CALCUL DU MASCARET SUR MACHINE ÉLECTRONIQUE

INTUMESCENCES

SOCIÉTÉ HYDROTECHNIQUE DE FRANCE 1 5 juin 1 9 6 1

Calcul du mascaret sur machine électronique

Tidal bore calculation on an electronic computer

A . P B E I S S M A N N

TAR

E T J . A . C U N G E

INGÉNIEURS A LA SOCIÉTÉ GRENOBLOISE D'ÉTUDES ET INAPPLICATIONS HYDRAULIQUES (SOGREAH)

Difficultés de principe rencontrées dans la ré- solution numérique des équations de Saint- Venant par ta méthode aux différences finies lorsque Vécoulement devient discontinu. Intro- duction d'une « pseudo-viscosité » reproduisant approximativement la perte de charge due au ressaut mobile et, donc, l'évolution du mascaret.

Premiers calculs systématiques sur des exem- ples schématiques dégageant l'influence des divers facteurs qui peuvent influer sur la for- mation et la propagation du mascaret.

Fundamental difficulties encountered in the numerical resolution of Saint-Venant's équa- tions by the finite différence method, in the case of discontinuons ftow conditions. Introduc- tion of a "pseudo uiscosity" as an approximate représentation of the loss of head due to the travelling surge wave—and hence the develop- ment of the bore. Preliminary systematic cal- cuîations on simplified examples shoiving up the various factors liable to affect the forma- tion and propagation of the bore.

L — INTRODUCTION La SOGREAH a établi divers programmes de

calcul des intumescences dans les canaux et rivières qui, tous, sont basés sur îa résolution en différences finies des équations de l'écoulement non stationnaire de Saint-Venant. Or, on sait que, dans certains cas, l'écoulement dans les canaux peut être discontinu. Le cas peut se pré- senter, par exemple dans les canaux d'amenée et de fuite d'usines hydroélectriques lors de manœuvres brusques. Dans ce cas, on observe des fronts d'onde extrêmement raides qui se pro- pagent assez loin sans se déformer sensiblement.

Remarquons que ce sont toujours les ondes posi- tives qui sont raides. On constate que le front d'onde d'une onde négative s'étale toujours. On retrouve ces résultats p a r le calcul : en effet, on peut écrire les équations de la quantité de mouvement pour une discontinuité et on obtient une relation entre les divers paramètres, que nous appellerons la condition du ressaut, vala- ble au voisinage de la discontinuité. On peut établir le bilan d'énergie et Ton constate, dans 3e cas d'une onde positive, que le ressaut doit détruire u n e certaine quantité d'énergie. Dans le

cas d'une onde négative, le calcul m o n t r e que si la discontinuité devait être maintenue, il fau- drait que le ressaut fournisse une certaine quan- tité d'énergie, ce qui est physiquement impos- sible.

Les ondes positives à front raide obéissent à des lois particulières comportant une perte de charge singulière à l'emplacement m o m e n t a n é de la discontinuité. Il est donc évident a priori que les p r o g r a m m e s ordinaires de calcul p a r dif- férences finies ne sauraient convenir au cas de discontinuités.

Notons par ailleurs que les discontinuités peu- vent intervenir spontanément dans un tronçon de canal, même lorsque les conditions aux limi- tes qui définissent le problème ne présentent aucune discontinuité. C'est le cas précisément du mascaret.

L'apparition du mascaret est essentiellement dû à la non-linéarité des équations de Saint- Venant. L'apparition d'une discontinuité est strictement impossible avec l'approximation linéaire.

Nous n'avons pas essayé, pour traiter les

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1961045

OCTOBRE 1 9 6 1 - N " 5 A. P R E I S S M A N N ET J . A. C U N G E 589

écoulements discontinus, une méthode qui consis- terait à localiser p a r des tests la présence de discontinuités et de traiter par u n sous-pro- gramme particulier les points de discontinuité.

Nous n'avons fait que reprendre une méthode utilisée récemment dans le problème analogue des ondes de choc des gaz compressibles, que nous avons adaptée à notre problème particulier.

