( ) 1

B x  x



3) 1

( ) 3

C x 1

 x 



4) 1

( ) 3

D x 1 x

 

    

5) 1

( ) 3

E x 1

x

 

    

6) 1

( ) 3

F x 1

 x 



7) 1

( ) 3

G x 1

 x 

 

Exercice n°

Soit la fonction 1

( ) 1

f x x x

 



1) Quel est l'ensemble de définition de f ? 2) Déterminer a et b tels que ( )

1 f x a b

  x

 . 3) T racer la représentation graphique de 2

( ) g x x

  4) En déduire la représentation graphique de f . 5) T racer le tableau de variations de f .

Exercice n°20

1. Montrer que la droite x = –2 est axe de symétrie de la fonction . Préciser l'ensemble de définition de f.

2. Mêmes questions avec et le centre de symétrie . 3. Quelle est la période de f(x)=cos(2x)sin(3x) ?

4. Déterminer l'ensemble de définition et la parité de . 5. Même question avec

6. Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :

a. b. c.

d. e. f.

g. h.

2 2

4 3

( ) 2 8 10

x x

f x x x

 

  

2 2 7 5

( ) 2 1

x x

f x x

  

 

1 5, S2 2

 

 

( ) 1 1

f x  x  x

2

2 2

( ) 1

.(1 ) f x x

x x

 



5 3

( ) 4 6 2 1

f x  x  x  x g x( ) 1x² ( ) 2 ₂1 4 h x x

x

 

2

( ) 3 2 1 k x x x 1

   x



2

( ) 2

3 2 f x x

 x



( ) 1 2

g x x x

2 2

4

( 2 )

( ) 4

x x

h x x

 

 ( ) ² ¹

3 2

k x  x  x



(8)

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8

4

7. Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes et préciser leur sens de variation :

a. b. c.

d.

8. Déterminer l’ensemble D de définition, calculer la fonction dérivée, déterminer le signe de la fonction dérivée et dresser le tableau de variations de chacune des fonctions :

a. b. c.

d. e. f. g.

9. Rappeler les formules de dérivation de , , .

10. Quelle est l’équation de la tangente à une courbe (y = f(x)) en un point d’abscisse a ?

11. Etudier les variations de la fonction f définie sur par . Vous ferez le tracé de la courbe Cf représentant la fonction f sur l’intervalle [– 7 ; 3]. Unités graphiques : 2 cm sur l’axe (Ox), 1 cm sur l’axe (Oy).

12. Etudier les variations de la fonction g définie sur par .

13. Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes en donnant (sans justifier) l'ensemble de dérivabilité :

(on donnera en fonction de sin x).

Exercice n°21

Soit f la fonction définie sur R par son tableau de variation -

+ - -

+

1) Démontrer que (Cf) admet une asymptote verticale dont on précisera une équation.

2) Comparer en justifiant f(-1) et f(3)

3) Déterminer les extremums de f et préciser leur nature 4) f est –elle une fonction paire ou impaire ?

5 3

( ) 4 6 2 1

f x  x  x  x g x( ) 1x² 2 ₂1 ( ) 4 h x x

x

 

2

( ) 3 2 1 k x x 1

   x



2 3

( ) 2 2

f x   x  x5 3 ⁴ 4 ³ 3

( ) 2

x x

f x    ( ) ^{1 2}

3 4

f x x x

 



2 2

( ) 1 8 2 f x x

x

 



1 2 3

( ) 2 1 3 1

f x   x x  x

    ² ¹

1 f x x

x

 

   ₂³

f x 1

 x

 .

u v u 1 u

 ( ) 1 ³ ² 5 3

6 2

f x   x x  x

1 2

  

   2

( ) 2 1

g x x

  x



  ³ ⁵ ⁷ ⁴ ⁴ ³ ¹ ² ⁷

5 2 3 2

a x  x  x  x  x  x ^{b x}  ^ ^{4 3}^ ^x⁷   ⁴ ⁵ ²

7 2

c x x

 x

  ² ² ³

3 4

x x

d x x

  

  ^{e x}

 

^ ²^{x x}^ ²

  ^{1 sin} ^cos

f x   x x f'

x ^

) ( '^' x f

) (x f





0 1 2















 0

(9)

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9

5) Déterminer en fonction de m le nombre de solutions de l’équation f(x) = m Partie B

On suppose que , où a,b et c sont des nombres réels.

