LYCEE CLASSIQUE D’EDEA 21.11.2017 EXAMEN SEQUENCE N° 2 Durée : 4h Classe :

Lycée Classique d’Edéa Epreuve de Maths 2^ème Séquence Prof : TNAM@LCE 2017 -2018 Classe de 𝐓^𝐥𝐞 C

EXERCICE 1 : 4 points

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormé direct unité graphique On considère les points définis par : , et tel que soit un rectangle. On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

1. Déterminer l’affixe de image de par la translation de vecteur 0,5pt 2. Déterminer les réels tels que et 0,5pt 3. On considère la similitude directe S qui transforme en et en A tout point

d’affixe , on associe le point d’affixe , image de par S.

(a) Montrer que 0,5pt (b) Déterminer le centre l’angle et le rapport de la similitude S. 0,75pt (c) Déterminer S et S 0,5pt (d) Calculer l’aire de l’image par S du rectangle 0,25pt 4. Déterminer l’ensemble des points du plan tels que 0,5pt 5. Déterminer, en précisant ses éléments caractéristiques , l’image de par S. 0,5pt EXERCICE 2 : 3,5 points

L’espace est muni d’un repère orthonormé On considère les points : et

1. Calculer le produit vectoriel ∧ 0,5pt 2. Déterminer une équation cartésienne du plan contenant les points 0,5pt 3. Soit le plan d’équation : et le plan de repère

(a) Pourquoi et sont-ils sécants ? 0,5pt (b) Donner un point et un vecteur directeur de la droite ∩ 0,5pt 4. Ecrire une équation cartésienne de la sphère S de centre et de rayon 0,5pt 5. Déterminer avec soin l’intersection de la sphère S et de la droite 1pt EXERCICE 3 : 2,5 points

1. (a) Montrer que l’équation , dont l’inconnue ,n’a pas de solution. 0,5pt (b) Montrer que pour tous , si divise alors divise et 0,75pt 2. L’espace est rapporté au repère orthonormal

(a) Montrer que les plans et d’équations respectives et ne sont pas parallèles et donner une représentation paramétrique de ∩ 0,75pt (b) Soit le cône de révolution d’équation Soit

Montrer que si alors et sont divisibles par 0,5pt

MINESEC LYCEE CLASSIQUE D’EDEA

21.11.2017 EXAMEN SEQUENCE N° 2 Durée : 4h Classe : 𝐓

C COEFF. 5 EPREUVE MATHEMATIQUES

 ^{A u v , ,  }  ^,

Page 1 sur 2

1 cm . ,

B D  AB  2 u 

3 AD  v

 

C ABCD

z

E , B DB  .

,

a b ^F

^bar   ^{A a ,}   ^{, B b ,}   ^{, C ,1}   z

  ⁶ i ^.

A E B F . M

z M ,

z ,

M z ^{,  }  ^{1 i z}  ^{  4 3 . i}

,

I  k

  ^C   ^{D .}

. ABCD

 M 6 MA   10 MB    MC  9.



u 

 ^{O i j k , , ,   }  ^{. A }

^{1; 2;1 , }

 ^{1; 6; 1 ,}   ^{2; 2; 2 ,}   ^{0;1; 1 ,}   ^{2; 0; 0} 

B

C I

J

^K  ^{1; 0;1 .} 

AB



. AC



  ^{P A B C , , .}

  ^Q x   y 3 z   2 0   Q

 ^{O i k , ,  }  ^.

  ^Q   Q

E    

^Q   Q

I 2.

  ^{JK .}

 ^{O i j k , , ,   }  ^.

 

2

3 7

x

x  

,

a b   7 a

 b

7 a b .

P Q x  3 y  2 z  0 2 x   z 0

  P Q .

 y

 z

 7 x

.

 ^{, ,}  ^,

A a b c

a b , c 7.

, ,

.

a b c  

Lycée Classique d’Edéa Epreuve de Maths 2^ème Séquence Prof : TNAM@LCE 2017 -2018 Classe de 𝐓^𝐥𝐞 C

PROBLEME : 10 points PARTIE A : 2,5 points

On désigne par (E) l’équation d’inconnue complexe

1. (a) Résoudre dans l’équation 0,5pt (b) Ecrire les solutions de cette équation sous forme exponentielle. 0,5pt 2. On désigne par le nombre complexe de module et dont un argument est égal à

(a) Calculer sous forme algébrique. 0,25pt (b) En déduire les solutions dans de l’équation 0,5pt 3. (a) Démontrer que si est solution de (E), alors l’est aussi. 0,25pt (b) En déduire dans toutes les solutions de l’équation (E). 0,5pt PARTIE B : 3 points

L’espace E est rapporté à un repère orthonormé On considère les plans et d’équations cartésiennes respectives : et

1. Soit ∩ On suppose que et appartiennent à

(a) Montrer que les entiers et sont solutions de l’équation 0,25pt (b) Vérifier que le couple est solution de , puis résoudre dans 0,75pt (c) Déterminer tous les points dont les coordonnées sont des entiers naturels. 0,5pt 2. Soient et des entiers naturels tels que

(a) Montrer que est impair. 0,5pt

(b) Montrer que 0,25pt (c) On pose alors et où

Montrer que si et seulement si 0,25pt (d) Déterminer tous les points de dont les coordonnées sont des entiers naturels. 0,5pt PARTIE C : 4,5 points

C1) Soit la fonction définie sur par

1. Etudier les variations de 0,5pt 2. (a) Montrer que l’équation admet une unique solution 0,5pt (b) Vérifier que et que 0,5pt (c) Donner le signe de sur 0,5pt 3. (a) Montrer que réalise une bijection de sur un intervalle que l’on précisera. 0,5pt

(b) Tracer les courbes et respectivement de et dans un repère orthonormé (unité graphique 2cm) 0,5pt C2) Soit la fonction définie sur par

1. Montrer que admet une fonction réciproque définie sur et calculer 0,75pt 2. Montrer que est dérivable sur et que 0,75pt

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4 2

4 16 0

z  z   z .

 Z

 4 Z  16  0.

a 2 .

3

 a

 z

   2 2 i 3.

z z



 ^{O i j k , , ,   }  ^{.   P}

  ^{ 10 x  15 y  6 z  73 z  3.}

 ^{, ,}   

M x y z

P   ^{ . x y , z  .}

x y   ^{E : 2 x}

^{3 y}

^11.

 ^{7, 1}

   ^E   ^E 

. M

,

x y z 10 x  15 y  6 z  73.

y ^{1 3 .}  

x

1 3 , 1 2

x   p y   q z   3 5 r p q r , ,  .

 ^{, ,}   

M x y z

P p    q r 1.

  ^P

f ^I

 ^1;1    ¹

^.

1 f x x

x

   . 

f

 

f x

x   I .

0,8    0,9 1

.

1

 

  

  

f x

x I .

f I J

 

f f

 ^{O i j , ,  }  ^.

g  ^{0, }    ^{tan .}

2 g x  x

g g

^g

  ^{1 .}

g



 

^{ }

, 2 .

x g x 1

x



 



 , 

