b) le dernier chiffre de droite

Enonc´e n^oA550 (Diophante) Les puissances de 2 `a la fˆete

Q1 : Trouver toutes les puissances de 2 qui sont encore des puissances de 2 lorsqu’on supprime

a) le premier chiffre de gauche. Nota : 4096 devient 96.

b) le dernier chiffre de droite.

Q2 : Existe-t-il une puissance de 2 telle qu’en r´earrangeant ses chiffres on obtienne une autre puissance de 2 ?

Nota : les entiers commen¸cant par un z´ero sont exclus dans les r´earrange- ments de la puissance de 2.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1a)

Si la puissance 2^a devient 2^b par suppression de son chiffre de gauche c, on a 2^a−2^b =c·10^d.

Puisque les deux puissances 2^a et 2^b ont le mˆeme chiffre des unit´es, 2^a−2^b et 2^a−b−1 sont multiples de 5, ce qui exige que a−b soit 4 ou multiple de 4. Si a−b = 4k avec k >1, 2^4k−1 a des diviseurs premiers > 10 qui ne peuvent pas diviserc·10^d. Il faut a−b= 4, 2⁴−1 = 3·5, d’o`u d= 1 (2^a n’a que deux chiffres) etc est multiple de 3.

Les solutions sont donc 32 et 64.

Question 1b)

Si la puissance 2^adevient 2^b par suppression de son chiffre de droiteu, on a 2^a= 10·2^b+u.

Comme 10>2³,a > b+ 3 et u doit ˆetre divisible par 2^b+1 comme 10·2^b, avec quotientiimpair.

Alors 5 +i= 2^a−b−1.i= 3, b= 0 pour queu <10. Il n’y a de solution que 16, `a condition d’admettre 1 comme puissance de 2.

Question 2)

Les deux puissances 2^a et 2^b utilisant les mˆemes chiffres ont un mˆeme reste modulo 9, non nul. Le quotient 2^a−b = 1 (mod 9), ce qui exige a −b multiple de 6. Mais les deux puissances ayant le mˆeme nombre de chiffres ont un quotient qui ne peut atteindre 10<2⁶, d’o`u contradiction : il n’y a pas de solution.

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