1. soit f’ la dérivée de f. Calculer f’(x) en fonction de a, b et c.

2. En utilisant le tableau de variation ci – dessus, montrer que a=1, b=1 et c=1

3. Montrer que la droite (D) d’équation y=x+1 est asymptote oblique à la courbe (Cf) de f.

4. Etudier la position de (Cf) par rapport à (D).

5. Montrer que le point A(1,2) est centre de symétrie de (Cf)

6. Construire (Cf) et (D) dans un repère orthonormé d’unité 1 cm sur les axes.

7. Construire la courbe de la fonction g définie par Exercice n°22

On considère les fonctions u et v définies par et . Soit f la fonction composée définie sur ] ; 4[.

1. Exprimer f(x) en fonction de x.

2. a. Quelle est l’image par u de l’intervalle ] ; 4[ ?

b. Déterminer alors (sans calculer f’) le sens de variation de f sur l’intervalle ] ; 4[ . 3. Soit g la fonction définie sur ] ; 4[ par .

a. Déterminer les variations de la fonction g sur ] ; 4[.

b. Exprimer g(x) en fonction de x puis écrire g(x) sous la forme d’un seul quotient.

Exercice n°23

Soient et définies par et

1) Donner les ensemble de définition de et 2) En déduire le signe de

3) En déduire le plus grand des deux nombres et

Exercice n°24

Le graphe ci – dessous représente la courbe de la fonction

définie sur par : et sa tangente au

point P.

Déterminer les valeurs exactes des coordonnées de P.

Exercice n°25

On considère la fonction numérique d’une variable réelle définie sur l’intervalle par . est la courbe représentative de dans le repère orthonormé

1. Quel est l’ensemble D de définition de f ? ) 1

(    

x b c ax x f

) 1 (

2

  x x x g

( ) 4

u x   x 1 ( )

v x  x v u



 g x( ) f x( ) 5



f g ( ) ^{1 4} ₂

(1 6 ) f x x

x

 



(1 5 )2

( ) 1 2 g x x

x

 



f g

( ) ( ) f x g x

2

(1,00000000000004) (1,00000000000006)

A (0,99999999999995)²

0,99999999999998 B

f



^^{3; 0}



^{( )} ¹ ⁵ ⁵ ⁵

f x 3x  x

f x

   

^{0; 2} ^ ^{2; 4} ^{( )} ³

f x 2

 x

 ( )C

f ( , , )O i j 

(10)

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10

2. Calculer et

3. Donner une équation cartésienne de l’asymptote à la courbe représentative de f . 4. Calculer où est la fonction dérivée de .

5. Etudier le signe de et dresser le tableau de variation de .

6. Ecrire une équation cartésienne de la tangente (T ) à (C ) au point d’abscisse 3.

7. Tracer dans le repère la droite (T ) et la courbe (C ).

Exercice n°26

Soit les fonctions et définies sur R par : et .

1. Montrer que la courbe représentative de est l’image de la parabole d’équation par une translation dont on indiquera le vecteur.

2. Montrer que la courbe représentative de est l’image de la parabole d’équation par une translation dont on indiquera le vecteur.

3. Tracer les courbes et dans un même repère (unité graphique : 2 cm).

4. Déterminer algébriquement les coordonnées des points d’intersection de et , puis vérifier les résultats graphiquement.

5. Déterminer algébriquement le signe de la différence . Donner une interprétation graphique de ce signe.

Exercice n°27

Soit la fonction définie sur par

1. En revenant à la définition du nombre dérivé, montrer que est dérivable en 0. Préciser . 2. A l’aide des formules de dérivation, vérifier que est dérivable sur et exprimer

pour .

