Mathématiques, Cours de Mathématiques, Seconde, Trimestre 1 Année scolaire 2016 / 2017

(1)

ENSEIGNEMENT À DISTANCE

76-78 rue Saint-Lazare 75009 Paris Tél. : 01 42 71 92 57

COURS

EXERCICES

DEVOIRS

1 e r

_{T R I M E S T R E}

Classe de

2 nde

Mathématiques

Extrait

de

cours

- Mathématiques

- Seconde

(2)

SOMMAIRE

2

nde

MATHÉMATIQUES

1

er

_TRIMESTRE

SÉRIE 1

1ère_leçon _{Les ensembles de nombres}

2ème_leçon _{Rappels sur les calculs dans ℝ}

SÉRIE 2

1ère_leçon _{Ordre dans ℝ}

2ème_leçon _{Les intervalles de ℝ}

SÉRIE 3

1ère_leçon _{Notion de fonction}

2ème_leçon _{Description d’une fonction}

SÉRIE 4

1ère_leçon _{Fonctions, équations, inéquations}

2ème_leçon _{Variations d’une fonction}

SÉRIE 5

1ère_leçon _{Géométrie dans le plan}

2ème_leçon _{Repérage et calculs dans le plan}

SÉRIE 6

1ère_leçon _{Fonctions affines}

2ème_leçon _{Equations, inéquations et problèmes du 1}er_degré

SÉRIE 7

1ère_leçon _{Droites dans le plan repéré}

2ème_leçon _{Système de deux équations à deux inconnues}

SÉRIE 8

1ère_leçon _{La fonction carré}

2ème_leçon _{Rappels sur le calcul littéral}

Extrait

de

cours

- Mathématiques

(3)

Extrait

de

cours

- Mathématiques

(4)

Mathématiques

2

nde

1

ère

Série

PREMIÈRE LEÇON

Les ensembles de nombres

DEUXIÈME LEÇON

Rappels sur les calculs dans ℝ

Extrait

de

cours

- Mathématiques

(5)

Extrait

de

cours

- Mathématiques

(6)

1

ère

_Série

PREMIÈRE LEÇON

Les ensembles de nombres

1. ℕ, ensemble des entiers naturels, est l’ensemble infini des nombres entiers positifs ℕ= {0, 1, 2, 3,….} et ℕ∗_{est l’ensemble ℕ privé de 0.}

2. ℤ, ensemble des entiers relatifs, est l’ensemble de tous les entiers positifs et de leurs opposés, négatifs. (ℤ est l’initiale de Zahl, nombre en allemand)

ℤ= {…., -3 ,-2 ,-1 , 0, 1, 2 ,……} et ℤ∗_{= ℤ – {0}, ensemble des entiers relatifs non nuls . Remarque : les} entiers naturels sont aussi des entiers relatifs ; on écrit « ℕ ⊂ ℤ », qui se lit « ℕ est inclus dans ℤ »

3. ⅅ, ensemble des nombres décimaux, est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’un produit d’un entier relatif par une puissance de 10, c’est-à-dire sous la forme a ×10-noù

a∈ ℤ et n ∈ ℕ et 10-n₌ 1

10ⁿ . ⅅ* = ⅅ - {0} 27,8073 =278 073× 10⁻⁴, par exemple.

Remarque : tout entier a peut s’écrire sous la forme a × 10⁻⁰ donc ℕ ⊂ ℤ ⊂ⅅ

4.ℚ, ensemble des rationnels, est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient de deux entiers relatifs, c’est-à-dire sous la forme 𝑎

𝑏 où aet bsont deux entiers relatifs avec

b ≠ 0(ℚ est l’initiale de quotient, résultat de la division et 𝑎 ÷ 𝑏 =𝑎 𝑏) -3,75 = - 375

100 = - 15

4 , par exemple

Remarque : tout décimal peut s’écrire sous la forme 𝑎

10ⁿ, donc ℕ ⊂ ℤ ⊂ⅅ⊂ ℚ

5. ℝ est l’ensemble des réels. Il contient tous les nombres précédents ainsi que les irrationnels comme √2, √19 par exemple mais aussi 𝜋….

On a donc les inclusions suivantes : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ⅅ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ℝ* est l’ensemble de tous les nombres réels non nuls, ℝ⁺ celui des nombres positifs, ℝ⁻ celui des nombres négatifs.

On a aussi ℝ⁺*, l’ensemble des réels strictement positifs et ℝ⁻*, celui des réels strictement négatifs.