IL — L'ÉCOULEMENT DES G A Z EN CONDUITES

On connaît depuis longtemps l'analogie entre l'écoulement de gaz en conduites et l'écoulement de l'eau dans les canaux.

Le phénomène du mascaret des écoulements en rivière correspond, dans la dynamique des gaz, aux ondes de choc caractérisées par une dis- continuité de la pression et de la densité. Or, depuis quelque temps, on a utilisé pour l'étude des ondes de choc une méthode due à von Neu- m a n n et Richtmyer, que nous avons à peine modifiée de façon à l'adapter à l'étude de l'écou- lement de liquides pesants dans u n canal. Afin de simplifier r é c r i t u r e , nous allons écrire les équations du mouvement, d'une p a r t pour u n gaz dans une conduite de section constante, d'au- tre p a r t d a n s u n canal horizontal p r i s m a t i q u e

de section rectangulaire en négligeant le frotte- ment. E n coordonnées d'Euler, nous avons, dans le premier cas ;

3

dt JL dt d^

dt

+ u dx

dx

du

i dp

P dx ^{( D}

I 3

+ Ud ï

E =

9 dx o représente la densité du gaz;

u sa vitesse d'écoulement;

p sa pression;

E son énergie interne spécifique.

Dans le deuxième cas, nous avons :

dt dt

dx h = — h dx

JL

(2)

h représente la profondeur de l'eau;

v la vitesse d'écoulement.

On constate l'analogie entre les systèmes (ï) et (2) en faisant correspondre u k v, ç à h et p à

<7(/î

/2). Quant à la troisième des équations (1), elle exprime que l'augmentation de l'énergie interne d'une masse de fluide est égale au travail

extérieur. En faisant correspondre E à (gh/2) (énergie potentielle), l'analogue de la troisième équation (1) est identiquement satisfaite. Dans le système (1), il est possible de se passer de la troisième équation en admettant que p est une fonction univoque de p. Dans notre analogie cela correspondrait à la loi p v o

Les lois (1) et (2) sont valables lorsque le mou- vement est continu; lorsqu'une discontinuité intervient, il est possible d'écrire les équations relatives à îa continuité de la masse et à la con- tinuité de îa quantité de mouvement. Par exem- ple, pour les discontinuités en canal, on trouve îa condition (l'indice 1 se rapporte à l'aval, l'in- dice 2 à l'amont) :

pour une discontinuité se déplaçant à la vitesse

c==

iMs~dhîh.

)

Il convient d'observer que, dans le cas de la discontinuité, il n'est pas possible d'assimiler E à l'énergie potentielle (gh/2) sans enfreindre la loi de conservation de l'énergie. Le mouvement discontinu est accompagné d'une dissipation qui n'existe pas en mouvement continu. On conçoit donc que l'utilisation d'un programme de cal- cul prévu pour le mouvement continu donne des résultats aberrants lorsqu'une discontinuité se présente.

On pourrait naturellement tenter en cours de calcul de repérer la discontinuité et d'appliquer comme condition de passage la formule (3), la formule (4) permettant de déterminer le dépla- cement de la discontinuité pour un intervalle de temps donné et de préparer ainsi le pas de calcul suivant. Nous n'avons pas suivi celte voie qui conduit certainement à des complications sensibles dans la programmation.

L'idée de von Neumann et Richtmyer con- siste à introduire dans les équations (1) ou (2) u n terme supplémentaire (pseudo-viscosité) qui ;

— n'affecte que très peu l'écoulement dans les

parties où il reste continu;

5 9 0 LA H O U I L L E B L A N C H E N ° 5 - OCTOBRE 1961

FIG. 1

Calcul d'une onde à front r a i d e sans pseudo-viscosité.

100 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 m

FIG. 2

Calcul d'une onde â front r a i d e avec pseudo-viscosité.

OCTOBRE 1961 - N* 5 A. P R E I S S M A N N ET J. A. C U N G E 591

— provoque la perte de charge correcte aux discontinuités.

