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complexes par approches multi-échelle
Achraf Cohen
To cite this version:
Achraf Cohen. Détection et diagnostic des fautes dans des systèmes complexes par approches
multi-échelle. Ingénierie assistée par ordinateur. Université d’Angers, 2015. Français. �NNT :
ThŁse de Doctorat
Achraf
COHEN
MØmoire prØsentØ en vue de l’obtention du
grade de Docteur de l’UniversitØ d’Angers
sous le label de l’UniversitØ de Nantes Angers Le Mans Discipline : Sciences de l’ingØnieur
Laboratoire : Laboratoire Angevin de Recherche en IngØnierie des SystŁmes (LARIS) Soutenue le 02 dØcembre 2015
cole doctorale : Sciences et Technologies de l’Information et MathØmatiques (STIM, 503) ThŁse n : 78152
DØtection et diagnostic des fautes dans des
systŁmes complexes par approches
multi-Øchelle
JURY
Rapporteurs : M. Dimitri LEFEBVRE, Professeur des universitØs, UniversitØ du Havre, GREAH
M. Abdelhak E ZZINE, Professeur habilitØ, ENSA de Tanger, LabTIC
Examinateurs : M. FrØdØric KRATZ, Professeur des universitØs, INSA-Centre Val de Loire, PRISME
M. Laurent A UTRIQUE, Professeur des universitØs, UniversitØ d’Angers, LARIS
Directeur de thŁse : M. Abdessamad K OBI, Professeur des universitØs, UniversitØ d’Angers, LARIS
Table des matiŁres
Table des matiŁres 3
Remerciements 5
Acronymes 7
1 Introduction 9
1.1 Surveillance base de donnØes . . . 11
1.1.1 MØthodes non-supervisØes . . . 11
1.1.2 MØthodes supervisØes . . . 13
1.1.3 MØthodes base de traitement du signal . . . 14
1.2 ProblØmatique . . . 16
2 Surveillance multi-Øchelle des processus 19 2.1 Introduction . . . 19
2.2 Ondelettes . . . 20
2.2.1 TransformØe en Ondelettes Continues (TOC) . . . 21
2.2.2 TransformØe en Ondelettes DiscrŁtes (TOD) . . . 22
2.3 Approches multi-Øchelle de surveillance . . . 24
2.3.1 Approches combinant les mØthodes statistiques et la dØ-composition multi-Øchelle . . . 27
2.3.2 Approches temps-frØquence pour la dØtection et le diagnostic 29 2.4 Conclusion . . . 31
3 Distribution statistique des coefcients d’ondelettes 33 3.1 Introduction . . . 33
3.2 Cas d’observations I.I.D Gaussiennes . . . 33
3.3 Cas d’observations non-Gaussiennes . . . 37
3.4 Cas d’observations autocorrØlØes : le modŁle AR(1) . . . 63
3.5 Conclusion . . . 73
4 Surveillance base des coefcients d’ondelettes 75 4.1 Introduction . . . 75
4.2 DØtection de changement de moyenne . . . 76
4.2.1 La carte de contrle . . . 78
4.2.2 La carte de contrle . . . 82
4.3 DØtection de changement de variance . . . 87
4.3.1 La carte de contrle . . . 87
4.3.2 Application au Tennessee Eastman Process . . . 91
4.4 DØtection de changement de moyenne et variance . . . 94 3
4.5 DØtection de l’instant de changement de moyenne . . . 103
4.5.1 MØthode pour la dØtection de l’instant de change-ment de moyenne . . . 104
4.5.2 Application aux segments de piston . . . 108
4.6 DØtection de changement dans le vecteur des moyennes . . . 109
4.6.1 La carte de contrle directionnelle. . . 110
4.6.2 La carte de contrle directionnelle . 115 4.7 Plan d’expØriences et les ondelettes . . . 117
4.8 Conclusion . . . 121
5 Conclusion gØnØrale et perspectives 123
Liste des tableaux 127
Table des gures 131
Annexes 135
Remerciements
Mes remerciements s’adressent Monsieur Abdessamad KOBI qui m’a ouvert la voie de la recherche en m’accueillant au LASQUO (actuellement LARIS). Il a dirigØ ce travail avec une grande motivation. Je lui exprime mes sincŁres et cordiales remerciements.
Je tiens remercier vivement Monsieur Teodor TIPLICAde m’avoir donnØ les clØs pour accØder au monde des statistiques, notamment la Matrise Statistique des ProcØdØs (MSP). Ses conseils judicieux m’ont renforcØ et motivØ tout au long de ces trois ans de thŁse. Sans oublier sa grande disponibilitØ et sa perspicacitØ, il me recevait dans son bureau chaque fois que j’en avais besoin. Merci !
Je tiens Øgalement remercier Monsieur FrØdØric KRATZ, Professeur des
uni-versitØs l’INSA-centre Val de Loire, d’avoir acceptØ de prØsider le jury de ma thŁse, et ainsi juger et examiner ce travail.
J’adresse mes remerciements Monsieur Dimitri LEFEBVRE, Professeur des universitØs l’UniversitØ du Havre, d’avoir acceptØ d’Œtre parmi les membres du jury en qualitØ de rapporteur.
Mes remerciements s’adressent Monsieur Abdelhak EZZINE, Professeur habi-litØ l’ENSA-Tanger, d’avoir acceptØ de juger ce travail de recherche, en quahabi-litØ de rapporteur. Je lui exprime mes sincŁres reconnaissances de m’avoir aidØ dØcouvrir le monde de la recherche au cours de ma formation d’ingØnieur l’ENSAT.
Je tiens remercier Monsieur Laurent AUTRIQUE, Professeur des universitØs l’UniversitØ d’Angers, d’avoir acceptØ de juger ce travail de recherche, en qualitØ d’examinateur.
J’adresse ma cordialitØ aux collŁgues du bureau : Ibrahim, Khadim, Amine, Alejandro, Fally, Khaoula... sans oublier les membres du LARIS et le personnel de l’ISTIA. Merci pour les moments agrØables que l’on a partagØs durant ces trois ans.
Un immense merci ma chŁre famille pour son soutien permanent et important. Je ne pourrais jamais assez la remercier.
Merci tous !
Acronymes
ACP : Analyse en Composantes Principales ACI : Analyse en Composantes IndØpendantes ADF : Analyse Discriminante de Fisher AMR : Analyse Multi-RØsolution
AR : AutoRegressive
ARIMA : AutoRegressive Integrated Moving Average ARL : Average Run Length
BiWave : Biorthogonal Wavelet Coif : Coiets
CoWave : Continuous Wavelet
CSTR : Continuous ow Stirred-Tank Reactor CUSUM : CUmulative SUM
db : Daubechies DeWave : Details Wavelets
ECG : lectroCardioGraphie EEG : lectroEncØphaloGraphie EMG : lectroMyoGraphie
EWMA : Exponential Weighted Moving Average FA : Fonction d’AutocorrØlation
FDI : Fault Detection and Isolation
FNAD : Filtrage NumØrique et Analyse Discrimante FWT : Fast Wavelet Transform
MCUSUM : Multivariate CUmulative SUM
MEWMA : Multivariate Exponential Weighted Moving Average MSP : Matrise Statistique des ProcØdØs
MSPCA : MultiScale Principal Component Analysis
NTIC : Nouvelles Technologies de l’Information et de la Communication OWave : Orthogonal Wavelets
PEX : Plan d’EXpØriences PF : ParamŁtres Fixes
POM : PØriode OpØrationnelle Moyenne PV : ParamŁtres Variables
RB : RØseaux BayØsiens
RMCP : RØgression aux Moindres CarrØs Partiels RN : RØseaux de Neurones
TEP : Tennessee Eastman Process
TOC : TransformØe en Ondelettes Continues TOD : TransformØe en Ondelettes DiscrŁtes SDPO : Standard Deviation PØriode OpØrationnelle
SPRT : Sequential Probability Ratio Test Sym : Symlets
WWP : Waste Water Process
1
Introduction
Essentially, all models are wrong, but some are useful. (GEORGE E. P. BOX)
Dans un contexte de mondialisation et de forte compØtitivitØ, l’automation et la ro-botisation industrielle sont devenues une nØcessitØ stratØgique et commerciale pour de nombreuses organisations. Aujourd’hui, une entreprise qui met en place un sys-tŁme automatisØ peut devancer ses concurrents rapidement et fortement, car avec ces systŁmes les entreprises gardent leur productivitØ constante malgrØ l’indisponi-bilitØ ou la rØduction de leurs employØs, tout en prØservant aussi la qualitØ requise. NØanmoins, la forte automation et robotisation industrielle peuvent engendrer des charges supplØmentaires de maintenance et de supervision an de garantir leur bon fonctionnement, et par consØquent rajouter plus de complexitØ au systŁme global.
