cours 26
4.4 CRITÈRE DE
CONVERGENCE
Au dernier cours, nous avons vu
Au dernier cours, nous avons vu
✓ Somme infinie
Au dernier cours, nous avons vu
✓ Somme infinie
✓ Convergence et divergence de série
Au dernier cours, nous avons vu
✓ Somme infinie
✓ Convergence et divergence de série
✓ Série harmonique
Au dernier cours, nous avons vu
✓ Somme infinie
✓ Convergence et divergence de série
✓ Série harmonique
✓ Série arithmétique
Au dernier cours, nous avons vu
✓ Somme infinie
✓ Convergence et divergence de série
✓ Série harmonique
✓ Série arithmétique
✓ Série géométrique
Aujourd’hui, nous allons voir
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Critère du terme général
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Critère du terme général
✓ Critère de l’intégrale
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Critère du terme général
✓ Critère de l’intégrale
✓ Série de Riemann
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Critère du terme général
✓ Critère de l’intégrale
✓ Série de Riemann
✓ Critère de d’Alembert
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Critère du terme général
✓ Critère de l’intégrale
✓ Série de Riemann
✓ Critère de d’Alembert
✓ Critère de comparaison à l’aide d’une limite
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Critère du terme général
✓ Critère de l’intégrale
✓ Série de Riemann
✓ Critère de d’Alembert
✓ Critère de comparaison à l’aide d’une limite
✓ Critère du polynôme
Au dernier cours, on a vu que pour évaluer une série
Au dernier cours, on a vu que pour évaluer une série
Au dernier cours, on a vu que pour évaluer une série
il faut trouver une expression pour sa somme partielle.
Au dernier cours, on a vu que pour évaluer une série
il faut trouver une expression pour sa somme partielle.
Or, cette tâche est plutôt difficile à faire.
Au dernier cours, on a vu que pour évaluer une série
il faut trouver une expression pour sa somme partielle.
Or, cette tâche est plutôt difficile à faire.
On va donc utiliser plusieurs critères nous permettant, sous certaines conditions, de déterminer la convergence ou divergence d’une série.
Théorème (Critère du terme général)
Théorème (Critère du terme général) Soit une série
Théorème (Critère du terme général) Soit une série
Si le terme général ne tend pas vers 0 alors la série diverge.
Théorème (Critère du terme général) Soit une série
Si le terme général ne tend pas vers 0 alors la série diverge.
Théorème (Critère du terme général) Soit une série
Si le terme général ne tend pas vers 0 alors la série diverge.
Théorème (Critère du terme général) Soit une série
Si le terme général ne tend pas vers 0 alors la série diverge.
diverge
Théorème (Critère du terme général) Soit une série
Si le terme général ne tend pas vers 0 alors la série diverge.
diverge
converge
Théorème (Critère du terme général) Soit une série
Si le terme général ne tend pas vers 0 alors la série diverge.
diverge
converge
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Donc la série diverge.
Exemple
Remarque:
Donc la série diverge.
Exemple
Remarque:
Donc la série diverge.
Exemple
L’inverse du théorème est faux.
Remarque:
Donc la série diverge.
Exemple
L’inverse du théorème est faux.
converge
Remarque:
Donc la série diverge.
Exemple
L’inverse du théorème est faux.
converge La série harmonique diverge
Remarque:
Donc la série diverge.
Exemple
L’inverse du théorème est faux.