3. Donner alors l’ensemble des réels pour lesquels est dérivable.

Exercice n°28

La courbe représentative d’une fonction est donnée ci-après. En chacun des points indiqués, la courbe admet une tangente qui est tracée.

En vous servant du quadrillage, compléter les égalités suivantes : lim ( )2

x _ f x

 lim ( )2

x _ f x



'( )

f x f ' f

'

f f

( , , )O i j 

f g f x( )  x²2x3 1 ²

( ) 2 3

g x  2x  x

Cf f P y  x²

 g P'

1 2

y  2x

Cf 

Cf  ( ) ( )

f x g x

f



^0;^



^{f x}

 

^^{x x}

f ^f ^{' 0}

 

f



^0;^



^f ^'

 

^x

0 x

x f

f

     

0 2 1

' 0 ' 2 ' 1

f f f

   

O 1

1

-2

(11)

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11

Exercice n°29 est la fonction

4. Montrer que l’approximation affine locale de est égale à pour h proche de 0.

5. En déduire des approximations des nombres suivants : Exercice n°30

Soit la fonction trinôme telle que : . Déterminer les réels tels que admette au point une tangente de coefficient directeur égal à 1 ainsi qu’une tangente horizontale au point d’abscisse .

Exercice n°31

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes (on ne se limitera qu’à l’expression du premier développement).

a.

b.

c.

d.

e.

f.

Exercice n°32

Etudier les variations de la fonction sur (calcul de la dérivée, étude de son signe, variations de , calculs des extremums quand ceux-ci peuvent être faits de tête facilement). On donnera l’équation de la tangente à au point d’abscisse -1

Exercice n°33

Le plan est muni d’un repère orthonormé ( , ⃗ , ⃗) d’unité graphique 2 . Soit la fonction définie sur ℝ − {−1} par ( ) = . On désigne par la courbe représentative de et

par (ℋ) l’hyperbole d’équation = − .

1. Déterminer les réels et pour que pour tout ≠ −1, ( ) = + . 2. Indiquer la transformation qui permet de tracer à partir de (ℋ) puis tracer . 3. (a) Résoudre graphiquement l’inéquation ( ) > 0.

(b) Retrouver algébriquement les solutions de cette inéquation.

f xx³



²^^h



³ ^{8 12h}^



^{2, 001}



³ ^et



^1,997



³

f ^{f x}

 

^^ax²^^{bx c}^ ^{a b c}^{, ,} ^Cf

 

^1;3

A 1 2

 

³ ² ² ³

f x  x  x

  

² ²



f x  x x x

 

2

3 f x 1

 x



 

³2

1

3 1

f x x x

 

 

^{cos 3}

 



f x  x

  

⁴ ⁵



⁶

f x  x

4 3 2

: 2 3 3

2

f x x  x x   f

Cf

(12)

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12

4. Représenter la courbe ( ) de la fonction ℎ définie par ℎ( ) = (− ).

5. Soit un réel. On considère l’équation paramétrique ( ) ∶ ( − 1) + = 0.

(a) Montrer que ( ) ⟺ ( ) = . (b) Résoudre graphiquement l’équation ( ).

Exercice n°34

On considère la fonction g définie par et on note Cg sa courbe représentative.

Dans chaque cas, dîtes si l’affirmation est vraie ou fausse.

a) La dérivée de g est définie sur . b) La tangente à Cg en est horizontale.

a) Pour tout x < 1

2 on a : .

b) La fonction g admet un minimum.

Exercice n°35

Soit f la fonction définie sur ℝ^∗ par . On note (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté au repère orthonormé (O ; ı⃗ , ⃗).

1. (a) Déterminer trois réels a , b et c tels que pour tout réel non nul , on ait :

(b) Calculer les limites de en −∞ , 0 et +∞.

