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Déductionnaturellepourcalculdesprédicats TDdeLogiquen 8

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Academic year: 2022

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(1)

Université Paris Diderot - Licence 3 Année 2014-2015

TD de Logique n

o

8

Déduction naturelle pour calcul des prédicats

Exercice 1 (Dérivation dans DN

pred

)

Pour chacun des séquents suivants, dites si il est valide ou non. Si il valide, donnez sa dérivation dans DN

pred

sinon donnez une interprétation qui ne le satisfait pas.

∀x.P (x) ⊢ ∃x.P (x) (1)

∃x.P (x) ⊢ ∀x.P (x) (2)

⊢ ∀x.(P (x) ∧ Q(x)) → ∀x.P (x) (3)

¬(∃x.¬P (x)) ⊢ ∀x.P (x) (4)

∀x.∀y.A(x, y) ⊢ ∃x.∀y.¬A(x, y) (5)

∀x.(¬P (x)) ⊢ P (a) → (∃y.Q(y)) (6)

⊢ ∀x.∀y.(P (x, y)) → ¬(∀x.(¬P(x, x))) (7)

Exercice 2 (Ordre des dérivations) On considère le séquent ⊢ ∃x.(P (x) ∧ Q(x)) →

∃x.P (x). Donnez une dérivation pour ce séquent dans DN

pred

. L’ordre dans lequel vous avez choisi vos règles est-il important ? Pourquoi ?

Exercice 3 (Réversibilité) On considère la règle de DN

pred

suivante :

∆ ⊢ ∀x.A

∆ ⊢ {x ← t}(A) (∀x e)

où {x ← t}(A) ne capture pas de variables. Cette règle est-elle réversible ? C’est-à-dire a-t-on toujours que toute interprétation satisfaisant la conclusion satisfait également la prémisse.

Indice : Pour déduire le résultat, vous pouvez vous servir d’une instantiation particulière de la règle, par exemple :

⊢ ∀x.P (x)

⊢ P (a)

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