Aujourd’hui, cette notion de "complexitØ" peut se dØcliner plusieurs niveaux et revŒtir des connotations diffØrentes suivant l’angle sous lequel on analyse le sys-tŁme. Souvent cette notion est associØe "la science de la complexitØ" ou de "la perplexitØ"Li et al.(2004). En effet, un systŁme est gØnØralement appelØ complexe s’il dØcrit des phØnomŁnes compliquØs qui sont difciles apprØhender. Cette com-plexitØ se manifeste dans : la nature des donnØes sur le plan frØquentiel et temporel, le grand nombre d’entitØs qui constituent le systŁme et le degrØ d’interaction et de communication entre les diffØrents composants du systŁme dans la mesure oø nous ne pouvons pas dØcrire et analyser le systŁme sans prendre en compte cette interaction. Par exemple, la plupart des processus chimiques sont caractØrisØs par
la non-linØaritØ, le non-Øquilibre et ils sont de nature multi-Øchelle Li and Kwauk
(2003);Charpentier and McKenna(2004). Par consØquent, ces processus sont
qua-liØs comme Øtant complexes.
Plusieurs recherches ont ØtØ menØes pour explorer et Øtudier les systŁmes com-9
plexes, surtout par le biais des mØthodologies multi-Øchelle qui permettent de les dØcrire sur plusieurs Øchelles (micro, macro, etc.) tout en prenant en compte l’in-teraction entre les Øchelles, ou parfois rØduire la comprØhension du systŁme une Øchelle prØcise, (voirLucia(2010)). En ce qui concerne des exemples des systŁmes complexes, on peut trouver des benchmarks dans la littØrature, par exemple «
Ten-nessee Eastman Process » Downs and Vogel (1993) et « WasteWater Process »
Fragkoulis et al.(2011).
Il est Øvident que l’augmentation de la complexitØ des systŁmes ne pouvait pas s’opØrer sans laisser des traces au niveau des mØthodes de surveillance. En effet, lors de l’interaction avec leur environnement, ces systŁmes sont trŁs souvent im-pactØs par des perturbations qui se greffent leur mode de bon fonctionnement. Suivant la complexitØ de ces perturbations, l’opØrateur est trŁs souvent en difcultØ de savoir ce qui s’est rØellement passØ. Par consØquent, il lui est difcile de prendre les bonnes dØcisions pour le pilotage du systŁme. Par exemple, les fautes peuvent se manifester plusieurs Øchelles dans le temps et la frØquence. En plus, la nature des donnØes (prØsence de l’auto-corrØlation ou de la non-normalitØ) peut aussi poser des problŁmes de modØlisation. De ce fait, la surveillance des systŁmes est devenue une tche de plus en plus compliquØe, et en mŒme temps un axe prometteur de re-cherche pour les scientiques.Venkatasubramanian(2005) retrace les challenges et les opportunitØs pour la surveillance des systŁmes complexes.
InØluctablement, les systŁmes complexes sont affectØs par des fautes. Dans ce contexte, ce que l’on entend par "perturbation" ou "faute" voire par "cause assi-gnable" c’est gØnØralement une dØrive inacceptable d’une ou plusieurs caractØris-tiques (variables) du processus. La dØrive est dØtectØe en se rØfØrant l’Øtat normal ou standard du processus. Toutefois, une faute peut produire une panne voire un
dØfaut de fonctionnement ou une dØfaillance du systŁme.Isermann(2006) prØsente
une panoplie d’exemples des systŁmes simples avec leurs pannes ou leurs dØfauts de fonctionnement.
Au vu des aspects prØcØdemment mentionnØs, il est nØcessaire de mettre en uvre des approches de surveillance plus adaptØes au ux d’information chan-geante et la dynamique des systŁmes. Par surveillance on distingue gØnØralement : la dØtectionqui permet de rØvØler la prØsence ou non de la faute ;le diagnostic qui
consiste classier et identier la faute pour dØnir sa nature et son origine ; la
reconguration qui permet de pallier et corriger la faute. Ces modŁles de
fonction-nement peuvent Œtre dØnis partir des donnØes historiques Venkatasubramanian
et al.(2003a), de la connaissance et du savoir-faire d’experts
Venkatasubrama-nian et al.(2003b) et des modŁles analytiques Venkatasubramanian et al.(2003c).
Voir aussiChiang et al.(2001);Patton et al.(2013);Patton and Chen(1997). Bien Øvidemment, la meilleure faon de mettre en place une stratØgie de sur-veillance est d’exploiter les trois approches ( base de donnØes historiques, base
de modŁles analytiques, et base de connaissance), car toute description du systŁme apporte une information utile et renforce la matrise et le contrle du systŁme. Tou-tefois, le coßt, les contraintes techniques et les spØcicitØs du systŁme surveiller, conduisent trŁs souvent privilØgier une parmi les trois approches mentionnØes prØ-cØdemment.
Dans cette thŁse nous nous focalisons sur les mØthodes base de donnØes, au sein de la communautØ scientique dite en anglais : data-driven Fault Detection and Isolation (FDI). La particularitØ de nos travaux, portant sur la surveillance multi-Øchelle, rØside dans le fait que nous nous plaons la conuence des approches sta-tistiques et de traitement du signal, notamment les ondelettes. Ainsi, nous gardons aux approches statistiques de contrle l’ambition de dØtecter des fautes au plus vite possible, et aux approches de traitement du signal la souplesse et l’adØquation par rapport l’objectif de mettre en exergue des fautes plus complexes.
Dans la suite de ce paragraphe introductif, nous faisons un rapide survol des mØthodes base de donnØes, en mettant en Øvidence leurs spØcicitØs ainsi que les diffØrents outils en rapport avec la surveillance des systŁmes.
1.1 Surveillance base de donnØes
Ces techniques reposent sur les donnØes historiques des systŁmes pour Ølaborer des modŁles statistiques de contrle. Le systŁme est modØlisØ comme une bote noire avec des donnØes d’entrØe et sortie, voir la gure 1.1. Dans ce contexte, les approches statistiques peuvent Œtre catØgorisØes selon quatre critŁres : uni-variØes, multi-variØes, supervisØes et non-supervisØes.
1.1.1 MØthodes non-supervisØes
Ces approches n’intŁgrent aucune information a priori sur les fautes affectant le
processus. La Matrise Statistique des ProcØdØs (MSP)Montgomery(2005) en fait
partie. Elle couvre un ensemble des mØthodes permettant le pilotage et le contrle des procØdØs industriels par le biais des outils comme les cartes de contrle.
Les cartes de contrle permettent de dØtecter les fautes (appelØes aussi causes spØciales / assignables) dans un procØdØ de production, et ainsi rØduire la produc-tion des produits non conformes. Les performances de ces cartes sont gØnØralement ØvaluØes par le nombre moyen des Øchantillons/produits nØcessaires pour dØtecter une cause assignable. Cet indicateur est appelØ PØriode OpØrationnelle Moyenne (POM) et traduit la rapiditØ de la dØtection de la carte (en anglais Average Run Length (ARL)). Les premiers schØmas de contrle sont apparus en 1925,
propo-sØs parShewhart(1925)(Moyennes-tendues, Moyennes-carts-types). Ensuite, les
FIGURE1.1 Surveillance d’un processus base de donnØes
Lucas and Saccucci(1990) et somme cumulØe (CUSUM)Page(1954) ont ØtØ
pro-posØes. Ces derniŁres sont plus sensibles aux petites variations.Tiplica et al.(2005) ont proposØ une carte de contrle base des coefcients de Fourier. Plus rØcemment, on constate l’emergence des cartes de contrle adaptatives dont les paramŁtres de la carte sont variables (taille de l’Øchantillon, intervalle d’Øchantillonnage, coef-cient de la limite de contrle), pour plus de dØtails voirDe Magalhªes et al.(2001);
Reynolds et al. (1988); Bai and Lee (1998); Annadi et al. (1995); Zimmer et al.
(2000);Tiplica (2012). Ces cartes de contrle sont globalement plus performantes
que celles paramŁtres xes.
D’autre part, les cartes de contrle multi-variØes permettent de prendre en compte les corrØlations entre les variables, et ainsi surveiller les processus plusieurs
va-riables. On note les extensions de certaines cartes uni-variØes savoir : de
Ho-telling(1947), MEWMALowry et al.(1992) et MCUSUMCrosier(1988).
L’inconvØnient majeur des outils multi-variØs prØsentØs prØcØdemment rØside dans la rØduction de leur efcacitØ au fur et mesure que le nombre de variables surveillØes augmente. Pour remØdier cet inconvØnient, une solution possible est l’exploitation des techniques de projection de donnØes consistant, entre autres, rØduire la dimension de donnØes pour aboutir un espace rØduit et reprØsentatif de la variation de donnØes. On Øvoque les mØthodes les plus utilisØes :
L’Analyse en Composantes Principales (ACP)Chiang et al.(2001);Jolliffe
(2002)
L’Analyse en Composantes IndØpendantes (ACI)Hyvarinen and Oja(2000) Plusieurs formes et extensions de ces techniques ont ØtØ dØveloppØes pour rØ-pondre aux contraintes rØelles des procØdØs, comme par exemple ACP-dynamique, ACP-moving et etc., voir la table1.1et la gure1.2.
