Nom :
Classe : 2nde 4
Devoir maison n°2 Problèmes du 1er degré
à préparer pour le : 03 / 02 / 20
Exercice 17 : Exercice 18 :
Nom :
Classe : 2nde 4
Test du DM n°2 Problèmes du 1er degré
le : 03 / 02 / 20
Note :
… / 10
Evaluation des capacités
Je sais : Non Oui
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites.
Comprendre un énoncé.
Calculer une masse volumique.
Exprimer une quantité en fonction d'une autre.
Justifier qu'une fonction est affine
Tracer la représentation graphique d'une fonction affine.
Résoudre un problème.
Exercice 17 : On considère les deux fonctions et définies par :
= et =
Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point d'intersection des droites représentatives de et .
Exercice 18 : La légende raconte que le roi Hiéron de Syracuse s'était fait fabriquer par un orfèvre une couronne en or. Or, il eut un doute sur la composition de la couronne : était-elle en or pur ou bien était-ce un mélange d'or et d'argent ? Le roi demanda de l'aide à Archimède qui utilisa la méthode suivante :
• On prend kg d'or pur, on le plonge dans l'eau et on détermine son volume en mesurant la variation du volume d'eau. On trouve un volume de cm .
• On fait de même avec kg d'argent et on obtient un volume de cm .
• On procède de même avec la couronne, de masse kg. Archimède trouva un volume de 65 cm . (Pour simplifier, l'unité choisie ici est le kilogramme, qui n'existait pas à l'époque d'Archimède.)
1. Quelle fut la conclusion d'Archimède ? Justifier.
2. On rappelle que la masse volumique d'un matériau est le rapport de la masse du matériau par le volume qu'il occupe. On la note = . Déterminer, au dixième près, les masses volumiques de l'or et de l'argent en g.cm .
p g(x) 2x+ 1
f(x) - 2x+p
3
f g f g
m
½ v
3
3
3
-3
1
51
1 95
1
m v
3. On note le volume en cm d'un kilogramme d'un alliage de grammes d'or et de grammes d'argent.
a) Exprimer en fonction de .
b) Justifier que la fonction est affine.
c) Tracer sa représentation graphique dans le repère ci-dessous.
4. Quelle était la composition, au gramme près, de la couronne du roi Hiéron ? Justifier.
f(x) 3 x 1 000¡x
f(x) x
f
Correction du DM n°2 Exercice 17 : On considère les deux fonctions et définies par :
= et =
Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point d'intersection des droites représentatives de et . On résout = :
= = = =
est l'abscisse du point d'intersection des deux droites. On calcule son ordonnée :
= = = =
Ainsi, le point d'intersection des droites représentatives de et est M( ; ).
Exercice 18 : La légende raconte que le roi Hiéron de Syracuse s'était fait fabriquer par un orfèvre une couronne en or. Or, il eut un doute sur la composition de la couronne : était-elle en or pur ou bien était-ce un mélange d'or et d'argent ? Le roi demanda de l'aide à Archimède qui utilisa la méthode suivante :
• On prend kg d'or pur, on le plonge dans l'eau et on détermine son volume en mesurant la variation du volume d'eau. On trouve un volume de cm .
• On fait de même avec kg d'argent et on obtient un volume de cm .
• On procède de même avec la couronne, de masse kg. Archimède trouva un volume de 65 cm . (Pour simplifier, l'unité choisie ici est le kilogramme, qui n'existait pas à l'époque d'Archimède.)
1. Quelle fut la conclusion d'Archimède ? Justifier.
Etant donné que le volume d'eau déplacé par kg d'or pur est égal à cm mais que le volume d'eau déplacé par la couronne du roi Hiéron, qui elle aussi pèse kg, est égal à 65 cm , Archimède en a conclu que la couronne n'était pas en or pur.
2. On rappelle que la masse volumique d'un matériau est le rapport de la masse du matériau par le volume qu'il occupe. On la note = . Déterminer, au dixième près, les masses volumiques de l'or et de l'argent en g.cm .
kg d'or pur déplace un volume d'eau égal à cm .
On en déduit la masse volumique de l'or : = = ≈ g.cm . kg d'argent déplace un volume d'eau égal à cm .
On en déduit la masse volumique de l'argent : = = ≈ g.cm .
3. On note le volume en cm d'un kilogramme d'un alliage de grammes d'or et de grammes d'argent.
a) Exprimer en fonction de .
kg d'or occupe un volume d'eau égal à cm donc grammes d'or occupent un volume égal à . Remarque : on peut s'aider d'un tableau de proportionnalité pour retrouver ce résultat.
Poids (en g)
Volume (en cm ) ?
f g f(x) p
2x+ 1 g(x) - 2x+p 3
f g
1
51 3
1 95 3
1 3
m
v ½ m
-3 v
f(x) 3 x 1 000¡x
f(x) x
f(x) g(x) p2x+ 1 - 2x+p p 3
2x+ 2x p 3¡1 p3¡1 (p
2 + 2)x p3¡1 p2 + 2 x
p3¡1 p2 + 2 f(
p3¡1 p2 + 2) p
2£
p3¡1 p2 + 1+ 1
p6¡p p 2
2 + 1 + 1
p6¡p p 2
2 + 1 +
p2 + 1 p2 + 1
p6 + 1 p2 + 1 f g
p3¡1 p2 + 2
p6 + 1 p2 + 1
1 51 3
1 3
1 51 3
m v
1 000 51
19,6 -3
m v
-3
1 95 3
1 000
95 10,5
½O
½A
x
1 51 3 51x
1 000
3
1 000 51
x
De même, grammes d'argent occupent un volume égal à .
est le volume d'un kilogramme d'un alliage de grammes d'or et de grammes d'argent.
Donc : = +
b) Justifier que la fonction est affine.
= + = = =
On a : = avec = et =
Donc est une fonction affine.
c) Tracer sa représentation graphique.
4. Quelle était la composition, au gramme près, de la couronne du roi Hiéron, au gramme près ? Justifier.
Déterminer la composition exacte de la couronne du roi Hiéron revient à déterminer la masse d'or qu'elle contient. Sachant que la couronne déplace un volume d'eau égal à cm , cela revient à résoudre : =
= = =
= ≈
=
Ainsi, la couronne du roi Hiéron de Syracuse était composée de g d'or et de g d'argent.
f
1 000¡x 95 (1 000¡x)
1 000
f(x) x 1 000¡x
f(x) 51x 1 000
95 (1 000¡x) 1 000
f(x) 51x 1 000
95 (1 000¡x) 1 000
51x+ 95 000¡95x 1 000
- 44x+ 95 000
1 000 - 0,044x+ 95 f(x) m x+p m - 0,044 p 95
f
3 f(x)
65 65
- 0,044x+ 95 65 - 0,044x 65¡95 - 0,044x - 30 x 30
0,044 682 318 1 000¡682
682 318
