19/9/06

(1)

3. Mesure de Haar sur un groupe compact (suite)

Définition 3.8. — Soit (X, d) un espace m´etrique, A une partie born´ee de X.

On note δ(A) son diam`etre, c.-`a-d.,

δ(A) = sup{d(x, y)|x, y∈A}.

Lemme 3.9. — 1)Soient X un espace métrique, A une partie bornée de X, et A son adhérence. Alors δ(A) =δ(A).

2) SoientV un espace vectoriel normé, A une partie bornée, C l’enveloppe convexe de A. Alors Cest un convexe borné et

δ(A) =δ(C) =δ(C).

D´emonstration. — 1) Il est clair que δ(A) 6 δ(A). R´eciproquement, soient ε >0 etx, y∈A. Il existe x⁰, y⁰ ∈A tels qued(x, x⁰) +d(y, y⁰)< ε, alors

d(x, y)6d(x⁰, y⁰) +ε6δ(A) +ε.

Commex, y∈A sont arbitraires, il en résulteδ(A)6δ(A) +ε. Puisque εest arbitraire, il vient δ(A)6δ(A), d’où l’égalité.

2) Montrons que δ(C) 6 δ(A). Soient x₁, . . . , x_m, y₁, . . . , y_n ∈ A et t₁, . . . , t_m, s₁, . . . , s_n ∈ [0,1] tels que P

it_i = 1 = P

js_j. Utilisant ces deux

´egalit´es, on obtient kX

i

t_ix_i−X

j

s_jy_jk6X

i

t_ikx_i−X

j

s_jy_jk

6X

i

t_iX

j

s_jkx_i−y_jk6δ(A).

(0)version du 19/9/06

(2)

Ceci montre que C est borné etδ(C) =δ(A). Alors, d’après le point 1),δ(C) = δ(C). Enfin, C est convexe d’après le lemme 3.7.

Lemme 3.10. — Soient(X, d) un espace métrique borné etGune famille équi- continue de transformations de X. Pour tout x∈X, soit

δ_G(x) :=δ(Gx)

le diam`etre de Gx. Alors, l’application x7→δ_G(x) est continue.

Démonstration. — Soient x₀ ∈X et ε >0. Par équicontinuité de G, il existe η >0 tel que :

∀g∈G,∀x∈X, d(x, x₀)< η ⇒d(g(x)−g(x₀))< ε/2.

Supposons d(x, x₀)< η et soientg, g⁰ ∈G. Alors d(g(x), g⁰(x))6 ε

2+d(g(x₀)g⁰(x₀)) + ε 2.

On obtient donc queδ_G(x)6δ_G(x₀) +ε, et de mˆemeδ_G(x₀)6δ_G(x) +ε, pour toutx∈X tel que d(x, x₀)< η. Ceci prouve la continuit´e de δ_G.

Théorème 3.11(Kakutani). — Soient V un espace vectoriel norm´e, C un convexe compact non vide, et G un groupe ´equicontinu de transformations affines de C.

1)Siδ(C)>0, c.-`a-d., siCcontient au moins deux points, il existe un sous- ensemble non-vide, G-stable, compact et convexe, A⊂Ctel que δ(A)< δ(C).

2)Par cons´equent, G a un point fixe dans C.

D´emonstration. — 1) Supposons δ(C) > 0. Comme G est ´equicontinu et C compact, il existeη >0 tel que

(1) ∀g∈G,∀x, y∈C, kx−yk< η ⇒ kg(x)−g(y)k6 1 2δ(C).

Comme C est compact, il existey₁, . . . , y_n∈C tels que

(2) C⊆

[n i=1

B(y_i, η).

Posonsy= (y₁+· · ·+y_n)/net soient c∈C etg∈G arbitraires. D’apr`es (2), il existe i₀ tel quekg⁻¹(c)−y_i₀k< η, et donc, d’apr`es (1),

kc−g(y_i₀)k6 1 2δ(C).

Alors

kc−g(y)k6 1 n

Xn i=1

kc−g(y_i)k6 δ(C) n

µ

(n−1) +1 2

¶ .

(3)

Il en r´esulte, en particulier, que Gy est de diam`etre δ⁰ 6(1−1/2n)δ(C)< δ(C).

Soit A l’adhérence de l’enveloppe convexe de Gy. Alors A est un convexe non- vide, G-stable, et de diamètreδ⁰, d’après le lemme 3.9. D’autre part, étant un fermé de C qui est compact, A est compact. Ceci prouve le point 1).