(c) Montrer que la droite (D) d’équation = − 2 est asymptote à la courbe (C ).

2. Montrer que le point A(0 ; −2) est centre de symétrie pour la courbe (C ).

3. Déterminer la dérivée de la fonction f et dresser le tableau de variation de f.

4. Tracer la courbe (C ).

5. Soit g la fonction définie sur ℝ^∗ par g( ) = f(| |). On note C la courbe de g.

(a) Etudier la parité de la fonction g. Qu’en déduire pour la courbe C ? (b) Comparer g( ) et f( ) pour positif. Qu’en déduire pour (C ) et C ? (c) Tracer C sur le même graphique que (C ).

(d) Discuter graphiquement suivant les valeurs du paramètre réel m , le nombre de solutions de l’équation g( ) = m.

Exercice n°36

On définit la fonction f de la variable réelle par : ; (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; I, J).

1. Déterminer l’ensemble de définition de f et calculer les limites à ses bornes.

2. Calculer la dérivée de f , en déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variation.

3. Vérifier que la droite (D) d’équation = − 1 est asymptote à (C).

4. Montrer qu’il existe deux points dont on déterminera les coordonnées , en lesquels la tangente à (C) est parallèle à (D).

5. Montrer que le point I(0 ; −1) est centre de symétrie pour (C).

6. (a) Ecrire une équation cartésienne de la tangente (T) à (C) au point I.

(b) Etudier la position de (T) par rapport à (C).

7. Construire avec soin (T) , (D) et (C) dans un même repère.

8. Construire sur le même graphe la courbe de la fonction définie par : x

x

g( ) 12 2] ,1 ] 21

x x

g'( ) 112

 

( 1)2

( ) x

f x x

 

2

( ) 1 2

1 f x x x

   x



(13)

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13

h( ) = f(| |).

Exercice n°37

Soit f la fonction définie sur I= par : 1. Montrer que f peut s’écrire :

2. Etudier la limite de f en

3. Montrer que Cf admet la droite d’équation pour asymptote.

4. Etudier la limite de f en 2. En donner une interprétation graphique.

5. Etudier les variations de la fonction f sur I et dresser son tableau de variations.

6. Déterminer l’équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 4.

7. Tracer la courbe Cf main levée en faisant apparaître tous les éléments de l’étude.

Exercice n°38

Soient f et g les fonctions définies sur IR par : f ( x ) = x + 3

x² + 1 et g ( x ) = – 3 x² + x x² + 1 . Montrez que pour tout réel x, f ' ( x ) = g' ( x ) , sans calculer ces deux dérivées Exercice n°39

Calculez la dérivée (en précisant la formule utilisée) et déterminez l’ensemble de dérivabilité ( en justifiant par un résultat du cours) de chacune des fonctions suivantes :

a) f définie sur  par f(x) = x ²cos(x)

b) g définie sur par g(x) = 3x ⁴ + x ³ + x ² + x – 1 c) h définie sur  par h(x) =

d) i définie sur par i(x) = .

Exercice n°40

Soit f la fonction définie sur



^0;^



^par ^{f x}^{( )} ^x ¹

 x.



²^;^

  

2

  x x x f

 

2

2 4

 



 x x x

f





2

x y

2 4

2  x



    ^{; 2}

 

^2;



2 2 3 2 ²





 x

x x

O 1 1

(14)

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14

Démontrez que cette fonction admet un minimum et donnez sa valeur.

Exercice n°41

Soit la fonction f définie par: . On notera Cf sa courbe représentative.

a) Donnez le domaine de définition de f ( noté ) et son ensemble de dérivabilité.

b) Calculez la dérivée de f .

c) Etudiez les variations de f sur son domaine de définition.

( Tableau de signes de la dérivée, tableau de variations avec valeurs de f(x) ).

d) Déterminez l’équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse 3.

e) Donnez les coordonnées des points où la tangente à la courbe est horizontale.