Des recherches ont ØtØ menØes pour comparer ces diffØrentes techniques et mettre en lumiŁre leurs avantages et inconvØnients (Venkatasubramanian et al.(2003a);
Qin (2012); Wise and Gallagher (1996); Yin et al.(2012); Ajami and Daneshvar
(2012);Ding et al.(2009)).
TABLE1.1 MØthodes multi-variØes pour la surveillance des processus
Nature des procØdØs MØthodes RØfØrences
Dynamique ACP-Dynamique Ku et al.(1995);Chow et al.(1999)
Mesures auto-corrØlØes ACP-moving Kano et al.(2002b)
La non-linØaritØ Kernel-ACP Cho et al.(2005)
Surveillance par lot (Batch) Multi-voies ACP Nomikos and MacGregor(1994)
Multi-block RMCP Wise and Gallagher(1996)
DonnØes non-Gaussiennes ACI Lee et al.(2004)
1.1.2 MØthodes supervisØes
Ces approches sont aussi utilisØes pour faire de la dØtection et du diagnostic des fautes. Une liste non-exhaustive des techniques les plus utilisØes est donnØe ci-dessous :
Analyse Discriminante de Fisher (ADF)Chiang et al.(2001)
Les RØseaux de Neurones (RN)Venkatasubramanian et al.(2003a)
Les RØseaux BayØsiens (RB)Verron(2007);Verron et al.(2010)
DansChiang et al.(2000) les auteurs ont montrØ la supØrioritØ de l’analyse
dis-criminante de Fisher (ADF) par rapport aux mØthodes : ACP et RMCP, en termes de diagnostic.Tiplica et al.(2003) ont proposØ une mØthodologie «en-ligne» de sur-veillance en combinant le Filtrage NumØrique et l’Analyse Discriminante «FNAD». L’article deLeger et al.(1998) explore une combinaison de la carte de contrle CU-SUM et les rØseaux de neurones, les rØsultats montrent l’efcacitØ de cette combi-naison en termes de dØtection. Trois diffØrentes structures de surveillance reposant sur les rØseaux de neurones ont ØtØ prØsentØes dansZhou et al.(2003), ceci en explo-rant une application sur deux processus, l’un de polymØrisation (par lot) et l’autre de distillation. En outre, on trouve l’utilisation des rØseaux de neurones dans l’indus-trie chimiqueRuiz et al.(2001). D’autres applications dans l’industrie alimentaire
ont utilisØ les rØseaux de neurones pour la surveillance Linko and Linko (1998).
L’utilisation des rØseaux BayØsiens pour modØliser un organe de surveillance, en combinant les cartes de contrle et l’analyse discriminante dans le mŒme rØseau BayØsien a ØtØ l’objet des travaux deVerron(2007);Verron et al.(2010).
FIGURE 1.2 Approches de surveillance base de donnØes
En ce qui concerne la sØlection du nombre de composantes principales de l’ACP, plusieurs mØthodes existent : la rŁgle de Kaiser, le test d’accumulation des va-riances, l’analyse parallŁle, la validation croisØeDinno(2014);Eastment and
Krza-nowski (1982). Une difcultØ majeure lors de l’exploitation des cartes de contrle
multi-variØes rØside dans le fait qu’il est difcile de savoir ce qui s’est rØellement passØ quand une faute est dØtectØe. Des techniques ont ØtØ proposØes pour identier
la variable qui a engendrØ la faute, notamment la dØcomposition MYTMason et al.
(1995) utilisØe pour interprØter la carte . Une autre technique de diagnostic est
l’utilisation des graphes de contributions pour les statistiques et Westerhuis
et al. (2000); Bersimis et al.(2005). Une approche exploitant la densitØ de
proba-bilitØ jointe des deux statistiques et a ØtØ proposØe aussi dans l’article Chen
et al.(2004).
Toutes les mØthodes mentionnØes prØcØdemment se focalisent sur la surveillance des signaux au cours du temps. Elles nØgligent l’Øvolution frØquentielle des si-gnaux. Les techniques FDI base de traitement des signaux permettent de prendre en compte cet aspect, notamment via les dØcompositions multi-Øchelle par l’ana-lyse en ondelettes. Dans le paragraphe suivant nous prØsentons trŁs briŁvement les grandes approches tout en mettant l’accent sur les techniques multi-Øchelle pour la surveillance des systŁmes.
1.1.3 MØthodes base de traitement du signal
Aujourd’hui les capteurs sont prØsents dans tout type d’industrie et permettent de mesurer diffØrentes grandeurs physiques : le son, la tempØrature, la pression, la lumiŁre, le niveau, les contraintes, etc. Ces signaux issus des capteurs sont traitØs
pour extraire des informations utiles pour la surveillance des systŁmes.
Diverses approches de traitement des signaux sont proposØes. Parmi les plus utilisØes on cite :
L’analyse multi-Øchelle: cette approche permet de reprØsenter les signaux diffØrentes Øchelles. On entend ici par "Øchelle", l’Øchelle temporelle qui est inversement proportionnelle la frØquence. Des grandes Øchelles permettent de dØcrire l’information contenue dans les basses frØquences. En revanche, les hautes frØquences sont dØcrites dans les basses Øchelles (nes) de la dØ-composition. Ces techniques ont ØtØ exploitØes pour extraire des caractØris-tiques primitives des signaux, segmentation des signaux, caractØrisation des fautes sur diffØrentes Øchelles, etc. Dans la littØrature, il existe deux
tech-niques pour faire un traitement multi-Øchelle : les ondelettes Gao and Yan
(2010);Mallat(1999);Misiti et al.(1996) (voir la gure1.3), et la
dØcompo-sition modale empirique Ricci and Pennacchi(2011);Meignen and Perrier
(2007);Huang et al.(1998).
Les reprØsentations temps-frØquencepermettent de mettre en lumiŁre sur le mŒme plan des caractØristiques temporelles et frØquentielles des signaux. Ces approches sont surtout utilisØes lorsque l’on possŁde des informations a priori sur les bandes de frØquences oø les fautes peuvent se manifester. Il existe deux types de reprØsentations temps-frØquence : linØaires (Ondelettes, Fourier court terme, etc.) et quadratiques (Wigner-Ville, Classe de Cohen, etc.). Ces derniŁres sont plus performantes que les premiŁres en termes de la rØsolution temps-frØquence. En revanche, elles souffrent des problŁmes des interfØrences entre composantes frØquentielles. Voir plus de dØtails dans ces rØfØrencesFlandrin(1993);Cohen(1989);Akay(1998);Feng et al.(2013);
Lebaroud and Clerc (2008); Baydar and Ball (2001). Ces techniques sont
aussi capables de traiter les signaux non-stationnaires.
L’analyse spectrale est un outil qui permet de mettre en exergue les frØ-quences contenues dans le signal. l’opposØ des approches basØes sur les reprØsentations temps-frØquence, l’analyse spectrale ne maintient pas l’in-formation "temps". Autrement dit, la prØsence d’une composante frØquen-tielle peut Œtre dØtectØe, mais aucune information sur l’instant d’apparition n’est disponible. Les transformØes de Fourier et Hilbert sont les plus utili-sØes. Ces techniques sont performantes pour les signaux stationnaires. Pour plus de dØtails voirDavy and Godsill(2002);Rgeai et al.(2010);Eltabach
et al.(2004);Yan and Gao(2006).
L’utilisation des ondelettes comme un outil de traitement du signal pour la sur-veillance des systŁmes commence occuper, depuis une dØcennie, une place de plus en plus importante dans la littØrature, spØcialement pour la surveillance des machines-outils (palier, boite vitesse, fraiseuse, etc.)Gao and Yan(2010);Kankar
et al.(2013).
Dans le cadre de la matrise statistique des procØdØs multi-variØs, les ondelettes ont offert aux mØthodes statistiques des nouveaux outils de prØ-traitement de don-nØes, par exemple, l’association des ondelettes et de l’analyse en composantes prin-cipales s’est avØrØe un "mariage" qui a portØ ses fruits.
Dans le chapitre suivant une Øtude bibliographique est consacrØe aux mØthodes multi-Øchelle de surveillance (ondelettes + statistiques) (voir la gure1.3).
FIGURE 1.3 Approches multi-Øhelle de surveillance basØes sur le traitement du
signal
1.2 ProblØmatique
Dans cette thŁse qui s’inscrit dans le contexte particulier du contrle des pro-cessus, nous avons associØ les techniques d’ondelettes et celles de la Matrise Sta-tistique des ProcØdØs (MSP). Nos travaux rØpondent un impØratif (verrou) majeur dans ce domaine qui peut se rØsumer comme suit :comment dØtecter le plus efcace-ment possible (en un minimum d’Øchantillons) une faute se manifestant plusieurs Øchelles de temps et frØquence ?
l’opposØ de la majoritØ des mØthodes proposØes, dans le cadre de la sur-veillance multi-Øchelle qui utilisent des indicateurs de performance comme le taux d’observations bien classØes, le taux des observations mal classØes, le taux de faux positifs, le taux de faux nØgatifs, etc., nous avons adoptØ des indicateurs de type PØriode OpØrationnelle Moyenne (POM) plus couramment utilisØs en MSP.