Les équations (2) prennent alors la forme : / d , d \

, du

( — + v — ) h = — h

\dt dx dx

( d . d\

d t

d ^ )

1 d \(gh

/2)+q]\

h dx

' (20

Le terme additionnel de pseudo-viscosité est donné p a r :

dvV dx

0

. du

Sî

dx~

dx 0 Les calculs théoriques effectués — pour l'écou- lement des gaz — confirment la possibilité d'uti- liser la pseudo-viscosité pour reproduire approxi- mativement les écoulements discontinus, E n fait, les écoulements qui résultent du calcul sont des écoulements continus. Au lieu d'une dis- continuité franche, la variation de pression se manifeste sur une longueur de l'ordre de gran- deur du coefficient l introduit de façon arbitraire dans l'expression de la pseudo-viscosité.

Si on veut résoudre les équations (2') par dif- férences finies, il semble justifié de choisir

l — n A.r.

— n étant égal à 2 ou 3 ;

— &x représentant l'intervalle de longueur.

Afin d'expérimenter la méthode dans le cas de la propagation d'intumescences, nous avons pro- cédé au calcul d'un cas schématique en modi- fiant légèrement notre p r o g r a m m e général par l'introduction du terme de pseudo-viscosité. Il s'agit d'un canal rectangulaire prismatique horizontal long de 600 m et de 1 m de large. La résistance à l'écoulement était posée égale à zéro.

Les conditions initiales sont caractérisées par une profondeur constante de 1 ni et une vitesse également constante de 1 m / s . Nous avons imposé à l'amont du canal le maintien du débit à 1 m

/ s et à l'aval une montée relativement rapide de la profondeur de 1 m à 2 in, puis son maintien à cette valeur. Les résultats sont con- signés dans les figures 1 et 2. La figure 1 montre les résultats qu'on obtient avec le p r o g r a m m e habituel. On r e m a r q u e que lorsque le front d'onde devient raide, il apparaît des oscillations importantes du niveau a m o n t ; le calcul n'a pas pu être poursuivi du fait que la profondeur serait devenue négative. La figure 2 montre les résultats obtenus avec pseudo-viscosité : si la discontinuité n'est pas franche, le caractère essentiel du phénomène est conservé. Les petites oscillations parasites de part et d'autre de la dis- continuité sont inhérentes au procédé utilisé;

elles interviennent également dans les calculs effectués par von N e u m a n n et Richtmyer. Les réflexions aux extrémités du canal donnent les résultats attendus. Notons, après réflexion à l'amont du canal, une onde négative qui ne peut pas se maintenir raide. L'intervalle de temps choisi pour le calcul par différences finies est de 1,5 s, l'intervalle de longueur de 10 m.

III- — ESSAIS D'ÉTUDE D U MASCARET SUR CALCULATRICE ÉLECTRONIQUE E n principe, l'introduction de la pseudo-vis-

cosité doit permettre, sans grandes difficultés de programmation, de traiter le cas d'écoulements discontinus dans des cas concrets lorsque le frottement rugueux est i m p o r t a n t et que les sections varient de forme. Toutefois, il nous faut constater que l'application à l'étude du mascaret du calcul sur machine électronique demande un travail de détail considérable. Nous ne pouvons donc donner ici que des premiers résultats très fragmentaires qui permettent cependant de tirer quelques conclusions d'ordre général.

Les premiers calculs effectués ont eu pour but de m o n t r e r l'importance de la rugosité du fond sur l'apparition et la propagation du mascaret.

Nous avons pour cela traité le cas d'un canal rectangulaire de largeur variable, représenté en plan et en coupe longitudinale sur la figure 3.

La longueur totale du canal est de 450 k m ; seuls en réalité nous intéressent les 230 k m aval, l'adjonction du canal à forte pente de 230 km ayant pour seul objet d'éviter une réflexion du mascaret. Le coefficient de rugosité de Strickler de la partie amont du canal a été fixé à

celui de la partie aval a été choisi différent dans

trois essais de calcul. A l'amont, nous avons

imposé un débit constant. La marée d o n n a n t la

condition aval a été choisie sinusoïdale, la pro-

fondeur variant entre 2 m et 8 m avec une

période 12 heures. L'état initial choisi corres-

pondait à un écoulement permanent. Afin d'ob-

tenir des résultats significatifs, nous avons natu-

rellement dû prolonger le calcul et calculer sur

FIG. 3

P l a n et profil en long d u canal r e c t a n g u l a i r e de l a r g e u r v a r i a b l e .