Le point 2) en d´ecoule. En effet, d’apr`es le lemme 3.10, l’application c 7→

δ(Gc) est continue, donc atteint sur le compact C son minimum en un point c₀, etc₀ est un point fixe de G si δ(Gc₀) = 0.

Supposonsδ(Gc₀)>0 et soit X l’adhérence de l’enveloppe convexe de Gc₀. D’après le corollaire 3.6 et le lemme 3.9, X est G-stable, compact, et de dia- mètre δ(Gc₀) > 0. D’après le point 1), il existe une partie G-stable non-vide A⊂X telle que δ(A)< δ(X). Alors, pour tout a∈A, on a

δ(Ga)6δ(A)< δ(X) =δ(Gc₀),

une contradiction. Doncδ(Gc₀) = 0, c.-à-d., c₀ est un point fixe. Le théorème est démontré.

3.4. Mesures de Radon. — Soit X un espace compact.

Définition 3.12. — On note C(X) l’espace des fonctions continuesf : X→C, muni de la norme

kfk:= sup

x∈X

|f(x)|.

On ´ecrit f >0 sif est `a valeurs dans R₊.

Définition 3.13. — Soit ν : C(X) → C une forme lin´eaire. On dit que ν est positivesiν(f)>0 pour tout f >0.

Lemme 3.14. — Soit ν: C(X)→Cune forme lin´eaire positive.

1)Si f ∈C(X) est `a valeurs r´eelles, alors ν(f)∈R.

2)Pour tout f ∈C(X), on a

|ν(f)|6ν(|f|)6ν(1_X)kfk,

(o`u 1_X d´esigne la fonction de valeur constante1). Donc ν est continue.

Démonstration. — 1) Soit f ∈C(X) à valeurs réelles. Posons f⁺= max{f,0}, f⁻= max{−f,0}.

Alorsf⁺etf⁻ sont continues, `a valeurs dansR₊, et l’on af =f⁺−f⁻. Donc ν(f) =ν(f⁺)−ν(f⁻) appartient `aR.

2) Posons ν(f) =re^−iθ et soientg=e^iθf et u= (g+g)/2,v= (g−g)/2i.

Alorsu etv sont continues et `a valeurs r´eelles, et l’on a

|ν(f)|=r=e^iθν(f) =ν(e^iθf) =ν(g) =ν(u) +iν(v).

(4)

Commeν(u), ν(v)∈Rd’apr`es 1), il vientν(v) = 0, d’o`uν(f) =ν(u). De plus, on a

u6|f|6kfk ·1_X, d’o`u

|ν(f)|=ν(u)6ν(|f|)6ν(1_X)kfk.

Le lemme est d´emontr´e.

Définition 3.15. — Unemesure de Radonsur X est une forme lin´eaire continue ν: C(X)→C. On dit queν est positivesiν(f)>0 pour tout f >0.

D’après le lemme précédent, toute forme linéaire positive est continue, donc est une mesure de Radon positive.

Remarque 3.16. — Soit X un espace compact X. Se donner une mesure de Radon positive sur X permet d’avoir une bonne théorie de l’intégration sur X. De fa¸con plus précise, on a une correspondance bijective entre mesures de Radon positives et mesures de Borel positives régulières, voir par exemple [Ru75, Chap. 2].

3.5. Mesure de Haar sur un groupe compact. — Soit G un groupe compact. Alors C(G) est un espace de Banach, et G y opère linéairement par les translations à gauche L_g et à droite R_g :

(L_gφ)(x) =φ(g⁻¹x), (R_gφ)(x) =φ(xg).

On a

kL_gφk= sup

x∈G

|φ(x)|=kφk,

donc chaque L_gest une isométrie, et de même pour R_g. Donc les familles L_G= {L_g |g ∈G} et R_G sont équicontinues. D’autre part, notonsφ^∨ l’application g7→φ(g⁻¹).

Théorème 3.17. — Soit G un groupe compact. Il existe une unique mesure de Radon positive M : C(G)→C, de masse totale1, c.-à-d., telle que M(1) = 1, et qui estG-invariante à gauche, c.-à-d.,

(1) ∀g∈G,∀φ∈C(G), M(L_gφ) = M(φ).

De plus, Mest aussi invariante `a droite :

(2) ∀g∈G,∀φ∈C(G), M(R_gφ) = M(φ), et invariante par inversion :

(3) M(φ^∨) = M(φ).

