ECE2 III. EDHEC 2014
TP14/15 : Exercices - annales de l’époque Turbo-Pascal . . .
I Dans votre dossier Info_2a, créez le dossierTP_14.
I. ECRICOME
Exercice (2014)
On considère la fonction f définie sur [0,+∞[par :
f(x) =
1 si x= 0 x
ln(1 +x) si x∈]0,+∞[
ainsi que la suite(un)n∈N définie par :
u0=e et ∀n∈N, un+1=f(un)
I Écrire un programme qui, pour une valeurN fournie par l’utilisateur, calcule et afficheuN.
Problème (2014)
On dispose dans tout l’exercice d’une même pièce dont la probabilité d’obtenir PILE vaut p ∈]0; 1[.
On procède à l’expérience : «On effectue une succession illimitée de lancers de la pièce».
I Écrire une fonctionlancer prenant un paramètre p qui crée un nombre aléatoire dans l’intervalle [0; 1]et renvoie 1si ce nombre aléatoire est strictement inférieur à p et0 sinon.
I Écrire une fonction premierPileprenant un paramètre p qui simule autant de lancers de la pièce que nécessaire jusqu’à l’obtention du premier PILE et renvoie le nombre de lancers effectués.
Indication : on pourra utiliser la fonctionlancer en la répétant convenablement.
I Écrire un programme qui demande un réelp à l’utilisateur, puis qui simule autant de lancers de la pièce que nécessaire jusqu’à l’obtention du second PILE, et affiche le nombre de FACE obtenus en tout.
Indication : on pourra utiliser la fonctionpremierPile en la répétant convenablement.
II. EDHEC
III. EDHEC 2014
Problème
On considère une variable aléatoire X dont la loi de probabilité est donnée par :
• X(Ω) ={−1,0,1},
• P(X=−1) =P(X= 1) = 1 4. I Déterminer P(X= 0).
1
ECE2 III. EDHEC 2014
On considère alors la v.a.r. Y dont la loi est donnée par :
• Y(Ω) = 1
2,1
,
• P
Y = 1 2
=P(X=−1) +P(X = 0) = 3
4 et P(Y = 1) =P(X= 1) = 1 4
I On rappelle que grand(1,1,'uin',a,b)permet de simuler une variable aléatoire discrète suivant la loi uniforme surJa, bK. Écrire des commandesScilabpermettant de simuler X puisY.
III.1. EDHEC 2013 Exercice
Dans cet exercice, la lettre ndésigne un entier naturel.
On dispose d’une urne contenant au départn boules blanches et(n+ 2) boules noires.
On dispose également d’une réserve infinie de boules blanches et de boules noires.
Pour tout entier naturelj, on dit que l’urne est dans l’état j lorsqu’elle contient j boules blanches et (j+ 2)boules noires. Au départ, l’urne est donc dans l’état n.
On réalise une succession d’épreuves, chaque épreuve se déroulant selon le protocole suivant.
Pour tout j∈N∗, si l’urne est dans l’état j, on extrait une boule au hasard de l’urne.
• Si l’on obtient une boule blanche, alors cette boule n’est pas remise dans l’urne et on enlève de plus une boule noire de l’urne, l’urne est alors dans l’état(j−1).
• Si l’on obtient une boule noire, alors cette boule est remise dans l’urne et on remet en plus une boule blanche et une boule noire dans l’urne l’urne est alors dans l’état(j+ 1).
Dans cette question, on suppose quen= 1(l’urne contient donc une boule blanche et 3 boules noires) et on noteX1 la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches encore présentes dans l’urne après la première épreuve et X2 la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches encore présentes dans l’urne après la deuxième épreuve.
I Compléter le programme suivant pour qu’il simule l’expérience aléatoire décrite dans cet exercice et pour qu’il affiche les valeurs des variables aléatoires X1 etX2.
1 function [X1,X2] = simul()
2 tirage = grand(1,1,"uin", ... , ...)
3 if tirage == ... then
4 X1 = ...
5 X2 = ...
6 else
7 tirage = grand(1,1,"uin", ... , ...)
8 if tirage <= ... then
9 X2 = ...
10 X1 = ...
11 else
12 X2 = ...
13 X1 = ...
14 end
15 end
16 endfunction
2
ECE2 III. EDHEC 2014
Exercice
On se propose d’étudier la suite (un)n∈
N , définie par la donnée de u0 = 0 et par la relation, valable pour tout entier natureln :un+1= un2+ 1
2 . I Écrire une fonction qui renvoie la valeur deun.