Par ailleurs, aborder ce "dØ" particulier nous a conduit nous attaquer un autre problŁme dØlicat : comment utiliser des techniques de traitement du signal traditionnellement employØes quand le volume de donnØes est consØquent (larges
fenŒtres) pour la dØtection de fautes le plus rapidement possible (fenŒtres de taille rØduite) ? Tout cela nous a conduit Øtudier une problØmatique trŁs peu abordØe dans la littØrature, qui consiste allier des approches qui sont premiŁre vue in-compatibles. Il s’agit de proposer une solution pour l’amØlioration de la dØtection des fautes qui est abordØe dans une optique trŁs orientØe vers la MSP, mais avec des outils de traitement du signal (ondelettes, dØcomposition multi-Øchelle, etc.). De ce fait, nous nous sommes focalisØs, dans cette thŁse, sur le comportement statistique des coefcients d’ondelettes, ainsi que leurs caractØristiques distributionnelles.
Ce mØmoire est organisØ comme suit : le deuxiŁme chapitre prØsente un Øtat de l’art sur la dØtection et le diagnostic de fautes base de donnØes. L’accent est mis sur la surveillance multi-Øchelle issue de l’association des mØthodes statistiques et des ondelettes. Le troisiŁme chapitre prØsente nos contributions portant sur la dis-tribution des coefcients d’ondelettes. Dans le quatriŁme chapitre, nous prØsentons nos travaux liØs la surveillance base des coefcients d’ondelettes, notamment la dØtection de changements de moyenne, et/ou de variance. Des Øquivalences entre les transformations en ondelettes et les techniques de contrle statistique sont aussi proposØes. Finalement, une conclusion gØnØrale et des perspectives sont prØsentØes.
2
Surveillance multi-Øchelle des
processus
2.1 Introduction
Les mØthodes de surveillance base de donnØes (data-driven FDI : Fault De-tection and Isolation) couvrent diverses techniques d’analyse de donnØes pour re-prØsenter, dØcrire et caractØriser les signaux issus des systŁmes, et ainsi concevoir des modŁles de surveillance. Il faut noter que l’essor des Nouvelles Technologies de l’Information et de la Communication (NTIC) a permis d’exploiter un grand vo-lume de donnØes disponibles au prot d’Ølaboration des modŁles robustes pour une surveillance "en-ligne".
Il existe deux techniques de traitement du signal permettant de faire un
traite-ment multi-Øchelle des donnØes : les ondelettes (voir la section 2.2) et la
dØcom-position modale empirique Huang et al. (1998); Meignen and Perrier (2007).
l’heure actuelle les mØthodes de surveillance multi-Øchelle sont issues globalement des combinaisons des techniques statistiques et les ondelettes2.2.
Dans ce chapitre, nous exposons un Øtat de l’art sur la surveillance des proces-sus base des mØthodes statistiques et des outils de traitement des signaux multi-Øchelle, en l’occurrence les ondelettes.
Avant de dØvelopper cette Øtude bibliographique nous introduisons briŁvement quelques dØnitions et notions des ondelettes, qui sont utiles pour le dØveloppement et la suite de ce mØmoire.
2.2 Ondelettes
Le point de dØpart de la thØorie des ondelettes est marquØ par les travaux de Jean Morlet vers 1983. En effet, il a inventØ les fonctions dites d’ondelettes pour traiter les signaux sismiques dans le cadre de son travail de gØophysicien. DŁs lors, les travaux de recherche se sont multipliØs pour Ølaborer la thØorie des ondelettes. On peut citer Alex Grosmann et Yves Meyer pour leurs contributions capitales aux fondements mathØmatiques des ondelettes. Une excellente introduction au sujet des ondelettes est prØsentØe parHubbard(1995).
La meilleure faon d’introduire les ondelettes est de passer par l’analyse de Fou-rier. En effet, la transformØe de Fourier est une dØcomposition d’un signal dans une base sinusodale. Chaque sinusode correspond une frØquence donnØe et pondØ-rØe par des coefcients, dits coefcients de Fourier. Par analogie, la transformØe en ondelettes est une dØcomposition dans les bases d’ondelettesDaubechies(1988,
1992); Cohen et al. (1992); Meyer(1993). L’avantage de cette dØcomposition est
que la taille de la fenŒtre d’analyse (ondelette mŁre) est variable. Chaque dilata-tion ou compression de l’ondelette mŁre donne naissance une Øchelle. Chacune des Øchelles est composØe de coefcients, dits coefcients d’ondelettes. Ils reprØ-sentent le signal sur diffØrentes Øchelles (dØcomposition multi-Øchelle). En outre, la transformØe en ondelettes conserve l’information temporelle l’encontre de la transformØe de Fourier, engendrant ainsi une reprØsentation 2D : temps-Øchelle. Voir la gure2.1.
FIGURE2.1 Plan temps-Øchelle de la transformØe en ondelettes
La thØorie de la multi-rØsolution/multi-Øchelle dØveloppØe parMallat(1989) a
mis en exergue le lien entre les bases orthogonales d’ondelettes et les bancs de ltres utilisØs dØj dans le traitement du signal. Ces travaux ont donnØ naissance l’algorithme d’implØmentation des transformations en ondelettes rapides. En consØ-quence les applications base d’ondelettes ont pris leur plein essor, en particulier en traitement d’images. Plusieurs bases d’ondelettes discrŁtes support compact
existent et sont gØnØralement regroupØes par familles : Haar (1910), Daubechies,
Coiet, Symlet et Biorthogonales Daubechies(1992) (voir l’annexe 5). De mŒme
pour les ondelettes continues sont proposØes : l’ondelette de Morlet, l’ondelette Gaussienne, etc.Mallat(1999).
Aujourd’hui, les ondelettes sont utilisØes dans divers domaines d’applications : JPEG 2000, l’algorithme WSQ (Wavelet Scalar Quantization) de compression d’im-ages d’empreinte digitale Bradley et al. (1993), localisation temps-frØquence des signauxDaubechies(1990), l’industrie manufacturiŁreGao and Yan(2010), statis-tiqueAbramovich et al.(2000). Pour plus de dØtails voirMisiti et al.(2003,1996). MathØmatiquement, une ondelette est une fonction de carrØ sommable sur l’es-pace euclidien R R , le plus souvent oscillante et de moyenne nulle l’encontre par exemple d’une onde sinusodale, voir la gure 2.2. Elle satisfait la condition d’admissibilitØ suivanteMallat(1999) :
(2.1)
reprØsente la transformØe de Fourier de l’ondelette .
FIGURE2.2 ReprØsentation d’une onde sinusodale et l’ondelette de Morlet
Deux types de transformations en ondelettes ont ØtØ proposØs dans la littØrature : la transformØe en ondelettes continues et la transformØe en ondelettes discrŁtes. Elles seront briŁvement dØcrites ci-aprŁs.
2.2.1 TransformØe en Ondelettes Continues (TOC)
La transformØe en ondelettes continues est dØnie comme suit :Oø : * symbolise le conjuguØ de l’ondelette mŁre , s reprØsente l’Øchelle et
est le paramŁtre de localisation. reprØsente le signal.
Les coefcients d’ondelettes de la TOC sont calculØs par le produit de convolution entre le signal et l’ondelette. Celle-ci est ØtirØe ou comprimØe dans chaque Øchelle en fonction de la valeur de s. Le paramŁtre de localisation varie de faon continue pour balayer le signal. La transformØe en ondelettes continues est une transformØe redondante par le fait que l’ondelette parcourt tout le signal toutes les Øchelles (voir gure2.3).
FIGURE2.3 La transformØe en ondelettes continues
2.2.2 TransformØe en Ondelettes DiscrŁtes (TOD)
La transformØe en ondelettes discrŁtes est conue en discrØtisant les paramŁtres
d’Øchelle et de localisation . Les bases octaves sont gØnØralement utilisØesCohen
(1992);Gao and Yan(2010). Elles sont dØcrites comme suit :
(2.3)
Tels que and Z.
Ces bases d’ondelettes sont orthogonales et dØnies dans le cadre de la thØo-rie de la multi-rØsolution (Mallat(1989,1999)). L’algorithme de la transformØe en ondelettes rapide FWT (Fast Wavelet Transform) repose sur les ltres miroirs en quadratures (voir la gure2.4).
FIGURE2.4 DØcomposition multi-Øchelle par bancs de ltre
Les ltres et sont liØs respectivement la fonction d’Øchelle et
l’onde-lette. Les coefcients reprØsentent l’approximation et les coefcients de
dØtails. Ils sont dØnis pour chaque Øchelle comme suit :
(2.4) (2.5)
Tels que est le signal d’origine ; ; l : l’ordre du ltre ; : le
ltre de la fonction d’Øchelle et celui de l’ondelette, .
