LE THÉORÈME DE PYTHAGORE (Partie1)

LE THÉORÈME DE PYTHAGORE (Partie 1)

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/QYM86GzWWG8

Pythagore de Samos (-569 à -475) a fondé l’école pythagoricienne (à Crotone, Italie du Sud).

Le théorème de Pythagore bien connu des élèves de 4e, n'est en fait pas une découverte de Pythagore, il était déjà connu par les chinois et les babyloniens 1000 ans avant lui. Pythagore (ou ses disciples) aurait découvert la formule générale.

Les Egyptiens connaissaient aussi le théorème. Ils utilisaient la corde à 13 noeuds (régulièrement répartis) qui une fois tendue formait le triangle rectangle 3 ; 4 ; 5 et permettait d’obtenir un angle droit entre deux « longueurs ».

Corde qui sera encore utilisée par les maçons du XXe siècle pour s’assurer de la perpendicularité des murs.

I. L’égalité de Pythagore

Exemple :

ABC est un triangle rectangle en A, BC² = 5² = 25

AB² + AC² = 3² + 4² = 25

On constate que BC² = AB² + AC²

Théorème de Pythagore :

Un triangle rectangle est un triangle dont le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

L’égalité a² = b² + c² s’appelle l’égalité de Pythagore.

B

C A

5

4 3

Animation : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Pythagore.ggb

Écrire la formule : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/pyth_ecrire.pdf Vidéo https://youtu.be/_6ZjpAIWNkM

II. Racine carrée d’un nombre

Vidéo https://youtu.be/2g67qQnGgrE

La devise pythagoricienne était « Tout est nombre » au sens de nombres rationnels (quotient de deux entiers).

L'erreur des pythagoriciens est d'avoir toujours nié l'existence des nombres irrationnels.

Par la diagonale d'un carré de côté 1, ils trouvent le nombre inexprimable

√

² qui étonne puis bouleverse les pythagoriciens. Dans un carré d'une telle simplicité niche un nombre indicible et jamais rencontré jusqu'alors. Cette découverte doit rester secrète pour ne pas rompre le fondement même de la Fraternité pythagoricienne jusqu'à ce qu'un des membres, Hippase de Métaponte, trahisse le secret. Celui-ci périra "curieusement" dans un naufrage !

Origine du symbole :

IIe siècle : l12 = côté d’un carré d’aire 12 (l comme latus = côté en latin) 1525, Christoph RUDOLFF, all. : v12 (vient du r de racine, radix en latin)

XVIe siècle, Michael STIFEL, all. :

√

¹² (combinaison du « v » de Rudolff et de la barre « » ancêtre des parenthèses)

1) Exemples :

5 7 3,1 6 8 2,36 2,3

25 49 9,61 36 64 5,5696 5,29

Par exemple, le nombre dont le carré est égal à 36 est 6 et on note :

√

^{36 = 6.}

Remarque :

√

^{−5 = ?}

La racine carrée de -5 est le nombre dont le carré est -5.

Un nombre au carré est toujours positif (règle des signes), donc la racine carrée d’un nombre négatif est impossible.

√

⁻⁵ n’existe pas !

√

^x

x²

Définition :

Soit a un nombre positif.

On appelle racine carrée de a le nombre dont le carré est égal à a . On le note

√

^{a .}

Méthode : Calculer la racine carrée d’un nombre

Dans chaque cas, trouver un nombre qui vérifie l’égalité :

1) x²=81 2) y²=5,5225 3) z²=14

1) _x²₌₈₁ donc x =

√

^{81 = 9}

2) y²=5,5225 donc

y =

√

^5,5225 = 2,35 3) _z²₌₁₄

On cherche un nombre dont le carré est égal à 14.

Il n’existe pas de valeur connue alors on utilise la calculatrice pour obtenir une valeur approchée du résultat. En effet, il n’existe pas de valeur décimale exacte dont le carré est égal à 14.

z =

√

^{14  3,74}

2) Racines de carrés parfaits

√

⁴ = 2

√

^{36 = 6}

√

^{100 = 10}

√

⁹ = 3

√

^{49 = 7}

√

^{121 = 11}

√

¹⁶ = 4

√

^{64 = 8}

√

^{144 = 12}

√

²⁵ = 5

√

⁸¹ = 9 Ces résultats sont à connaître par cœur ! Encadrer une racine carrée par deux entiers consécutifs :

Vidéo https://youtu.be/bjS5LW-hgWk

III. Calculer une longueur

LE THÉORÈME DE PYTHAGORE

Méthode : Appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de l’hypoténuse

Vidéo https://youtu.be/M9sceJ8gzNc

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 9 cm.

Calculer BC. Donner la valeur exacte et un arrondi au dixième de cm.

BC² = AB² + AC² un triangle ABC est

rectangle en A

J’utilise l’égalité de Pythagore, donc : BC² = AB² + AC² BC² = 6² + 9²

BC² = 36 + 81 BC² = 117

BC ≈

√

¹¹⁷

BC ≈ 10,8 cm

Méthode : Appliquer le théorème de Pythagore pour calculer la longueur d’un côté de l’angle droit

Vidéo https://youtu.be/9CIh6GGVu_w Vidéo https://youtu.be/gBuzFW_GlGc

CDE est un triangle rectangle en C tel que CE = 5 cm et ED = 8 cm.

Calculer CD. Donner la valeur exacte et un arrondi au dixième de cm.

Je sais que le triangle CDE est rectangle en C.

Son hypoténuse est le côté ED.

J’utilise l’égalité de Pythagore, donc : ED² = CE² + CD² 8² = 5² + CD²

64 = 25 + CD² CD² = 64 – 25

CD =

√

³⁹

CD ≈ 6,2 cm

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