On appellera et ces tangentes horizontales. Donnez les équations de et . f) Recopiez puis complétez le tableau de valeurs suivant :

X -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 2,4 2,6 3 4 5 6 7 f(x)

Les valeurs seront arrondies à 0,1 près.

g) Tracez avec soin , T, et dans un repère orthonormé unité 1 cm.

Exercice n°42

1) On considère la fonction f définie dont l’image d’un nombre x est défini par : .

Montrer que la droite d’équation est l’asymptote à la courbe en et . 2) On considère la fonction g définie par la relation :

Déterminer les valeurs des nombres réels a et b vérifiant : Exercice n°43

Soit la fonction définie sur R\{1} par : . 1. Etudier le sens de variation et les limites de . 2. Dresser le tableau de variations de .

3. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout , .

4. Démontrer que la courbe de admet une asymptote oblique en et en . La courbe admet-elle une autre asymptote ?

5. Montrer que le point est un centre de symétrie de la courbe . Exercice n°44

Soit la fonction définie sur R par : . ( ) ² 4

2 5

f x x x

 



Df

T1 T₂ T₁ T₂

Cf T₁ T₂



^{O i j}^{; ;}^{ }



3 2

2

6 7 9

( ) 2 3

x x x

f x x x

  

  

( )d y3x2 C_f  

4 2 8 5

( ) 3 2

x x

g x x

 

 

 

lim ( ) ( ) 0

x g x ax b

   



f ^{f x}

 

^ ^x_x²_^₁³

f f

1

x

 

1 f x a x b c

  x



Cf f D  

Cf

 

^1;2

A C_f

f ^{f x}

 

^{ }^x³ ³^x^¹

(15)

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15

1. Etudier les variations de sur R. (sens de variation et limites)

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de au point d’abscisse 0 et préciser sa position relative à .

3. Soit la parabole d’équation : . a) Préciser les éléments caractéristiques de .

b) Vérifier que le point est un point qui appartient aux deux courbes et . c) Etudier la position de par rapport à .

4. Tracer les courbes et dans un même repère.

Exercice n°45

est un rectangle tel que et .

M est un point variable sur : on pose . Les droites et se coupent en I.

On désigne par la somme des aires de triangles et . 1. Calculer et .

2. Démontrer que la hauteur du triangle est égale à .

3. En déduire que : .

4. Pour quelle valeur de x, est-elle minimale ? Que vaut cette aire minimale ? Exercice n°46

On considère la fonction f définie par :

1. Donner l’ensemble de définition de la fonction . 2. Déterminer les limites de la fonction en et .

3. a. Justifier que les deux limites ci-dessous représentent une forme indéterminée : et

b. Montrer que, pour , on a :

c. En déduire la valeur des deux limites présentées à la question a. . Exercice n°47

On considère la fonction f dont l’image de x est définie parla relation :

1. Déterminer les limites de cette fonction aux bornes de son ensemble de définition.

2. a. Déterminer la valeur des trois nombres réels a, b, c vérifiant :

b. En déduire une expression de la fonction dérivée de la fonction .

c. Dresser le tableau de variation complet de la fonction (n’oubliez aucune valeur dans le tableau).

3. Déterminer l’équation de l’asymptote oblique en .

Exercice n°48

On considère la fonction dont l’image d’un nombre x est donnée par la relation : f

T0 C_f f

Cf

P y x ²2x1

 

^2;1 P

A C_f P

Cf P

ABCD AB1 AD 2

 

^DC ^DM ^^x

 

^AM

 

^DB

 

S x ABI DIM

 

⁰

S ^S

 

¹

IK ABI 2

1 x

 

² ¹

1 S x x

x

 

 

 S x

2

5 1

: 5 4 1

f x x

x x



  

 f

f  

1 5

lim ( )

x

 f x



 1

5

lim ( )

x

 f x





x D f 1

( ) 1

f x  x



4 2 10 2

( ) 2

x x

f x x

 

 

4 2 10 2

3 2

c x x

ax b x x

 

  

 

'

f f

f



f 6 ² 1

( ) 2 1

x x

f x x

  



(16)

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16

1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction . a. Déterminer l’expression de la fonction dérivée de . b. Dresser le tableau de signe de la fonction

c. En déduire le tableau de variation de la fonction .

d. En étudiant les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de définition, compléter le tableau de variation.