Dans la gure2.5, la transformØe en ondelettes discrŁtes, utilisant l’ondelette , est appliquØe sur le signal de la gure2.3. L’Øchelle maximale utilisØe est Øgale
5, et on voit clairement que le signal d’approximation reprØsente les basses
frØquences (grandes Øchelles), et pour les coefcients de dØtails , on
retrouve les grandes variations dans le signal, notamment dans les Øchelles nes (hautes frØquences).
De nos jours, la combinaison des ondelettes et les techniques statistiques de sur-veillance, couramment appelØe approches multi-Øchelle de sursur-veillance, a contribuØ au dØveloppement des nouvelles techniques de dØtection et diagnostic surtout pour la prise en compte efciente des caractØristiques complexes des systŁmes, telles que les fautes qui se manifestent diffØrentes Øchelles de temps et de frØquence. Dans le paragraphe suivant nous allons passer en revue ces diffØrentes techniques de surveillance multi-Øchelle.
FIGURE2.5 La transformØe en ondelettes discrŁtes
2.3 Approches multi-Øchelle de surveillance
Les techniques de surveillance uni-variØes et multi-variØes traditionnelles, telles
que les cartes de contrle , Moyennes mobiles, EWMA, CUSUM, , , etc.
sont des techniques mono-Øchelle, c’est--dire les ltres utilisØs par ces cartes ont des frØquences xes, et sont adaptØs extraire des caractØristiques dans le domaine temporel, voir la gure 2.6. En revanche, ils ne sont pas capables d’extraire des caractØristiques dans le domaine frØquentiel. Cet aspect est partiellement rØsolu par les mØthodes d’analyse spectrale qui comprennent des techniques telles que la trans-formØe de Fourier, la transtrans-formØe de Fourier court terme, et la densitØ spectrale de puissance. Toutefois, de nombreuses mØthodes spectrales reposent implicitement sur l’hypothŁse des signaux stationnaires. En consØquence, ces techniques spec-trales sont mal adaptØes aux signaux oø les frØquences changent au cours du temps et surtout lorsque ces frØquences peuvent Œtre utilisØes pour signaler l’apparition d’une faute.
Cependant, les mØthodes temps-frØquence, telles que les transformØes en onde-lettes ont gagnØ en popularitØ dans l’analyse des signaux stationnaires et non sta-tionnaires. Ces techniques fournissent une excellente localisation temps-frØquence
Daubechies (1990). Par consØquent, l’analyse multi-rØsolution par ondelettes
tempo-FIGURE 2.6 Les ltres utilisØs par quelques cartes de contrle en MSP Hunter
(1986)
rel et frØquentiel, et ainsi rØpondre aux besoins des systŁmes complexes pour traiter des signaux transitoires tout en localisant les frØquences caractØristiques avec une haute rØsolution. Par exemple un processus peut contenir plusieurs fautes qui se manifestent plusieurs Øchelles en temps et en frØquence, et au travers une ana-lyse temps-frØquence la discrimination entre ces fautes peut Œtre plus facile pour les
dØtecter. Dans la gure 2.7 quelques-uns parmi les modŁles statistiques de fautes
les plus utilisØs en MSP sont prØsentØs : le changement Øvolutif (ex. dØgradation), brusque (ex. dØfaillance) et irrØgulier (ex. perturbation). La dØcomposition temps-frØquence du signal rØsultant de la superposition des fautes prØsentØes dans la gure
2.7est donnØe dans la gure2.8. Cette reprØsentation permet de mieux caractØriser les fautes par leurs composantes frØquentielles en plus de leur localisation tempo-relle.
Les mØthodes de surveillance multi-Øchelle combinant les ondelettes et les sta-tistiques possŁdent des atouts intØressants pour amØliorer les performances de dØ-tection et diagnostic des fautes, notamment en matiŁre de traitement des caractØ-ristiques des systŁmes complexes, telles que la stationnaritØ et non-stationnaritØ, auto-corrØlation/corrØlation, linØaritØ et non linØaritØ, dØterministe et stochastique, Gaussien et non-GaussienGanesan et al.(2004). De ce fait, elles ont ØtØ largement appliquØes, dans plusieurs domaines industriels : industrie chimie et pØtrochimie, Ønergie et ØlectricitØ, eaux usØes, industrie alimentaire, biomØdicale et etc., et cela
FIGURE 2.7 ModŁles statistiques des fautesBakshi(1999)
FIGURE2.8 ReprØsentation temps-frØquence des fautes prØsentØes dans la gure
2.7 Bakshi(1999)
dans les cas uni-variØ et surtout multi-variØ.
si-gnal d’origine, seulement avec un nombre limitØ de coefcients, les techniques de seuillage des coefcients d’ondelettes ont permis de dØbruiter de faon garder le maximum d’information utile du signal d’origine. Dans la littØrature plusieurs mØ-thodes ont ØtØ proposØes dans ce sens, voirJeong et al.(2006);Wang et al.(2010);
Yang and Liao(2001).
2.3.1 Approches combinant les mØthodes statistiques et la
dØ-composition multi-Øchelle
Bakshi(1998) a proposØ une mØthodologie de surveillance multi-Øchelle. Cette
mØthodologie repose sur la surveillance des signaux reconstruits aprŁs le ltrage des coefcients d’ondelettes (voir la gure 2.9). Elle consiste combiner l’Ana-lyse en Composantes Principales et les ondelettes. En outre, cette mØthodologie permet de dØtecter des anomalies dans chaque Øchelle pour reconstruire les don-nØes juste en gardant les Øchelles signicatives (oø la dØtection s’est produite). L’auteur montre que les performances des approches multi-Øchelle en dØtection des
fautes sont supØrieures comparØes aux techniques classiques (mono-Øchelle).
Bak-shi (1999); Aradhye et al. (2003) ont examinØ les propriØtØs des ondelettes pour
la surveillance et montrent que les mØthodes multi-Øchelle ne sont pas aussi per-formantes que celles dØdiØes des changements prØcis. Cette mØthodologie utilise l’ondelette Haar et des Øtudes portant sur l’utilisation d’autres familles d’ondelettes sont nØcessaires commeAradhye et al.(2003) l’ont signalØ.
Kano et al. (2002b) ont comparØ plusieurs techniques : Mesure de
dissimili-tude (DISSIM) Kano et al. (2002a), ACP Multi-Øchelle (MS-PCA)Bakshi (1998)
et ACP mobile (Moving-PCA)Kano et al.(2002a). AppliquØes au Tennessee
East-man Process (TEP), les rØsultats montrent que la technique MS-PCA est meilleure que les mØthodes classiques dans certains cas de fautes et Øquivalente aux mØthodes classiques pour d’autres. Le pourcentage de dØtections correctes (abilitØ de
dØtec-tion) a ØtØ utilisØ comme indicateur de performance.Xuemin and Xiaogang(2008);
Choi et al.(2008) ont combinØ les ondelettes et la mØthode d’ACP noyau
(Kernel-PCA) pour proposer une mØthode multi-Øchelle non-linØaire de surveillance. Ap-pliquØe au TEP, les auteurs montrent que la mØthode multi-Øchelle est plus per-formance que l’ACP classique. Dans l’article de Lu et al.(2003), les auteurs ont associØ l’ACP avec l’analyse en ondelettes pour dØtecter les fautes dans les proces-sus suivants : Three Tank et Tennessee Eastman Process. Ils mettent l’accent sur l’intØrŒt de cette combinaison pour dØtecter les fautes ayant le mŒme comportement
temporel et des frØquences diffØrentes. Yoon and MacGregor (2004) ont proposØ
une approche multi-variØe en associant l’ACP et les ondelettes pour le diagnostic et l’isolation de fautes. AppliquØe au processus chimique CSTR (Continuous ow Stirred-Tank Reactor), ils montrent que l’analyse multi-Øchelle permet d’isoler des
fautes surtout lorsque la frØquence de la faute est localisØe, c’est--dire que la bande
de frØquence liØe la faute est bien connue a priori, voir aussi Reis and Saraiva
(2006b).
Lee et al. (2005) ont proposØ une mØthodologie de surveillance des
proces-sus par lot (Batch), en combinant la mØthode multi-way ACP Nomikos and
Mac-Gregor(1994) et les ondelettes. Ils montrent encore une fois l’intØrŒt de l’analyse
multi-Øchelle / multi-rØsolution pour l’amØlioration des techniques mono-Øchelle en termes de dØtection et diagnostic de fautes.Maulud et al.(2006) ont aussi proposØ une mØthode multi-Øchelle en combinant l’ACP et les ondelettes.
Toutes ces contributions montrent l’avantage des approches ACP-multi-Øchelle pour la surveillance des processus comparØe l’utilisation de l’ACP classique. Ces mØthodologies reposent principalement sur les atouts des ondelettes pourdØbrui-ter les donnØes et aussi pour y extraire des informations sur le plan temps-frØquence.
D’autres associations et utilisations d’ondelettes sont encore assez peu dØve-loppØes dans la littØrature comme par exemple la RØgression des Moindres CarrØs Partiels (RMCP) multi-Øchelle. Il s’agit d’associer les mØthodes de rØgression et les ondelettes. Le lecteur intØressØ peut consulter les rØfØrences suivantesTeppola and
Minkkinen(2000);Lee et al.(2009);Roodbali and Shahbazian(2011);Zhang and
Hu(2011).
