Nombres-compressibles

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Entiers compressibles

Vincent PANTALONI 5 février 2011

Enoncé :Ce mois-ci Michel Lafond vous invite à jongler avec lesentiers compressibles: Définition. Un nombre entier ayantnchiffres dans le système décimal est dit compressible si on peut l’écrire à l’aide des 4 opérations usuelles, de l’exponentiation, des 10 chiffres mais en utilisant strictement moins denchiffres.

Par exemple243 = 3⁵ et349525 = (2²⁰−1)/3sont compressibles.

Parmi l’ensemble des nombres entiers positifs compressibles, trouver :

① le plus petit nombre,

② les nombres premiers inférieurs à 2011,

③ la plus petite factorielle,

④ le plus petit nombre triangulaire et

⑤ le plus petit multiple de 2011.

Démontrer enfin que 123456789 et 9876543210 sont tous deux compressibles.

Solution :. . . . NotonsC l’ensemble des nombres compressibles. Les lettresa,b, c,d, désignent un des 10 chiffres.

① Le plus petit élément deC a nécessairement trois chiffres, et pour écrire un nombre supérieur à 100 avec deux chiffres, on cherche une puissance. C’est donc . . . 125 = 5³

② les nombres premiers ne pouvant s’écrire comme un produit, il faudra utiliser une somme, or a±b ne peut pas être une compression, on passe donc àa^b±c avec au moins 4 chiffres. On cherche donc les nombres premiers compris entre 1000 et 2011 qui peuvent sécrire sous cette forme. Les seules puissances de la forme a^b comprises entre 1000 et 2011 sont 4⁵ = 1024et 6⁴= 1296. D’où la liste :

Premier 1019 1021 1031 1033 1289 1291 1297 1301 1303 Compressé 4⁵−5 4⁵−3 4⁵+ 7 4⁵+ 9 6⁴−7 6⁴−5 6⁴+ 1 6⁴+ 5 6⁴+ 7

③ La plus petite factorielle : . . . 9! = 8×(6⁶−6⁴)

④ le plus petit nombre triangulaire : . . . T⁴⁹=49×50

2 = 1225 = 35²

⑤ le plus petit multiple de 2011. . . 57×2011 = 114627 = 7×4⁷−61 Et enfin :

N1= 123456789 = 10¹⁰−91

9² et N2= 9876543210 = 5×(15⁵+ 67)×51²=8×10¹¹+ 10 9² Pour N1 j’ai remarqué que9×N1= 1111111101 et donc que 9N¹−1

100 = 10⁸−1 9

PourN²j’ai utilisé sa décomposition en produit de facteurs premiers :N²= 2×5×3²×17²×379721.

Et doncN²= (3×17)²×3797210. Ensuite j’ai cherché à compresser 3797210.

Or :3797210 = 3⁵×5⁶+ 335 = 5×(15⁵+ 67). L’autre compression similaire à celle deN¹provient de9N2= 88888888890 = 10×(8888888888 + 1) = 10×(8×10¹⁰−1

9 + 1) =8×10¹¹+ 10 9

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