2. Montrer que la fonction admet en et en la droite d’équation

Exercice n°49

On considère la fonction définie par 1. Donner l’ensemble de définition D de 2. Résoudre l’équation

3. Résoudre l’équation Exercice n°50

La fonction est définie sur par

. Sa représentation graphique est donnée ci – contre

1) Déterminer graphiquement le nombre de racines de . Donner une valeur approchée de chacune d’elles.

2) Montrer qu’il existe un triplet que l’on déterminera tel que pour tout réel :

3) Déterminer les valeurs exactes des racines de

4) Déterminer graphiquement l’ensemble des solutions de l’inéquation

Exercice n°51

On considère la fonction définie par

Soit sa courbe représentative dans un repère orthogonal d’unité 1cm.

1. Justifier que est définie sur 2. Calculer

3. Etudier le signe de et donner le tableau de variation de pour

4. Donner l’équation de la tangente T à la courbe en son point d’abscisse 0. Etudier les positions relatives de T et

5. Tracer la courbe pour et tracer sur le même graphique sa tangente T.

6. Justifier que pour tout réel x, on a : f(-x) = -f(x). que peut – on en déduire pour la courbe ? 7. Soit m un nombre réel. Etudier suivant les valeurs de m, le nombre de solutions de l’équation

f f ' f

f f

f   ( )d y3x1

f

2 2

4 15 3

( ) 2 5 3

x x

f x x x

 

  

f ( ) 3

f x  ( ) 1 f x 

f 

3 2

( ) 2 6 7 21

f x  x  x  x

f

( ; ; )a b c x

( ) ( 3)( 2 )

f x  x ax bx c

f

( ) 11

f x   x

f ₂5

1 x x 

( )C



^{O i j}^{; ,}^{ }



f 

'( ) f x

'( )

f x f ^{x }



^7;7



( )C ( )C

( )C ^{x }



^7;7



( )C

2 5 0

mx  x m 

(17)

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17

8. Vérifier, en utilisant la courbe les résultats de la question précédente.

Exercice n°52

On considère la fonction définie par : (C) la courbe représentative de dans un repère orthonormal.

1°) Donner l'ensemble de définition de . 2°) Calculer la dérivée et étudier son signe.

3°) Donner le tableau de variations de la

4°) Déterminer l'équation de la tangente T à (C) en son point d'abscisse 0. Représenter, avec une calculatrice ou un ordinateur, la courbe (C) et sa tangente T.

5°) Déterminer le nombre de points communs à la courbe (C) et à sa tangente T. Quelles sont les coordonnées de ce(s) point(s) ? Préciser les positions relatives de (C) et T.

Exercice n°53

Soit f la fonction définie sur –{2} par et soit Cf sa courbe représentative dans un repère .

1. Etudier les variations de f.

2. a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point A d’abscisse 1.

b. Etudier le signe de . Interpréter graphiquement le résultat.

3. Existe-t-il des points en lesquels la tangente à Cf est parallèle à la droite d’équation ? Si oui, préciser leurs coordonnées.

Exercice n°54

Soit .

a. Déterminer son ensemble de définition, trouver a, b, c réels tels que . b. Montrer que le point est centre de symétrie de la courbe (C) de f.

c. Déterminer suivant les valeurs de x la position de (C) par rapport à la droite (D)

d. Tracer dans un repère orthonormé la droite (D) et la courbe (C). (on placera particulièrement les points A et B de (C) d'abcisses respectives −1/2 et 3/2 ).

e. Déterminer graphiquement puis algébriquement le signe de f.