Les approches de surveillance basØe sur les signaux de type proles Woodall
et al. (2004), notamment les techniques utilisØes pour le contrle des propriØtØs de
la surface des papiers (rugositØ et ondulation), ont ØtØ traitØes par des approches multi-Øchelle, voir aussi Reis and Saraiva(2006a);Chicken et al.(2009). Ces mØ-thodes exploitent le ltrage multi-Øchelle pour traiter et dØtecter des dØformations dans les proles. Le plan temps-Øchelle ou le Scalogramme pour la dØtection de fautes a ØtØ l’objet de l’article de Jeong et al. (2003). Les auteurs mettent en lu-miŁre les applications de cette technique pour la dØtection des fautes. En exploitant la transformØe en ondelettes et au travers une formule de seuillage des coefcients d’ondelettes, ils soulignent l’avantage de cette technique dans le cas oø le volume de donnØes est grand. De mŒme, l’analyse multi-Øchelle a ØtØ utilisØe pour extraire les caractØristiques de donnØes an de construire un classicateurLiu et al.(2010). Le but est d’Øtablir une technique de classication multi-Øchelle de fautes basØe sur la machine vecteurs de support et la transformØe en ondelettes, avec ou sans
rØ-duction de donnØes de types ACP et Kernel-Analyse Discriminante de Fisher.Jeong
et al.(2006) discutent les notions de rØduction de donnØes (rØduction de dimension)
et le dØ-bruitage (rØduction de l’erreur de modŁle), et proposent une technique de rØduction de donnØes en se basant sur les ondelettes. Une classication de fautes basØe sur la nouvelle technique de rØduction de donnØes a ØtØ rØalisØe. Les rØsul-tats ont montrØ une performance supØrieure de cette nouvelle approche de rØduction
de donnØes comparØe aux approches dites Shrinkage. Ces derniŁres sont des tech-niques de dØbruitage basØes sur le seuillage de coefcients d’ondelettes. Plusieurs
seuils ont ØtØ dØveloppØs : VisuShrinkDonoho and Johnstone(1994), RiskShrink et
SUREShrinkDonoho and Johnstone(1995);Donoho(1995), FirmShrinkGao et al.
(1997);Gao(1998). Les rØseaux d’ondelettes sont des rØseaux de neurones base des fonctions d’ondelettes. Dans le papier deAlexandridis and Zapranis(2013) un guide pratique sur les rØseaux d’ondelettes est proposØ. Les auteurs prØsentent les concepts des rØseaux d’ondelettes, les structures, les mØthodes d’apprentissage et sØlection de modŁles. Ils soulignent l’intØrŒt des fonctions d’ondelettes comparØes aux fonctions classiques (sigmodes) pour l’initialisation du rØseau et les perfor-mances des ondelettes pour l’estimation.
FIGURE 2.9 La mØthodologie MSP-Multi-Øchelle proposØe par Bakshi (1998) ;
X et reprØsentent les donnØes brutes et reconstruites ; et dØsignent la
transformØe et la transformØe inverse en ondelettes
2.3.2 Approches temps-frØquence pour la dØtection et le
diag-nostic
Les approches temps-frØquence (Flandrin(1993);Cohen(1989);Lebaroud and
Clerc(2008)) sont de plus en plus utilisØes pour la surveillance des systŁmes.Feng
et al.(2013) prØsentent les avancØes rØcentes des approches du diagnostic base des
mØthodes temps-frØquence, entre autres les ondelettes. Dans Kankar et al. (2013)
les ondelettes ont ØtØ utilisØes an d’extraire les caractØristiques des dØfauts liØs au roulements (extØrieurs, intØrieurs et billes). Ces caractØristiques ont ØtØ exploitØes an de classer les fautes par les rØseaux de neurones et les machines support de vecteurs.
Plusieurs techniques de surveillance des machines-outils ont ØtØ dØveloppØes
dØcomposition multi-Øchelle selon l’approche utilisØe pour le diagnostic : analyse temps-frØquence, extraction des caractØristiques, compression des signaux de
vi-brations, singularitØ Mallat and Hwang (1992); Mallat and Zhong (1992),
expo-sant de Lipschitz Hong et al. (2002), identications de paramŁtres et dØbruitage
des signaux. L’analyse multi-Øchelle a ØtØ exploitØe pour faire de la classication et l’identication de fautes dans les lignes de transmission. En exploitant le seuillage des coefcients d’ondelettes les auteurs ont pu caractØriser chacune des fautes affec-tant une ligne de transmission Chanda et al.(2005). Une technique de caractØrisa-tion et identicacaractØrisa-tion de l’intensitØ de la corrosion en utilisant les ondelettes, particu-liŁrement le plan temps-frØquence a ØtØ exploitØ pour localiser le type de corrosion dØtectØ au travers le signal du bruit Ølectrochimique. Cela a permis d’amØliorer la
surveillance des phØnomŁnes de bruit Ølectrochimique liØs la corrosionDai et al.
(2000);Wharton et al.(2003). Les ondelettes ont ØtØ aussi utilisØes pour la
segmen-tation des signaux contribuant la dØtection des phØnomŁnes transitoires. Pour cela
Ravier and Amblard(2001) ont proposØ une mØthode de dØtection combinant les
pa-quets d’ondelettes et les statistiques d’ordre supØrieur. Dans le domaine biomØdical les reprØsentations temps-frØquence par les ondelettes ont permis d’amØliorer plu-sieurs aspects, entre autres, l’analyse des signaux neurophysiologiques (EEC, ECG
et EMG), l’amØlioration et le dØbruitage des images (mammographie), voir Akay
(1998);Li et al.(1995). Sun and Meinl(2012) ont prØsentØ un algorithme basØ sur
la transformØe en ondelettes discrŁtes pour le traitement des donnØes nanciŁres hautes frØquences. AppliquØ la prØvision de la bourse allemande des valeurs mobiliŁres, les auteurs montrent la capacitØ des ondelettes exploiter ce type de donnØes. La caractØrisation du bruit de la cavitation par l’analyse temps-frØquence a ØtØ l’objet de l’article deHe and Liu(2011). Ils montrent que les ondelettes per-mettent de caractØriser ce type de bruit et ainsi surveiller le processus de cavitation. L’analyse des signaux de vibrations causØes par des dØfauts de roulements au
ni-veau du moteur induction a ØtØ rØalisØe au travers les packets d’ondelettes Zarei
and Poshtan(2007). Les auteurs notent la capacitØ de la mØthode proposØe dØtecter
l’imminence des fautes. Dans le papier deWang and McFadden(1996) les auteurs
mentionnent l’avantage de l’analyse temps-Øchelle pour la dØtection de fautes affec-tant les engrenages. Ce problŁme a retenu l’attention de plusieurs auteurs (Fan and
Zuo(2006);Zheng et al.(2002)). Ils montrent chaque fois l’intØrŒt de l’utilisation
des ondelettes pour amØliorer la performance de surveillance.Yan et al.(2014) prØ-sentent un aperu bibliographique des mØthodes de diagnostic base d’ondelettes pour les machines rotatives. Les auteurs exposent les diffØrentes applications pour chaque transformation : la transformØe en ondelettes continues, discrŁtes, packet d’ondelettes et la deuxiŁme gØnØration d’ondelettes.
2.4 Conclusion
Les diffØrentes Øtudes proposØes dans la littØrature, et qui s’intØressent l’asso-ciation des techniques de surveillance statistiques et des ondelettes, se sont focali-sØes sur l’utilisation des ondelettes comme un outil de prØ-traitement de donnØes : dØ-bruitage, rØduction de donnØes et extraction des caractØristiques discriminantes. Ces recherches ont montrØ les atouts des ondelettes dans le contexte de la sur-veillance et du contrle des processus. Globalement les techniques de sursur-veillance multi-Øchelle ont des performances supØrieures aux mØthodes classiques.
Il faut noter que des Øtudes comparatives sont encore peu prØsentes dans la lit-tØrature, sauf celles concernant l’ACP multi-Øchelle. Au vu de la multitude des mØ-thodologies multi-Øchelle combinant les ondelettes et les statistiques il est important de noter qu’ ce jour il n’existe pas d’Øtudes de sensibilitØ permettant d’Øtudier les effets de chaque conguration/combinaison sur les performances en surveillance. Par ailleurs, il n’y a quasiment pas de travaux rØpertoriØs sur les performances des mØthodes multi-Øchelle ØvaluØes selon les critŁres de la matrise statistique des pro-cessus, notamment l’Øtude des performances base de la pØriode opØrationnelle moyenne (POM).
C’est une des raisons qui nous ont poussØs mener des recherches dans cette direction. Le travail rØalisØ dans le cadre de cette thŁse accorde une attention parti-culiŁre l’utilisation des ondelettes dans le contexte de la matrise statistiques des processus et l’analyse des performances via la PØriode OpØrationnelle Moyenne (POM)Cohen et al.(2015).