On note M(φ) =R

Gφ(g)dg. Alors, on a les ´egalit´es :

∀h∈G, Z

G

φ(g)dg= Z

G

φ(h⁻¹g)dg = Z

G

φ(gh)dg= Z

G

φ(h⁻¹gh)dg

(5)

et Z

G

φ(g)dg= Z

G

φ(g⁻¹)dg.

Démonstration. — Soit φ∈ C(G), et soit C = C_φ l’adhérence dans C(G) de l’enveloppe convexe de L_Gφ. D’abord, comme l’application (g, x) 7→ φ(g⁻¹x) est uniformément continue sur le compact G×G, l’application

G−→C(G), g7→L_gφ

est continue. Par conséquent, son image L_Gφ est compacte. Donc, d’après le théorème 3.5, C est un convexe compact G-stable.

L’action de G est équicontinue puisque chaque L_g est une isométrie. Donc, d’après le théorème du point fixe de Kakutani, C contient une fonction ψ qui est invariante par L_G, et est donc une constantec.

De mˆeme, il existe une fonction constantec⁰ dans l’adh´erence C⁰ de l’enveloppe convexe de R_Gφ. Montrons quec=c⁰.

Soit ε >0. Il existeg₁, . . . , g_m ∈G, et a₁, . . . , a_m>0 tels queP

a_i = 1 et

(4) ∀g∈G, |c−X

i

a_iφ(g_i⁻¹g)|< ε.

De mˆeme, il existeh₁, . . . , h_n∈G, et b₁, . . . , b_n>0 tels queP

b_j = 1 et

(5) ∀g∈G, |c⁰−X

j

b_jφ(gh_j)|< ε.

Dans (4), prenons g = h_j, multiplions par b_j et sommons pour j = 1, . . . , n.

CommeP

b_j = 1, on obtient

(6) |c−X

j,i

b_ja_iφ(g⁻¹_i h_j)|< ε.

De mˆeme, dans (5), prenons g = g⁻¹_i , multiplions par a_i et sommons pour i= 1, . . . , m. CommeP

a_i = 1, on obtient

(7) |c⁰−X

i,j

a_ib_jφ(g_i⁻¹h_j)|< ε.

Il r´esulte de (6) et (7) que |c−c⁰|<2ε, ceci pour tout ε >0. Donc,c=c⁰. Il en r´esulte quec est l’uniquepoint fixe de L_G dans C ; en effet, si c₁ en est un autre, alorsc₁ =c⁰ =c. (Joli, n’est-ce pas ?) C’est aussi l’unique point fixe de R_G dans C⁰.

Donc, `a chaqueφ∈C(G), on associe un scalaire M(φ)∈C, qui est l’unique fonction constante contenue dans l’adh´erence de l’enveloppe convexe de L_Gφ, resp. de R_Gφ.

(6)

Il r´esulte de la construction que M(φ)∈R₊ si φ>0, que M(1) = 1, et que M(L_gφ) = M(φ) = M(R_gφ), ∀g∈G.

Montrons que M est lin´eaire. Il r´esulte de la construction que M(aφ) = aM(φ) pour tout a∈C. Montrons que

(∗) M(φ+ψ) = M(φ) + M(ψ).

Soit ε >0. Il existeg₁, . . . , g_m ∈G, et a₁, . . . , a_m>0 tels queP

a_i = 1 et (8) ∀g∈G, |M(φ)−X

i

a_iφ(g⁻¹_i g)|< ε.

Posons, pour toutg∈G,

θ(g) =X

i

a_iψ(g_i⁻¹g).

Alorsθ∈C_ψ et donc C_θ ⊆C_ψ. Comme M(ψ) est l’unique fonction constante contenue dans C_ψ, on obtient M(θ) = M(ψ). Donc il existe h₁, . . . , h_n∈G, et b₁, . . . , b_n>0 tels queP

b_j = 1 et

∀g∈G, |M(ψ)−X

j

b_jθ(h⁻¹_j g)|< ε,

c.-`a-d.,

(9) ∀g∈G, |M(ψ)−X

j,i

b_ja_iψ(g⁻¹_i h⁻¹_j g)|< ε.

Or, rempla¸cant dans (8) g par h⁻¹_j g, multipliant par b_j et sommant pour j= 1, . . . , n, on obtient

(10) ∀g∈G, |Mφ−X

j,i

b_ja_iφ(g⁻¹_i h⁻¹_j g)|< ε.