Exercice n°55

Déterminer l'ensemble de définition, la dérivée, le signe de la dérivée et le tableau de variations de .

Exercice n°56

On considère la fonction définie par

Soit sa courbe représentative dans un repère orthogonal 1) Justifier que est continue sur

2) Justifier que est dérivable sur . Calculer et étudier son signe.

3) Donner le tableau de variation de sur sur l’intervalle

4) Tracer la courbe sur l’intervalle (on prendra comme unité 1cm en abscisse et 2cm en ordonnée)

( )C

f

2 2

2 6 1

( ) 2

x x

f x x

 

 

f

f '

f

 ( ) 2 3

2 f x x

x

 

  ( ; , )O i j 

( ) ( 2) f x  x

2 y x 

4 2 8 7

( ) 1 2

x x

f x x

 

 

  1 2

f x ax b c

   x

 1, 2

2

 

  

2 3

y x

3 2

( 1) ( ) (1 ) f x x

x

 



f

2 2

4 6

( ) 2 8 12

x x

f x x x

 

  

( )C



^{O i j}^{; ,}^{ }



f 

f  f x'( )

f



^^8;8



( )C



^^8;8



(18)

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18

5) Soit le point de coordonnées (-2 ; 0). On considère le repère

a. Soit M un point de coordonnées dans le repère et dans En

écrivant justifier que et

b. L’équation de dans le repère est . En utilisant les relations établies dans la question a), écrire l’équation de dans le repère sous la forme

où g est une fonction que l’on déterminera.

c. Démontrer que g est une fonction paire, c'est-à-dire que pour tout réel X, on a g(X)=g(-X).

déduire que la droite d’équation x = -2 est axe de symétrie pour la courbe Exercice n°57

1. Soit fla fonction définie sur par et soit (Cf) sa représentation graphique dans un repère orthonormal du plan.

a) Étudier les variations de f et dresser son tableau de variation complet.

b) En déduire que f possède sur I un extremum que l’on précisera.

2. On a représenté ci-contre une sphère de rayon 1 et un cône C circonscrit à la sphère ayant pour rayon r et pour hauteur h

avec .

Les points A, O, I, H et J sont coplanaires, les droites (OI) et (AJ) sont perpendiculaires, de même que les droites (HJ) et (AH).

On cherche à déterminer pour quelle valeur de h le volume du cône est minimal et quel est ce volume minimal.

a. Démontrer que

b. On rappelle que le volume d’un cône, de hauteur h et dont l’aire de la base vaut B, est

Soit V(h) le volume du cône. Exprimer V (h) en fonction de h.

c. Conclure en utilisant la première question.

Exercice n°58

Soit . C sa courbe représentative

a. Trouver a, b, c, d tels que pour tout x réel non nul.

b. Etudier les variations de f : dérivée, signe de la dérivée, limites, tableau.

c. Déterminer une équation de la tangente T à C au point d’abscisse .

d. Peut-on trouver un point de C où la tangente à C soit parallèle à la droite  (y=−x) ? Si oui, préciser l’équation de cette tangente T’.

e. Montrer que C a une asymptote oblique D. préciser leurs positions respectives, tracer T’ si elle existe, T, D et C.

f. Justifier l'existence d'une solution unique de l'équation f(x) = 1. En donner une valeur approchée à 0,01 près.





^{O i j}^{; ,}^{ }



( ; )x y



^{O i j}^{; ,}^{ }



^{( ; )}^{X Y} ^{( ; , )}^ ^{i j}^{ }

OM     O M

2

x X  y Y ( )C



^{O i j}^{; ,}^{ }



²2

4 6

2 8 12

x x

y x x

 

  

( )C ( ; , ) i j  ( )

Y g X

( )C

5;10 I 2 

  

2

( ) 1

f x x

 x



5;10 h 2 

  

2

2 r h

h



1 3h B

3 2

(1 )

( ) x

f x x

 

( ) cx d2

f x ax b x

   

1 2