3
Distribution statistique des
coefcients d’ondelettes
3.1 Introduction
Dans ce chapitre nous prØsentons nos contributions qui portent sur l’Øtude du comportement statistique des coefcients d’ondelettes. Nous avons caractØrisØ la distribution statistique des coefcients d’ondelettes (approximations et dØtails) dans le cadre de l’analyse multi-rØsolution d’un processus Gaussien. En outre, nous avons effectuØ deux Øtudes portant sur les coefcients d’ondelettes dans les cas de l’autocorrØlation (le modŁle AR(1)) et la non-normalitØ des donnØes d’origine.
3.2 Cas d’observations I.I.D Gaussiennes
La matrise statistique des procØdØs par des cartes de contrle univariØes consiste piloter une seule caractØristique du systŁme. Par exemple dans le contrle statis-tique de la qualitØ, le diamŁtre ou le poids d’une piŁce peuvent faire l’objet d’une opØration de surveillance en utilisant une carte de contrle univariØe. Cette derniŁre comporte gØnØralement trois caractØristiques majeures : une ligne centrale qui dØ-nit la cible du procØdØ et deux limites de contrle sØparant la zone sous-contrle des deux rØgions hors-contrle. La construction d’une carte de contrle est alors basØe sur une statistique (indicateur) surveiller (ex. moyenne), et sa distribution statistique indispensable connatre pour la dØnition des limites de contrle.
Cependant, l’analyse multi-rØsolution/multi-Øchelle, voir la section2.2, permet 33
de dØcomposer un signal en le projetant dans plusieurs bases d’ondelettes. l’issue de cette dØcomposition on obtient les coefcients d’ondelettes qui reprØsentent le signal aux diffØrentes Øchelles. Si l’on veut construire des cartes de contrle en ex-ploitant ces coefcients, il va falloir rØpondre une question fondamentale : quelle est la distribution statistique des coefcients d’ondelettes ?
En effet, il existe des Øtudes qui notent que la distribution de la transformØe
en ondelettes d’un processus Gaussien est son tour Gaussienne Ganesan et al.
(2004). En revanche nous n’avons pas trouvØ dans la littØrature des prØcisions sur les paramŁtres de la loi normale (sa moyenne et son Øcart-type). Nous allons montrer dans ce paragraphe que les coefcients d’ondelettes possŁdent des caractØristiques statistiques intØressantes par rapport au signal ØtudiØ. Ce rØsultat est prØsentØ dans
le thØorŁme1 ØnoncØ ci-dessous. Il permettra de donner un cadre gØnØral pour les
coefcients d’ondelettes issus de l’analyse multi-rØsolution.
ThØorŁme 1. Soit un signal , oø sont des variables
alØatoires indØpendantes et identiquement distribuØes selon la loi normale de
paramŁtres ; . Soient les familles d’ondelettes discrŁtes
sup-port compact (Haar, Daubechies, Symlet, Coiet, Meyer DiscrŁte, Biorthogo-nal). L’analyse multi-rØsolution de X gØnŁre les coefcients d’approximations
, et les coefcients de dØtails , tels que :
; ;
et sont les ltres liØs chaque famille d’ondelettes et j reprØsente
l’Øchelle. Si les ondelettes orthogonales sont utilisØes alors et sont
des variables alØatoires indØpendantes et identiquement distribuØes selon la loi normale, sinon elles sont autocorrØlØs et identiquement distribuØes selon la loi normale.
DØmonstration. Les ltres associØs aux fonctions d’ondelettes et celles d’Øchelles doivent respecter des conditions, Daubechies (1992); Gao and Yan (2010), pour gØnØrer une analyse multi-rØsolution telle qu’elle est dØnie parMallat(1989). Ces
conditions seront utiles pour la dØmonstration et sont dØnies de la faon suivante : (3.1) (3.2) Les coefcients d’approximations, l’Øchelle une, sont dØnis comme suit (l est l’ordre du ltre) :
L’espØrance et la variance de s’Øcrivent :
l’Øchelle deux les coefcients d’approximation s’Øcrivent :
L’espØrance et la variance de sont donnØes comme suit :
De mŒme pour les Øchelles grossiŁres, prØcisØment l’Øchelle j :
de dØtails (Øquation2.4), l’Øchelle j, sont dØnies comme suit :
Puisque les coefcients d’ondelettes sont des sommations des variables alØatoires distribuØes suivant la loi normale alors ils suivent la loi normale (thØorŁme central limite en statistique). Si les bases orthogonales sont utilisØes alors les coefcients d’ondelettes sont des variables indØpendantes (voir la dØmonstration ci-dessous), sinon les coefcients sont auto-corrØlØs.
La covariance des coefcients de details l’Øchelle j s’Øcrit comme suit :
(3.3) Nous dØveloppons le premier terme de la partie droite de l’Øquation (3.3) :
Sachant que alors :
Et puisque = 0 (voir thØorŁme1), alors :
(3.5) Par consØquence, en remplaant3.4et3.5dans3.3, on obtient :
La mŒme dØmonstration peut Œtre rØalisØe pour d’autres coefcients d’ondelettes.
Le thØorŁme1montre un rØsultat orignal dans la mesure oø il prØsente de
ma-niŁre explicite les paramŁtres distributionnels des coefcients d’ondelettes, rØsultat que l’on ne trouve guŁre dans la littØrature.
Ces caractØristiques distributionnelles rØvŁlent des propriØtØs intØressantes. On peut remarquer que les coefcients d’approximation amplient la moyenne des don-nØes d’origine. Concernant les coefcients de dØtails, ils ont une moyenne Øgale zØro. Ce rØsultat nous a permis de mieux comprendre le comportement statistique des coefcients d’ondelettes, et ainsi concevoir des statistiques (indicateurs) per-mettant de dØtecter des fautes de type changement de moyenne et/ou de variance.
3.3 Cas d’observations non-Gaussiennes
L’une des caractØristiques des systŁmes complexes est la distribution de leurs donnØes. GØnØralement, on suppose qu’elles suivent la loi normale. Les principales techniques de la MSP sont conues pour des donnØes distribuØes suivant la loi nor-male. Cela peut Œtre expliquØ par le thØorŁme central limite qui Øtablit la conver-gence vers la loi normale. Schilling and Nelson(1976) montrent que la normalitØ peut Œtre raisonnablement considØrØe si la taille de l’Øchantillon est supØrieure quatre. Cela encourage l’utilisation des cartes de contrle mŒme en prØsence des donnØes non-normales.
Dans la pratique on se trouve face plusieurs et diverses lois de probabilitØs (Weibull, Gamma, Rayleigh, etc.). Plusieurs recherches ont ØtudiØ l’effet de viola-tion de la normalitØ et notent que l’utilisaviola-tion des mØthodes reposant sur l’hypothŁse de normalitØ peut engendrer des consØquences dramatiques sur le taux de fausses
alarmes ainsi que pour la PØriode OpØrationnelle Moyenne (POM) Burr (1967);
Yourstone and Zimmer(1992)
Pour remØdier cet aspect quatre solutions sont proposØes :
1. Transformer les donnØes en variables dont la distribution se rapproche de
la loi normale (les transformations de Box and Cox(1964) et
de la MSP.
2. Adapter les mØthodes existantes des distributions spØciques en prenant en compte les caractØristiques distributionnelles (symØtrie, aplatissement), surtout pour le calcul des limites de contrle.
3. Concevoir des mØthodes dØdiØes chaque distribution, par exemple
Var-deman and Ray (1985) ont proposØ une carte CUSUM pour les donnØes
distribuØes suivant la loi Exponentielle.
4. Utiliser des outils de dØtection non-paramØtriquesChakraborti et al.(2004);
Ross and Adams(2012).
L’un des aspects importants dans l’utilisation des ondelettes est la distribution statistique des coefcients d’ondelettes surtout dans une approche oø on cherche superviser les coefcients d’ondelettes an d’Ølaborer une statistique de contrle. Comme nous l’avons montrØ dans le cas Gaussien la distribution des coefcients d’ondelettes (approximation et dØtails) est Øgalement Gaussienne. Par ailleurs, la plupart des Øtudes rencontrØes dans la littØrature notent la normalitØ des coefcients
d’ondelettes mŒme dans le cas non-Gaussien Ganesan et al. (2004). NØanmoins,
nous n’avons pas trouvØ dans la littØrature des Øtudes poussØes montrant clairement l’impact de la non-normalitØ des donnØes au niveau de la distribution des coef-cients d’approximations et de dØtails. Par consØquent nous avons ØtudiØ ces aspects pour donner un caractŁre plus gØnØrique aux caractØristiques statistiques de coef-cients d’ondelettes et ainsi Øtendre le thØorŁme1aux distributions non-Gaussiennes.
Dans ce paragraphe nous prØsentons l’analyse statistique des distributions sta-tistiques de coefcients d’ondelettes pour diffØrentes distributions continues univa-riØes de donnØes, notamment celles les plus utilisØes en pratique : Exponentielle, Uniforme, Weibull, Rayleigh et Gamma.