Coefficient de Strickler *. 100

FIG. 4

Influence de la rugosité s u r la p r o p a g a t i o n du m a s c a r e t d a n s u n c a n a l r e c t a n g u l a i r e de l a r g e u r v a r i a b l e .

Coefficient de Strickler ; 80

FIG, 5

Influence de la rugosité sur la p r o p a g a t i o n du m a s c a r e t d a n s un c a n a l r e c t a n g u l a i r e de l a r g e u r v a r i a b l e .

Coefficient de Strickler ; 6 0

Fi g . 6

Influence de la rugosité sur la p r o p a g a t i o n du m a s c a r e t d a n s u n c a n a l r e c t a n g u l a i r e de l a r g e u r v a r i a b l e .

5 9 4 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 5-OCTOBRE 1961

FIG. 7 a

C h e m i n e m e n t du m a s c a r e t d a n s la Severn River.

une durée de 36 heures, c'est-à-dire sur trois marées complètes. Nous avons constaté que cette durée était suffisante, en effet les résultats pour la deuxième et la troisième marées concor- dent pratiquement.

Pour éviter une trop longue durée du calcul, nous avons choisi u n intervalle de longueur Ax de 5 km.

Il a été effectué trois essais pour trois valeurs différentes du coefficient de rugosité k de Stric- kler du tronçon aval. Les figures 4, 5 et 6 mon- trent des lignes d'eau à différents moments pour les valeurs k = 100, k = 80, et k = 60 mV«/s.

On r e m a r q u e r a que le mascaret se forme et se propage pour les faibles rugosités, alors que pour

k = 60 m

V s , il n'est pas possible de déceler les discontinuités.

Il semble donc que, lors de la reproduction du mascaret, soit p a r un modèle mathématique, soit par un modèle réduit hydraulique, il soit fort important de reproduire la perte de charge naturelle. Naturellement, les recherches relati- ves à l'influence de la rugosité sur l'apparition et la propagation du mascaret devront être pour- suivies. E n particulier le choix de l'intervalle de longueur Ax introduit dans le calcul aux diffé-

rences a été dicté p a r des considérations d'éco- nomie; la discontinuité apparaîtrait certaine- ment mieux si l'on avait pu choisir une valeur sensiblement plus faible.

Afin de traiter u n cas qui ressemble à un cas pratique, nous avons repris un travail de M. Abbott relatif à la propagation du mascaret dans l'estuaire de la Severn. E n schématisant assez fortement la forme des sections de la Severn, nous avons procédé au calcul en p r e n a n t un intervalle de longueur égal à 1 k m . Les résul- tats que nous obtenons semblent assez bien con- firmer les vues théoriques de M. Abbott sur la propagation du mascaret. E n particulier, îa figure 7 a montre le cheminement de la disconti- nuité. En abscisse, on reporte la distance comp- tée de l'aval, en ordonnée, l'intervalle de temps entre la basse mer et l'apparition du mascaret.

La figure 7 b m o n t r e l'évolution de la h a u t e u r du mascaret en fonction de l'emplacement. On constate la concordance entre notre calcul et celui de M. Abbott.

Evidemment, il ne s'agit encore que d'une schématisation. Notre calcul a été effectué avec une valeur k = 60 m ^ / s . Pour pousser le cal- cul plus loin, il nous faudrait introduire des données plus complètes en ce qui concerne la forme des sections, la rugosité, la courbe de marée (existences d'harmoniques).

10 20 30

FIG. 7 b

H a u t e u r du m a s c a r e t d a n s la Severn River.