De (9) et (10) on déduit que les éléments h_jg_i ∈ G et a_ib_j ∈ [0,1] vérifient P

i,ja_ib_j = 1 et

(11) ∀g∈G, |M(φ) + M(ψ)−X

j,i

b_ja_i(φ+ψ)((h_jg_i)⁻¹g)|<2ε.

Commeεest arbitraire, il en résulte que M(φ) + M(ψ)∈C_φ+ψ, d’où M(φ) + M(ψ) = M(φ+ψ). Ceci prouve la linéarité de M. Donc, M est une mesure de Radon positive, de masse totale 1, et elle vérifie les conditions (1) et (2) du théorème.

Si M⁰ : C(G)→Cest une forme linéaire positive invariante par L_G, et telle que M⁰(1) = 1, on a nécessairement M⁰ = M. En effet, soit φ∈ C(G) et soit ε >0. Comme la fonction constante M(φ) est dans l’adhérence de l’enveloppe

(7)

convexe de L_Gφ, il existe g₁, . . . , g_m ∈G, et a₁, . . . , a_m >0 tels que P a_i = 1 et

(†) kM(φ)−X

i

a_iL_g_iφk< ε.

Posonsγ = M(φ)−P

ia_iL_g_iφ. Comme M⁰ est L_G-invariante et v´erifie M⁰(1) = 1, alors (†) entraˆıne, d’apr`es le lemme 3.14,

|M(φ)−M⁰(φ)|=|M⁰(γ)|6M⁰(1)· kγk6ε,

d’où,εétant arbitraire, M⁰(φ) = M(φ). Ceci montre que M est l’unique mesure de Radon positive, de masse totale 1, qui soit invariante à gauche (resp. à droite).

Enfin, posons M⁰(φ) = M(φ^∨). C’est une mesure de Radon positive, de masse totale 1, qui v´erifie (1) et (2). Donc M⁰ = M, c.-`a-d., M est invariante par inversion. Ceci prouve (3).

Soit k : G×G → C une fonction continue. Pour x ∈ G, la fonction y 7→

k(x, y) est continue, et l’on pose K(x) =

Z

G

k(x, y)dy, K⁰(y) = Z

G

k(x, y)dx.

Alors K et K⁰ sont continues, puisque k est uniformément continue sur le compact G×G. On peut donc considérer les intégrales

Z

G

K(x)dx et Z

G

K⁰(y)dy.

Corollaire 3.18(Théorème de Fubini). — On a Z

G

K(x)dx= Z

G×G

k(x, y)dxdy = Z

G

K⁰(y)dy.

Démonstration. — Montrons la première égalité. Soitε >0. Il existe desg_i et h_j dans G et dess_i, t_j >0 tels queP

is_i= 1 =P

jt_j et

∀y∈G, |K(x)−X

i

s_ik(x, g_i⁻¹y)|< ε/2,

∀x∈G,

¯¯

¯¯ Z

G

K(g)dg−X

j

t_jK(h⁻¹_j x)

¯¯

¯¯< ε/2.

Donc, les éléments (h_j, g_i) de G×G ett_js_i >0 vérifientP

i,jt_js_i= 1 et

∀(x, y)∈G×G,

¯¯

¯¯ Z

G

K(g)dg−X

i,j

s_it_jk(h⁻¹_j x, g_i⁻¹y)

¯¯

¯¯< ε.

(8)

Ceci montre que le scalaire R

GK(g)dg est dans l’adh´erence de l’enveloppe convexe de L_G×Gk, d’o`u

Z

G

K(g)dg= Z

G×G

k(x, y)dxdy.

Ceci prouve la première égalité, et la seconde s’obtient de fa¸con analogue.

4. Représentations unitaires et théorème de Peter-Weyl

4.1. Représentations continues. — Soit V un C-espace de Banach. On note Aut(V) le groupe des automorphismes de V, c.-à-d., des applications linéaires bijectives et bicontinuesf : V−→^∼ V. D’après le théorème de l’application ouverte, toute application linéaire continue et bijective V →V est bi- continue (c.-à-d., son inverse est également continue), voir par exemple [Ru75, Thm. 5.10]. Donc, Aut(V) est le groupe des applications linéaires continues bijectives.

Définition 4.1. — Soit G un groupe topologique. Unerepr´esentation conti- nuede G dans l’espace de Banach V est la donn´ee d’un morphisme de groupes π : G→Aut(V) tel que l’application

µ: G×V−→V, (g, v)7→π(g)v soit continue.