Extrait

de

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- Mathématiques

(7)

1

ère

_Série

Le schéma suivant permet de visualiser ces différentes inclusions :

Tapez une équation ici.

Exercice 1 A = 1−5×3 24+(−1) (√8+1)(√8−1) (−3)2×2+3

; B est la moitié du tiers du carré de 5 ; C est l’aire exacte du disque de diamètre 4 cm et D est la longueur de l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent respectivement 1 cm et 2√2 cm.

Calculer ces nombres et retrouver l’(les)ensemble(s) auxquels ils appartiennent.

√2 − √17 

7 3

-

9 22

-0,25

17 4

-3 -7

4

0

10

7

ℝ

ℚ

ⅅ

ℤ

ℕ

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de

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- Mathématiques

- Seconde

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1

ère

_Série

Exercice 2

Soit le nombre X = 4,090909…..0909….Ce nombre n’est donc pas un décimal mais est-il rationnel ? On posera 𝑥 = 0,0909 … 09.., on calculera 100𝑥 pour trouver une équation dont la résolution permettra de répondre à la question.

Exercice 3

a) Prouver que les nombres suivants sont des nombres rationnels en les mettant sous la forme 𝑎 𝑏, où a ∈ ℤ et b ∈ ℕ* : −3 × 0,01 ; 10⁴ ; −√0,36 7 ; 3 4  10 -2_{et −} 3 25

b) Montrer que les nombres suivants sont des nombres décimaux en les écrivant sous la forme 𝑎 × 10−𝑛_{où a}_{∈ ℤ et n ∈ ℕ}∗_: 0,012 5 ; (−6,2)3_;0,125 62,5 ; 13,654 et −7 5

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- Seconde

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1

ère

_Série

DEUXIÈME LEÇON

Rappels sur les calculs dans ℝ

Il est important, avant tout calcul, de se rappeler l’ordre des opérations : 1. Calcul à l’intérieur des parenthèses

2. Calculs de racines carrées ou de puissances 3. Multiplications ou divisions

4. Additions ou soustractions

Quelques rappels utiles sur le calcul littéral sont faits dans la 8ème_{série, 2}ème_leçon.

Quelques règles de calcul connues ou à revoir :

1. Avec les quotients :

a, b,cet d sont des réels tels que cd ≠0 (donc 𝑐 ≠ 0 𝑒𝑡𝑑 ≠ 0)

Somme 𝑎 𝑐

+

𝑏 𝑐

=

𝑎+𝑏 𝑐 et 𝑎 𝑐

+

𝑏 𝑑

=

𝑎𝑑 𝑐𝑑

+

𝑏𝑐 𝑐𝑑

=

𝑎𝑑+𝑏𝑐 𝑐𝑑 Produit 𝑎 𝑐

×

𝑏 𝑑

=

𝑎𝑏 𝑐𝑑 Quotient 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑

=

𝑎 𝑐

÷

𝑏 𝑑

=

𝑎 𝑐

×

𝑑 𝑏

avec 𝑏 ≠ 0

 Soit a un nombre différent de 0 et de -1 et soit Q = 1

𝑎+1

−

1−1_𝑎 1+1 𝑎

Écrivons Q sous forme d’un quotient : Q = 1

𝑎+1

−

𝑎−1 𝑎 𝑎+1 𝑎

=

1 𝑎+1

−

𝑎−1 𝑎+1

=

2−𝑎 𝑎+1

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- Mathématiques

- Seconde

(10)

1

ère

_Série

2. Avec les puissances :

Définition : si 𝑎 ∈ ℝ et 𝑛 ∈ ℕ avec n ≥ 2 ,

alors 𝑎𝑛_{= 𝑎 × 𝑎 × … × 𝑎 , produit de n facteurs égaux à 𝑎} et 𝑎1_{= 𝑎.}

De plus, si 𝑎 ≠ 0 et n un entier, alors 𝑎−𝑛₌ 1 𝑎𝑛 et 𝑎

0_{= 1}

Règles de calcul : Soient net p des entiers, a et b des réels, 𝑎𝑛_{× 𝑎}𝑝_{= 𝑎}𝑛+𝑝 (𝑎𝑛₎𝑝_{= 𝑎}𝑛𝑝 𝑎𝑛 𝑎𝑝= 𝑎 𝑛−𝑝_{, avec 𝑎 ≠ 0} 𝑎𝑛_{× 𝑏}𝑛_{= (𝑎𝑏)}𝑛 𝑎𝑛 𝑏𝑛= ( 𝑎 𝑏) 𝑛_{avec 𝑏 ≠ 0}

