Devoir de synthèse n°2-Mathématiques:2 ème sciences

Lycée 15 Novembre 1955 Sfax Ben Mahfoudh Riadh

Devoir de synthèse N° 2 Classes 2^ème Sciences Mathématiques – (2H)

Exercice 1

I) Soit

 

U la suite définie sur n  par : U_n 2n 1

1) Montrer que

 

U est une suite arithmétique dont on préciserer le premier terme n

et la raison

2) on pose ^S_n ^U₁^U₂^{.... U} _n

a) Exprimer S_n en fonction de n b) en déduire S₁₀

3) soit ^a^U₁^U₂^{.... U} ₁₀^22p avec p un entier naturel.

Quelle est le reste de la division euclidienne de a par 11 II)

 

V une suite géometrique n V₂ 3 et V₅ 192

1) Déterminer la raison de cette suite son premier terme V₀ 2) calculer SV₀V₁ ... V₁₅

3) a) Exprimer V_n en fonction de n b) Déduire que _n 3 ^Un

V .2

8

4) On pose P_n V₁V₂... V _n . Montrer que P_n 3ⁿ2^n23n Exercice 2

On donne ^{f x}

 

4cos x 3sin x 3 avec x²   

 

0,π 1) Calculer ^{f 0 ,f}

 

^{π et f π}

6 2

   

   

   

2) a) Montre que pour tout ^x

 

^{0,π on a f}



^{π x}

  

^{f x}

b) En déduire que f ^π f ^5π f ^2π f ^7π

3 12 3 12

       

       

       

3) a) Résoudre dans

 

0,π ; f x

 

3sinx et Placer sur le demi cercle trigométrique l’ensemble de solution de cette équation.

4) Calculer π 3π π 3π

S cos cos sin sin

8 8 8 8

   

Exercice 3

ABC un triangle direct rectangle isocèle en A et I le mileu de BC

 

Soit R la rotation directe de centre A et d’angle π 4 1) Construire le point D image de B pa R 2) Montrer que ^{R D}

 

^C

3) Soit J le projeté orthogonal du point D sur la droite

 

^AC

a) Montrer que ^{R ID}

   



^{ }

AC puis R BC

 ^{ } 



^{ }

DJ b) En déduire que ^{R I}

 

^J

4) Soit C le cercle de diamètre

 

^BC

Déterminer et construire le cercle C’ image de C par R.