I En déduire un programme, qui permet de déterminer et d’afficher la plus petite valeur de n pour laquelle on a0<1−un<10−3.
III.2. EDHEC 2012 Exercice 3
On désigne parnun entier naturel supérieur ou égal à2. On notepun réel de]0; 1[et on poseq= 1−p.
On dispose d’une pièce donnant Pile avec la probabilitép et Face avec la probabilitéq.
On lance cette pièce et on arrête les lancers dans l’une des deux situations suivantes :
× soit si l’on a obtenu Pile.
× soit si l’on a obtenunfois Face.
On note Tn le nombre de lancers effectués, Xn le nombre de Pile obtenus et enfin Yn le nombre de Face obtenus. On admet queTn ,Xn etYn sont des variables aléatoires toutes les trois définies sur un espace probabilisé(Ω,A,P) que l’on ne cherchera pas à préciser.
I Écrire un programme permettant de simuler ces3 v.a.r.
Problème
Soitλ >0et soit U une v.a.r. suivant la loi uniforme sur[0,1[. On pose W =−1
λln(1−U).
(on démontrait alors que W a même loi qu’une v.a.r. |X|où X était définie précédemment) I Écrire une fonction qui simule la v.a.r. |X|.
I Vérifier que la probabilité que X prenne des valeurs positives est égale à la probabilité que X prenne des valeurs négatives.
En déduire une fonction qui simule la v.a.r. X.
III.3. EDHEC 2011 Exercice 3
On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On dispose de n urnes, numérotées de 1 à n,contenant chacunenboules. On répètenépreuves, chacune consistant à choisir une urne au hasard et à en extraire une boule au hasard. On suppose que les choix des urnes sont indépendants les uns des autres. Pour tout i de {1,2, ..., n}, on note Xi la variable aléatoire prenant la valeur 1 si l’urne numérotéeicontient toujoursn boules au bout de cesnépreuves, et qui prend la valeur 0 sinon.
I Écrire un programme informatique qui simule les v.a.r. X1 et N1 pour une valeur n entrée par l’utilisateur.
Problème
SoientU etV des v.a.r. suivant respectivement la loi B 1
2
et la loiU([0,1]).
On pose Q=−ln(1−V) etR= 2U−1.
(on démontrait que Q a même loi que X, R a même loi que Y où X et Y sont des v.a.r. définies précédemment et on notait Z=XY)
I Écrire une fonction permettant de simuler la v.a.r.Z.
3
ECE2 V. HEC
IV. EML
IV.1. EML 2014 Exercice
On considère l’application ϕ: ]0; +∞[→R, x7→ex−xe1x.
On considère la suite réelle(un)n∈N définie paru0= 3 et :∀n∈N, un+1 =ϕ(un).
I Écrire un programme qui affiche et calcule le plus petit entierntel que : un>103.
IV.2. EML 2013 Exercice
On considère l’application f :R−→Rdéfinie, pour tout t∈R par :
f(t) =
−tlnt+t1/3 si 0< t <1
0 sinon
On suppose démontré que l’équationf0(t) = 0 d’inconnue t∈ ]0,1[, admet une unique solution, notée α telle que : 1
e < α <1.
I Écrire un programme qui calcule et affiche une valeur approchée de α à 10−3 près, mettant en œuvre l’algorithme de dichotomie.
IV.3. EML 2012
Soita∈R+∗. On considère une v.a.r.U suivant la loi uniforme sur[0,1[. On note :Z =ap
−2 ln(U).
I Écrire un programme simulant la v.a.r.Z, le réelastrictement positif étant entré par l’utilisateur.
IV.4. EML 2012
On considère l’application f :x7→(x+ ln(x))ex−1 définie sur ]0,+∞[.
On considère la suite réelle(un)n∈N définie paru0= 2 et pour tout n∈N,un+1=f(un).
I Écrire un programme qui calcule et affiche le plus entier naturelntel que un>1020. (la question précédente consistait à démontrer que : ∀n∈N, un>en)
V. HEC
Exercice (2014)
SiX est une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé (Ω,A,P), de fonction de répar- titionF. On appelle médianede X, tout réelm vérifiant les deux conditions :
P([X6m])> 1
2 et P([X >m])> 1 2 On admet qu’un tel réel m existe toujours.
SoitN un entier supérieur ou égal à 1. SoitX une variable aléatoire discrète à valeurs dansJ1, NK. La loi d’une telle variable X est stockée dans une matrice ligne de taille 1×N.
I Écrire une fonctionmedianeprenant en paramètre une matrice ligne représentant la loi d’une telle variableX et renvoyant la médiane de X.
4