On dit queπ est topologiquement irréductible si V ne possède pas de sous- espaceferméG-stable autre que {0} et V.

On rappelle que sur un espace vectoriel complexe ou réel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, et tout sous-espace est complet donc fermé.

Par conséquent, une représentation de dimension finie est topologiquement irréductible si et seulement si elle est (algébriquement) irréductible.

Supposons que G soit un groupe compact. On peut tirer un premier b´en´efice de la construction de la mesure de Haar sur G.

Proposition 4.1. — Soit G compact. Toute représentation continue de dimen- sion finie est somme directe de représentations continues irréductibles.

Démonstration. — On suit pas à pas la démonstration dans le cas o`u G est fini. Choisissant une base de V, on identifie V =Cⁿ. On munit V du produit scalaire hermitien usuel, qu’on désigne parh−,−i. Pourx, y∈V, l’application g7→ hgx, gyi est continue ; on pose

(x, y) = Z

G

hgx, gyidg.

(9)

Alors (−,−) est hermitien sym´etrique, et il est d´efini positif puisque pour x6= 0 on a

(x, x) = Z

G

hgx, gxidg >0.

Donc (−,−) est un nouveau produit scalaire hermitien sur V. De plus, il est G-invariant, par invariance de la mesure de Haar. En effet, pour tout h∈G, on a

(hx, hy) = Z

G

hghx, ghyidg = Z

G

hgx, gyidg = (x, y).

La norme définie par ce produit scalaire est équivalente à la norme initiale, et si W un sous-espace G-stable de V, alors l’application G×W→W, obtenue par restriction, est continue. Le reste de la démonstration est alors identique au cas où G est fini.

4.2. Repr´esentations unitaires. —

Définition 4.2. — Soit H un espace de Hilbert, de dimension finie ou infinie. Un opérateur linéaireu: H→H est dit unitaires’il préserve le produit scalaire, c.-à-d., si (u(x), u(y)) = (x, y) pour toutx, y∈H. Dans ce cas, ku(x)k=kxk pour toutx, donc uest une isométrie et est continu.

Réciproquement, siuest une isométrie, alorsupréserve le produit scalaire, car en calculant

ku(x+y)k et ku(x−iy)k

on voit que (ux, uy) a la mˆeme partie r´eelle et imaginaire que (x, y).

Si u est un opérateur unitaire bijectif, l’application inverse est aussi unitaire, donc une isométrie et a fortiori continue. On notera U(H) le groupe des opérateurs unitaires bijectifs.

Si G est un groupe compact, on a vu que toute représentation continue de dimension finie de G peut être munie d’un produit scalaire hilbertien G- invariant, c.-à-d., d’une structure d’espace de Hilbert pour laquelle G agit par des opérateurs unitaires. D’autre part, les espaces de Hilbert sont les espaces vectoriels normés de dimension infinie qui sont les plus proches des espaces de dimension finie. Ceci conduit à étudier, pour un groupe topologique G quelconque, les représentations de G par des transformations unitaires dans un espace de Hilbert H. Il faut aussi tenir compte de la topologie de G, c.-à-d., demander que l’action de G sur H soit continue.

Définition 4.3. — Soit G un groupe topologique. Une repr´esentation unitaire de G dans un espace de Hilbert H est la donn´ee d’un morphisme de groupes π: G→U(H) tel que l’application

µ: G×H−→H, (g, v)7→π(g)v

(10)

soit continue. En fait, il suffit de demander que, pour toutx₀∈H, l’application g7→π(g)x₀ soit continue en 1, l’´el´ement neutre de G.

En effet, supposons cette condition vérifiée et soit ε > 0. Par hypothèse, il existe un voisinage V de 1 dans G tel que

∀h∈V, k(π(h)−id)x₀k< ε/2.

Soit g₀ ∈ G arbitraire. Alors, pour tout g ∈ g₀V et x ∈ B(x₀, ε/2) on a, puisque π(g) et π(g₀) sont des isom´etries :

kπ(g)x−π(g₀)x₀k6kπ(g)(x−x₀)k+kπ(g₀)(π(g⁻¹₀ g)−id)x₀k6 ε 2 +ε

2 =ε.

Ceci prouve queµ est continue en (g₀, x₀).