Par exemple, simplification des expressions A, B et C :

A = 𝑎 2_×(𝑎2₎−5_×𝑎4 (𝑎3₎2_×𝑎−4

× (

𝑎 𝑎−2

)

2

_{pour 𝑎 ≠ 0}

A =𝑎 2+4_×𝑎2×(−5) 𝑎3×2_×𝑎−4

×

𝑎2 𝑎−2×2

=

𝑎6×𝑎−10+2 𝑎6_×𝑎−4−4 = 𝑎−2 𝑎−2 = 1  B = 66 45_×97

=

(3×2)6 (2×2)5_×(3×3)7

=

36×26 25_×25_×37_×37

=

1 24_×38  C= 1625 2100

=

(24)25 2100 = 1

3. Avec les racines carrées

Définition : Si a est un nombre positif, la racine carrée de a est l’unique nombre réel positif noté √𝑎 ,

tel que (√𝑎)2_{= 𝑎}

Règles de calcul : si a est positif, alors √𝑎2_{= 𝑎 et si a est négatif, alors √𝑎}2_{= −𝑎} si a et b sont deux nombres positifs, alors √𝑎 × √𝑏 = √𝑎√𝑏 = √𝑎𝑏 𝑠𝑖 𝑏 ≠ 0 , alors √𝑎 𝑏= √𝑎 √𝑏

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- Seconde

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1

ère

_Série

 Par exemple, soit 𝐷 = √5 − √7 ; le calcul de 𝐷2 permet de simplifier l’écriture de 𝐸 = √12 − 2√35

car 𝐷2 _{= (√5 − √7)}2_{= √5}2_{− 2√35 + √7}2_{= 12 − 2√35}₍_{(𝑎 − 𝑏)}2_{= 𝑎}_²_{− 2𝑎𝑏 + 𝑏}_²₎₎ √5 − √7 < 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐸 = √(√5 − √7)²= √7 − √5.

 Sur la figure suivante, calcul de x, longueur de l’hypoténuse du plus grand des deux triangles

rectangles :

x

7 5 13 7

Pour calculer cette longueur x, il faut remarquer que la longueur du grand côté de l’angle droit de ce

grand triangle est celle du côté du petit triangle, dont la mesure est à déterminer, augmentée de 7. D’après le théorème de Pythagore, le carré de la longueur de l’hypoténuse est la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, donc :

𝑥 = √72_{+ (√13}2_{− 5}2_{+ 7)}2_{= √49 + 19}2_{= √410}  Simplification de quotient : 𝐹 = 2√3 2 + √3= 2√3(2 − √3) (2 + √3)(2 − √3)= 4√3 − 6 4 − 3 = 4√3 − 6

(on a multiplié le numérateur et le dénominateur (a + b) par (a - b) afin d’obtenir le dénominateur

sans irrationnel ; en effet (a + b)(a - b)= a² - b² et (√𝑎)2= 𝑎.)

Exercice 4

1. Montrer que A = √7

√2−√7

+

√2

√2+√7est un rationnel. 2. Calculer la somme et le produit de 5+√5

2 et de 5−√5 2 Que remarque-t-on ? 3. Sachant que 𝐵 = 143_{, C = 8}5_{, 𝐷 = 49}4_{et E =}

(

7 2

)3 , simplifier l’expression F =

𝐵×𝐶 𝐷  E 4. Montrer que 𝐺 = 272_{× 3}42_{× 7}78_{est le carré d’un entier ainsi que le cube d’un autre entier.}

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(12)

1

ère

_Série

Exercice 5

𝐻 = √7 − 4√3 + √7 + 4√3 et 𝐼 = √7 − 4√3 − √7 + 4√3 1. Calculer 𝐻2_{, 𝐼}2_.

2. En déduire les valeurs de H et I

3. Simplifier les expressions √7 − 4√3 et √7 + 4√3

Exercice 6

ABCD est un carré de côté 8.

A B 17 x D C E

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- Seconde

(13)

1

ère

_Série

Calculer la longueur x.

Exercice 7

1. Vérifier les égalités 1

2

=

1 3

+

1 2×3 et 1 3

=

1 4

+

1 3×4 2. Compléter les égalités suivantes :

1 4

=

1 5

+

1 … et 1 5

=

1 6

+

1 …

3. Quelle conjecture (propriété qui semble vraie mais qui n’est pas encore démontrée) peut-on faire ? 4. Démontrer la conjecture.