converge La série harmonique diverge
mais
Faites les exercices suivants
Section 4 #18
Considérons une série
Considérons une série avec
Considérons une série et
avec
Considérons une série et la suite des éléments sommés et
avec
Considérons une série et la suite des éléments sommés et
avec
Considérons une série
On peut voir chaque comme l’aire d’un rectangle de base 1 et de hauteur
et la suite des éléments sommés et
avec
Considérons une série
On peut voir chaque comme l’aire d’un rectangle de base 1 et de hauteur
et la suite des éléments sommés et
avec
Considérons une série
On peut voir chaque comme l’aire d’un rectangle de base 1 et de hauteur
et la suite des éléments sommés et
avec
Considérons une série
On peut voir chaque comme l’aire d’un rectangle de base 1 et de hauteur
et la suite des éléments sommés et
avec
Considérons une série
On peut voir chaque comme l’aire d’un rectangle de base 1 et de hauteur
et la suite des éléments sommés et
avec
Considérons une série
On peut voir chaque comme l’aire d’un rectangle de base 1 et de hauteur
et la suite des éléments sommés et
avec
Considérons une série
On peut voir chaque comme l’aire d’un rectangle de base 1 et de hauteur
et la suite des éléments sommés et
avec
Considérons une série
On peut voir chaque comme l’aire d’un rectangle de base 1 et de hauteur
et la suite des éléments sommés et
avec
Considérons une série
On peut voir chaque comme l’aire d’un rectangle de base 1 et de hauteur
et la suite des éléments sommés et
avec
Considérons une série
On peut voir chaque comme l’aire d’un rectangle de base 1 et de hauteur
et la suite des éléments sommés et
avec
Considérons une série
On peut voir chaque comme l’aire d’un rectangle de base 1 et de hauteur
et la suite des éléments sommés et
avec
et avec
et avec
Donc si diverge, alors
et avec
Donc si diverge, alors
et avec
Donc si diverge, alors diverge
et avec
Donc si diverge, alors diverge
et si converge, alors
et avec
Donc si diverge, alors diverge
et si converge, alors
et avec
Donc si diverge, alors diverge
et si converge, alors converge
En fait, on peut avoir une idée approximative de la valeur de la série lorsqu’elle converge
En fait, on peut avoir une idée approximative de la valeur de la série lorsqu’elle converge
En fait, on peut avoir une idée approximative de la valeur de la série lorsqu’elle converge
En fait, on peut avoir une idée approximative de la valeur de la série lorsqu’elle converge
En fait, on peut avoir une idée approximative de la valeur de la série lorsqu’elle converge
En fait, on peut avoir une idée approximative de la valeur de la série lorsqu’elle converge
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Donc converge
Exemple
Donc converge
Exemple
Donc converge
Exemple
Donc converge
Exemple
Donc converge
Exemple
Donc converge
Faites les exercices suivants
Section 4 #19
Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série.
Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série.
Une série de la forme
Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série.
Une série de la forme
Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série.
Une série de la forme
est une série de Riemann
Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série.
Une série de la forme
est une série de Riemann ou une série-p
Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série.
Une série de la forme
est une série de Riemann ou une série-p
Si
Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série.
Une série de la forme
est une série de Riemann ou une série-p
Si
Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série.
Une série de la forme
est une série de Riemann ou une série-p
Si
Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série.
Une série de la forme
est une série de Riemann ou une série-p
Si c’est la série harmonique
et elle diverge
Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série.
Une série de la forme
est une série de Riemann ou une série-p
Si c’est la série harmonique
et elle diverge
Si
Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série.
Une série de la forme
est une série de Riemann ou une série-p
Si c’est la série harmonique
et elle diverge
Si
Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série.
Une série de la forme
est une série de Riemann ou une série-p
Si c’est la série harmonique
et elle diverge
Si
Avec le critère de l’intégrale, on peut déterminer la convergence d’un certain type de série.
Une série de la forme
est une série de Riemann ou une série-p
Si c’est la série harmonique
et elle diverge
Si diverge par le critère
du terme général
si
si
si
si
si
si
si
si
Donc la série diverge par le critère du terme général.
si
Donc la série diverge par le critère du terme général.
si
Donc la série diverge par le critère du terme général.
si
Donc la série diverge par le critère du terme général.
si
Donc la série diverge par le critère du terme général.
si
Donc la série diverge par le critère du terme général.
On peut donc appliquer le critère de l’intégrale si
Donc la série diverge par le critère du terme général.
On peut donc appliquer le critère de l’intégrale si
Donc la série diverge par le critère du terme général.
On peut donc appliquer le critère de l’intégrale si
Donc la série diverge par le critère du terme général.
On peut donc appliquer le critère de l’intégrale si
Si
Si
Si et l’intégrale converge, donc la série aussi
Si et l’intégrale converge, donc la série aussi Sinon, ça diverge
Si et l’intégrale converge, donc la série aussi Sinon, ça diverge
Donc converge
Faites les exercices suivants
Section 4 #20
Théorème (Critère de d’Alembert)
Théorème (Critère de d’Alembert)
Théorème (Critère de d’Alembert) et posons
Théorème (Critère de d’Alembert) et posons converge
Théorème (Critère de d’Alembert) et posons
converge diverge
Théorème (Critère de d’Alembert) et posons
Si ???
converge diverge
Théorème
«Preuve»:
(Critère de d’Alembert) et posons
Si ???
converge diverge
Théorème
«Preuve»:
(Critère de d’Alembert) et posons
Si ???