4.3. Op´erateurs compacts. —

Définition 4.4. — Soient E,F deux espaces de Banach etu: E→F un opéra- teur linéaire. On dit que uest compactsi l’image par u de la boule unité de E a une adhérence compacte.

Définition 4.5. — Soit H un espace de Hilbert, et K : H → H un op´erateur lin´eaire continu. On dit que K est auto-adjointsi l’on a :

∀x, y∈H, (Kx, y) = (x,Ky).

On a le théorème suivant, de décomposition spectrale pour les opérateurs compacts auto-adjoints.

Théorème 4.6. — SoientHun espace de Hilbert etK6= 0un op´erateur compact auto-adjoint. Alors :

1)Les valeurs propres deK sont r´eelles et les espaces propresH_λ sont deux

`a deux orthogonaux. De plus, K a pour valeur propre ±kKk 6= 0.

2) dim_CH_λ <∞ si λ6= 0, et pour tout ε >0, il n’y a qu’un nombre fini de valeur propresλ telles que |λ|>ε; c.-`a-d., l’espace

M

|λ|>ε

H_λ est de dimension finie.

3)L

λH_λ est dense dans H.

D´emonstration. — Voir [BtD, III.2.6] ou [Zi,§3.2].

Fin de la s´eance du 19/9

(11)

4.4. Op´erateurs `a noyaux. —

Théorème 4.7(Ascoli). — Soit X un espace compact etΦun sous-ensemble de C(X). On suppose que Φest ´equicontinu et que pour tout x∈X, l’ensemble

Φ(x) :={φ(x)|φ∈Φ}

est une partie bornée de C. Alors, Φ est totalement borné dans C(X), donc son adhérence est compacte.

D´emonstration. — Voir par exemple [Di81, 6.3.1] ou [Ru73, Appendix, A5].

Soit G un groupe compact. Sur C(G), on peut introduire le produit scalaire hermitien

(φ, ψ) = Z

G

φ(g)ψ(g)dg, et donc la norme kφk₂ =p

(φ, φ). On note L²(G) le compl´et´e de C(G) pour cette norme. Alors l’inclusionτ : C(G),→L²(G) est continue et son image est dense dans L²(G).

Pour toutφ∈L²(G), la forme lin´eaire

(−, φ) : L²(G)−→C, ψ7→(ψ, φ) est continue, car

(1) |(ψ, φ)|6kφk₂· kψk₂ d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Soit k ∈ C(G×G). Pour chaquex ∈ G, l’application k_x :y 7→ k(x, y) est continue ; de plus, commekest uniform´ement continue sur le compact G×G, alors l’application

G−→C(G), x7→k_x est continue. Pour tout φ∈L²(G), d´efinissons K(φ) par

(2) K(φ)(x) =

Z

G

k(x, y)φ(y)dy= (k_x, φ).

D’après ce qui précède, K(φ) est une fonction continue. On a donc défini un opérateur linéaire

K : L²(G)−→C(G),→L²(G).

Lemme 4.8. — 1)L’op´erateurK : L²(G)→L²(G) est compact.

2)Si de plus k v´erifiek(y, x) =k(x, y), alors K est auto-adjoint.

(12)

D´emonstration. — 1) Posons M =kkk_∞= sup_(x,y)∈G×G|k(x, y)|. Alors, pour toutx∈G, on akk_xk₂6M. Combinant ceci avec (2) et (1), on obtient

|K(φ)(x)|6M· kφk₂. Il en r´esulte que la famille de fonctions

F :={K(φ)| kφk₂ 61}

est équicontinue et uniformément bornée. Donc, d’après le théorème d’Ascoli, son adhérence F dans C(G) est compacte. Comme l’inclusion τ : C(G) ,→ L²(G) est continue, alorsτ(F) est compact et co¨ıncide donc avec l’adhérence de F dans L²(G). Ceci montre que K est compact.

2) On a

(K(φ), ψ) = Z

G

K(φ)(y)ψ(y)dy= Z

G

µZ

G

k(y, x)φ(x)dx

¶

ψ(y)dy, et d’après le théorème de Fubini (3.18), ceci égale

Z

G×G

k(y, x)φ(x)ψ(y)dxdy.

On montre de mˆeme que (φ,K(ψ)) =

Z

G

φ(x) µZ

G

k(x, y)ψ(y)dy

¶ dx=

Z

G×G

k(x, y)φ(x)ψ(y)dxdy, et l’assertion 2) en d´ecoule.

(13)

Bibliographie

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