Le choix d’un seul test de normalitØ n’est pas aussi Øvident vu les diffØrentes hy-pothŁses alternatives que l’on peut tester pour rejeter la normalitØ. GØnØralement, elles sont catØgorisØes en trois distributions alternatives : 1) distributions symØ-triques longue trane ; 2) symØsymØ-triques courte trane et 3) asymØsymØ-triques.
Une rØcente comparaison a ØtØ rØalisØe parYap and Sim(2011). Les auteurs ont
comparØ huit tests (ShapiroWilk, KolmogorovSmirnov, Lilliefors, Cramervon
Mises, AndersonDarling, D’AgostinoPearson, JarqueBera et khi-deux ( )). Ils
montrent que les tests D’Agostino et ShapiroWilk sont performants pour les dis-tributions symØtriques courte trane. Concernant les disdis-tributions symØtriques longue trane et les tests JarqueBera, D’Agostino sont comparables ShapiroWilk. Selon le rØsultat de cette comparaison le test ShapiroWilk est aussi puissant pour les distributions asymØtriques suivi par le test AndersonDarling.
Plusieurs tests statistiques d’ajustement sont utilisØs pour prendre une dØci-sion sur la distribution la plus adØquate, et cela dans le cadre de l’analyse multi-rØsolution, c’est--dire l’utilisation des familles d’ondelettes discrŁtes et orthogo-nales (voir l’annexe 5). L’objectif est de dØterminer la densitØ de probabilitØ des coefcients d’ondelettes (approximations et dØtails) lorsque les variables sont dis-tribuØes selon une loi non-Gaussienne. Nous avons utilisØ cinq tests d’adØquation pour prendre une dØcision sur la normalitØ ou non des coefcients d’ondelettes. Les tests utilisØs sont :
Test de D’Agostino-PearsonD’agostino et al.(1990) est basØ sur les coef-cients de dissymØtrie et d’aplatissement (AP)
Test de JarqueBeraJarque and Bera (1980) est basØ sur les coefcients de dissymØtrie et d’aplatissement (JB)
Test de Shapiro-Wilk / Shapiro-Francia Shapiro and Wilk(1965);Royston
(1992) est basØ sur la fonction de rØpartition empirique (SW)
Test de Anderson-DarlingAnderson and Darling(1952) est basØ sur la fonc-tion de rØpartifonc-tion empirique (AD)
Test de Lilliefors Lilliefors (1969) est basØ sur la fonction de rØpartition empirique (LI)
La mØthodologie d’Øvaluation consiste dØduire la distribution des coefcients d’approximations et de dØtails par simulation. L’Øtude repose sur les dØcisions prises par les tests ci-dessus sur un Øchantillon de 1000 observations. La dØcision est prise par une stratØgie de majoritØ. C’est--dire si au moins trois tests ne rejettent pas la normalitØ alors la normalitØ est dØcidØe. Les rØsultats sont prØsentØs dans les tables
(3.1 3.12). Dans ces tables, il y a des cases oø les dØcisions des tests n’y gurent
pas. Cela est cause de l’adØquation entre la taille de la fenŒtre et l’ondelette utili-sØe. Les paramŁtres de la loi normale des coefcients d’ondelettes (approximation et dØtail) sont prØsentØs dans la table3.13.
A. Loi Exponentielle
La loi exponentielle est utilisØe an de modØliser plusieurs phØnomŁnes phy-siques tels que la durØe de vie d’un composant (Ølectronique) ou d’une particule (radioactivitØ) et le temps qui s’Øcoule entre les occurrences d’un processus de
Poisson. Vardeman and Ray(1985) ont proposØ une mØthode analytique basØe sur
l’Øquation d’intØgrale de Fredholm (Crowder(1987)) pour calculer la PØriode OpØ-rationnelle Moyenne (POM) de la carte CUSUM lorsque les donnØes suivent la loi exponentielle.
La densitØ de probabilitØ de la loi exponentielle est dØnie comme suit : (3.6)
Tels que et reprØsente le paramŁtre de la loi.
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 100 200 300 400 500 600 700 Classes de donnees Frequences
FIGURE 3.1 Histogramme de la loi exponentielle ( )
La gure3.2 prØsente les distributions des coefcients d’ondelettes issus de la
TOD utilisant l’ondelette Haar. Le Coefcient 1 dans la gure 3.2 reprØsente les
coefcients d’approximations et les Coefcients 2-8 reprØsentent les coefcients de dØtails dans diffØrentes Øchelles. Ces coefcients d’ondelettes dØcrivent les donnØes
de la gure3.1, dont la loi est exponentielle de paramŁtre .
Ces distributions ont une forme caractØristique de courbe en cloche, sauf la dis-tribution des coefcients d’approximation (gure3.2 Coefcient 1) qui reprØsente
une lØgŁre asymØtrie. Les rØsultats de diffØrents tests de normalitØ que nous avons utilisØs (tables 3.1, 3.2, 3.3 et 3.4), montrent qu’au seuil de signicativitØ de 5% les coefcients d’ondelettes des donnØes distribuØes exponentiellement ne sont pas distribuØes suivant la loi normale, sauf dans lette de Haar. Dans ce cas, seuls les coefcients de dØtails aux Øchelles grossiŁres suivent la loi normale.
D’autre part, on peut remarquer que les coefcients de dØtails possŁdent une
0 10 20 30 40 0 20 40 60 80 100 120 Coefficient1 −400 −20 0 20 20 40 60 80 100 120 140 Coefficient2 −200 −10 0 10 20 20 40 60 80 100 120 140 Coefficient3 −400 −20 0 20 20 40 60 80 100 120 140 Coefficient4 −40 −20 0 20 40 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 Coefficient5 −40 −20 0 20 40 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Coefficient6 −40 −20 0 20 40 0 50 100 150 200 250 Coefficient7 −40 −20 0 20 40 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Coefficient8
FIGURE 3.2 Distributions des coefcients d’ondelettes des donnØes distribuØes
selon la loi exponentielle (gure3.1)
qui reŁte la variance des donnØes (Øgale ). En ce qui concerne la moyenne
de la distribution des coefcients d’approximations, nous retrouvons la mŒme
lo-gique du thØorŁme1. C’est--dire dans lette de Haar nous avons une moyenne qui
est Øgale tel que reprØsente l’Øchelle de dØcomposition. Par exemple dans
le cas prØsentØ dans la gure 3.1, nous avons alors la moyenne des
coef-cients d’approximation l’Øchelle 3 est Øgale , voir la gure
3.2Coefcient1.
En conclusion, lorsque les donnØes sont distribuØes suivant la loi Exponen-tielle, seuls les coefcients de dØtails aux Øchelles grossiŁres utilisant l’ondelette de Haar qui sont distribuØs normalement (tables3.1,3.2,3.3et3.4).
Loi exponentielle Ond. 4 8 16 32 64 128 Coef. Haar x x x x X x x x X x x x x X x x x x x X X x x x x x X X x x x x x x x x x X x x x X x x x x X x x x x x X X x x x x x X X x x x x x x x x x X x x x X x x x x X x x x x x X X x x x x x X X x x x x x x x x x X x x x X x x x x X x x x x x X X x x x x x X X x x x x x x x x x X x x x X x x x x X x x x x x X X x x x x x X X x x x x x Coef. -db2 -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x x x x x -Coef. -db3 -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -Coef. -db4 -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -Coef. -db5 -x x -x x x -x x x x -x x -x x x -x x x x -x x -x x x -x x x x -x x -x x x -x x x x -x x -x x x -x x x x -Coef. -sym2 -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x x x x x -Coef. -sym3 -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -T A B L E 3.1 valuation de normalitØ de s coef cients d’ondelettes ( :approximation, :dØtail, jreprØsente l’Øchelle) ;le symbole X valide la normalitØ des coef cients ;l e symbole x rejette la normalitØ des coef cients
Loi exponentielle Ond. 4 8 16 32 64 128 Coef. -sym4 -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -Coef. -sym5 -x x -x x x -x x x x -x x -x x x -x x x x -x x -x x x -x x x x -x x -x x x -x x x x -x x -x x x -x x x x -Coef. -coif1 -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -x x -x x x -x x x x -x x x x x -Coef. -coif2 -x x -x x x -x x x x -x x -x x x -x x x x -x x -x x x -x x x x -x x -x x x -x x x x -x x -x x x -x x x x -Coef. -coif3 -x x -x x x -x x -x x x -x x -x x x -x x -x x x -x x -x x x -Coef. -coif4 -x x -x x x -x x -x x x -x x -x x x -x x -x x x -x x -x x x -Coef. -coif5 -x x -x x x -x x -x x x -x x -x x x -x x -x x x -x x -x x x -T A B L E 3.2 valuation de normalitØ des coef cients d’ondelettes ( :approximation, :dØtail, jreprØsente l’Øchelle) ;le symbole X valide la normalitØ des coef cients ;le symbole x rej ette la normalitØ des coef cients
