Questions de cours (extrait de l’´ epreuve C du concours PT 2010)

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI − 2013-2014

D. Blotti`ere Math´ematiques

Concours blanc

Mercredi 14 mai de 9h `a 13h

Le bar`eme prendra significativement en compte :

• la pr´esentation,

• la clart´e des explications,

• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,

• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.

Questions de cours (extrait de l’´ epreuve C du concours PT 2010)

1. ´Etudier les variations de la fonctionf d´efinie par :

f : h

−π 2,π

2 i

→ R

x 7→ sin(x).

2. Montrer que f r´ealise une bijection, not´eefe, de h

−π 2,π

2

i sur [−1,1].

3. Expliciter la fonction fe⁻¹ (appel´ee Arcsinus et not´ee usuellement Arcsin).

4. D´emontrer que fe⁻¹ est d´erivable sur ]−1,1[.

5. Calculer, pour tout r´eel x∈]−1,1[ , l’expression de fe⁻¹′

(x) en fonction de x.

6. D´emontrer que fe⁻¹ est deux fois d´erivable sur ]−1,1[.

7. Donner, sur un graphe, dans un rep`ere orthonorm´e direct, l’allure des courbes repr´esen- tatives de f et fe⁻¹.

Probl` eme 1 (d’apr` es l’´ epreuve C du concours PT 2014)

Partie A

On fixe un entier naturel n. Soit l’´equation diff´erentielle (E) y^′(t)−y(t) = tⁿ

n! d’inconnue une fonction y:R→R d´erivable sur R.

1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle homog`ene (EH) associ´ee `a (E).

1

2. D´eterminer une solution particuli`ere de (E) en utilisant la m´ethode de la variation de la constante (on l’exprimera `a l’aide d’une int´egrale que l’on ne cherchera pas `a calculer).

3. En d´eduire l’ensemble solution de (E).

4. Soit R_n la fonction d´efinie par

R_n : R → R

t 7→ e^t− Xn

k=0

t^k k! . (a) D´emontrer que R_n est solution de (E).

(b) En d´eduire une expression de R_n(t) `a l’aide d’une int´egrale, pour tout t∈R.

5. Soientaetbdeux r´eels tels quea < b. Soientf: [a, b]→Retg: [a, b]→Rdeux fonctions continues sur [a, b] telles que f(x) ≤ g(x), pour tout x ∈ [a, b]. Justifier l’in´egalit´e Z b

a

f(x)dx≤ Z b

a

g(x)dx.

6. D´eduire des questions 4.(b) et 5 que pour tout t∈R_>0 : 0≤R_n(t)≤ tⁿ⁺¹e^t

(n+ 1)!. Partie B

Soit t∈R_>0 fix´e.

1. D´emontrer que tⁿ n! →

n→+∞0.

2. En d´eduire que la suite Xn

k=0

t^k k!

!

n∈N

converge et pr´eciser sa limite.

Partie C

On consid`ere les suites (un)n∈N∗ et (vn)n∈N∗ d´efinies par : u_n =

Xn

k=0

1

k! et v_n=u_n+ 1 n

1 n! pour tout n∈N^∗.

1. D´emontrer que les suites (un)n∈N∗ et (vn)n∈N∗ sont strictement monotones, et donner leur sens de variation.

2. D´emontrer que les suites (un)n∈N∗ et (vn)n∈N∗ sont adjacentes.

3. En d´eduire que pour tout entier naturel non nul q : u_q< e < v_q.

4. On cherche `a d´emontrer que e est un nombre irrationnel. `A cet effet, on suppose qu’il existe deux entiers naturels non nuls p etq, premiers entre eux, tels que :

e= p q.

5. En multipliant la double in´egalit´e pr´ec´edente par q!, montrer que c’est impossible, et conclure sur l’irrationnalit´e de e.

2

Partie D

On consid`ere la suite (wn)n∈N^∗ d´efinie par :

w_n= Xn

k=1

u_k

n pour tout n∈N^∗.

1. Soit ε un r´eel strictement positif.

(a) Justifier qu’il existe un entier naturel non nul n0 tel que pour tout entier n≥n0 :

|un−e| ≤ ε 2.

(b) D´emontrer qu’il existe un entier naturel non nuln1 tel que pour tout entier n≥n1 :

|w_n−e| ≤ε.

2. Qu’en d´eduire quant au comportement asymptotique de la suite (wn)n∈N∗?

Partie E

On consid`ere la suite (en)n∈N_≥

2 d´efinie par : e_n=

1− 1

n −n

pour tout n∈N_≥2.

1. Justifier soigneusement que ln(x+ 1)

x →

x→01.

2. En d´eduire le comportement asymptotique de la suite (en)n∈N_≥

2.

Probl` eme 2

Partie A

Soient A et J les matrices carr´ees de format 2×2 d´efinies par : A=

1 3 3 1

et J =

1 1 1 1

. 1. D´eterminer deux r´eels a etb tels que :A=aJ +bI2.

2. Calculer J² en fonction de J.

3. Montrer que A etJ commutent, et exprimer AJ en fonction de J.

4. D´emontrer que :

Aⁿ= (−2)ⁿI2+1

2(4ⁿ−(−2)ⁿ)J pour toutn ∈N^∗.

5. Expliciter les coefficients de la matrice Aⁿ, pour tout n∈N^∗.

3

Partie B

On note (vn)n∈N et (wn)n∈N les deux suites d´efinies par v0 = 3, w0 = 1 et les relations de r´ecurrence :

v_n+1 = v_n + 3wn

w_n+1 = 3v_n + w_n

valables pour tout entier n ∈ N. On consid`ere pour tout n ∈ N, le vecteur colonne X_n d´efini par : X_n =

v_n w_n

. 1. D´eterminer X0.

2. Soit n∈N. Reconnaˆıtre le produit AX_n. 3. D´emontrer que pour tout n∈N :

X_n=AⁿX0.

4. Calculer les valeurs de v_n et de w_n en fonction den, pour tout n∈N. 5. D´emontrer que v_n>0 et w_n>0, pour tout n∈N.

Partie C

On consid`ere la suite (un)n∈N d´efinie paru0 = 3 et la relation de r´ecurrence : u_n+1 = u_n+ 3

3un+ 1 valable pour tout entier n∈N.

1. D´emontrer que :

u_n existe et u_n = v_n w_n pour toutn ∈N.

2. Donner une expression de u_n en fonction de n, pour tout n∈N. 3. ´Etudier le comportement asymptotique de la suite (un)n∈N.

4