Si
converge diverge
Théorème
«Preuve»:
(Critère de d’Alembert) et posons
Si ???
Si
converge diverge
Théorème
«Preuve»:
(Critère de d’Alembert) et posons
Si ???
Si
converge diverge
Théorème
«Preuve»:
(Critère de d’Alembert) et posons
Si ???
Si
converge diverge
Théorème
«Preuve»:
(Critère de d’Alembert) et posons
Si ???
Si
converge diverge
«Preuve»: Si
«Preuve»: Si
«Preuve»: Si
«Preuve»: Si
«Preuve»: Si
somme finie donc
converge
«Preuve»: Si
Série géométrique converge si
somme finie donc
converge
«Preuve»: Si
Faites les exercices suivants
Section 4 #22
Théorème (Critère de comparaison à l’aide d’une limite)
Théorème (Critère de comparaison à l’aide d’une limite) Soient et
Théorème (Critère de comparaison à l’aide d’une limite) Soient et si
Théorème (Critère de comparaison à l’aide d’une limite) Soient et si
alors
Théorème (Critère de comparaison à l’aide d’une limite) Soient et si
alors converge
Théorème (Critère de comparaison à l’aide d’une limite) Soient et si
alors converge converge
Théorème
«Preuve»:
(Critère de comparaison à l’aide d’une limite) Soient et si
alors converge converge
Théorème
«Preuve»:
(Critère de comparaison à l’aide d’une limite) Soient et si
alors converge converge
Théorème
«Preuve»:
(Critère de comparaison à l’aide d’une limite) Soient et si
alors converge converge
Théorème
«Preuve»:
(Critère de comparaison à l’aide d’une limite) Soient et si
alors converge converge
Théorème
«Preuve»:
(Critère de comparaison à l’aide d’une limite) Soient et si
alors converge converge
Théorème
«Preuve»:
(Critère de comparaison à l’aide d’une limite) Soient et si
alors converge converge
Théorème
«Preuve»:
(Critère de comparaison à l’aide d’une limite) Soient et si
alors converge converge
Théorème
«Preuve»:
(Critère de comparaison à l’aide d’une limite) Soient et si
alors converge converge
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
Exemple
mais c’est la série harmonique qui diverge
Exemple
mais c’est la série harmonique qui diverge
donc diverge.
Corolaire: (Critère du polynôme)
Corolaire: (Critère du polynôme)
Corolaire: (Critère du polynôme)
un polynôme de degré
Corolaire: (Critère du polynôme)
un polynôme de degré un polynôme de degré
Corolaire: (Critère du polynôme)
un polynôme de degré un polynôme de degré posons
Corolaire: (Critère du polynôme)
un polynôme de degré un polynôme de degré posons
Si converge
Corolaire: (Critère du polynôme)
un polynôme de degré un polynôme de degré posons
Si converge
Si diverge
Corolaire:
Preuve:
(Critère du polynôme)
un polynôme de degré un polynôme de degré posons
Si converge
Si diverge
Corolaire:
Preuve:
(Critère du polynôme)
un polynôme de degré un polynôme de degré posons
Si converge
Si diverge
Il suffit de faire un comparaison à l’aide d’une limite avec la série de Riemann
Faites les exercices suivants
Section 4 #21 et 24
Aujourd’hui, nous avons vu
Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Critère du terme général
Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Critère du terme général
✓ Critère de l’intégrale
Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Critère du terme général
✓ Critère de l’intégrale
✓ Série de Riemann
Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Critère du terme général
✓ Critère de l’intégrale
✓ Série de Riemann
✓ Critère de d’Alembert
Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Critère du terme général
✓ Critère de l’intégrale
✓ Série de Riemann
✓ Critère de d’Alembert
✓ Critère de comparaison à l’aide d’une limite
Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Critère du terme général
✓ Critère de l’intégrale
✓ Série de Riemann
✓ Critère de d’Alembert
✓ Critère de comparaison à l’aide d’une limite
✓ Critère du polynôme
Devoir: Section 4.3