IV. — CONCLUSIONS Il semble bien que l'introduction de la pseudo-

viscosité soit un moyen pratique de traiter les écoulements discontinus. Toutefois, l'expérience que nous avons dans ce domaine n'est pas encore suffisante pour tirer des conclusions définitives.

Nous pensons continuer nos essais de calcul dans deux directions :

1. Nous continuerons les essais systématiques destinés à déterminer l'influence de divers fac- teurs sur l'apparition et la propagation du mas-

caret : rugosité, forme de l'estuaire, présence d'harmoniques dans la courbe de m a r é e ;

2. Nous tenterons de reproduire p a r le calcul le mascaret naturel dans quelques cas typiques, de façon à nous assurer qu'il est possible, en utilisant les données topographiques et hydro- graphiques, de reproduire l'évolution réelle du mascaret.

A ce sujet nous devons constater que l'Ordi-

nateur IBM 650 dont dispose actuellement la

OCTOBRE 1 9 6 1 - N ° 5

A. PREISSMANN ET J. A. CUNGE

SOGREAH et qui est d'une rapidité moyenne p a r m i les calculateurs électroniques, n'est pas suffisant pour permettre une investigation vrai- ment systématique. E n effet, dans la méthode von Neumann et Richtmyer, il convient de choi- sir l'intervalle de longueur Ax assez petit, de

façon à bien localiser l'emplacement du masca- ret ce qui oblige également à choisir un inter- valle de temps Af également faible. Le temps de calcul est loin d'être négligeable. L'utilisation de calculateurs électroniques plus rapides sem- ble donc s'imposer.

Bibliographie

[1] H. FAVRE. — E t u d e t h é o r i q u e et e x p é r i m e n t a l e des value p r o b ï e m s . Interscience Publishers, New York, ondes de t r a n s l a t i o n d a n s les c a n a u x découverts. 1957.

Dunod, P a r i s , 1935. [3} M. R . ABBOTT. — A t h e o r y of the propagation of bores in c h a n n e l s and rivers. Proceedings of the [2] R . D . RICHTMYER. — Différence m e t h o d s for i n i t i a l - Cambridge Phiîosophicat Society, vol. 52, 1950.

D I S C U S S I O N Président : M. CHAPOUTHIER

M. le P r é s i d e n t r e m e r c i e M. PREISSMANN p o u r son ex- posé très i n t é r e s s a n t et nouveau p o u r c e r t a i n e s p e r - sonnes et dit qu'il a été s u r p r i s de c o n s t a t e r que le calcul d o n n e un é t a l e m e n t aussi r a p i d e du m a s c a r e t car la d i m i n u t i o n de la p r o f o n d e u r et le r é t r é c i s s e m e n t du canal lui a u r a i e n t fait penser, q u ' a u c o n t r a i r e , il se r a i d i s s a i t . Cela a-t-il été vérifié e x p é r i m e n t a l e m e n t ? M. PREISSMANN ne peut le d i r e car il n ' a pas fait l u i - même d'expérience à ce sujet.

M. BANAL dit que l'effet de la p r o p a g a t i o n sur le m a s - caret diffère s u i v a n t les circonstances. Cet effet est le r é s u l t a t de deux actions c o n t r a d i c t o i r e s : u n e qui r e n - force le m a s c a r e t , l ' a u t r e q u i l'affaiblit et q u i fait que le m a r n a g e m ê m e d i s p a r a î t .

M. PREISSMANN pense que les pertes de charge ont pour effet d ' a p l a n i r le m a s c a r e t qui p e u t d i s p a r a î t r e d'un coup.

M. le P r é s i d e n t r e m a r q u e que ceci est c o n t r a d i c t o i r e avec les exposés précédents c o m m e celui de M. NOU- GARO où il a p p a r a î t que les f r o t t e m e n t s et la r u g o s i t é du lit ont peu d ' i m p o r t a n c e d a n s l'évolution d u p h é - n o m è n e .

M. REMENIERAS souligne qu'ici il y a une influence de la p e r t e de charge sur u n e sorte de d i s c o n t i n u i t é .

M. PREISSMANN dit que les conclusions a u x q u e l l e s il est a r r i v é sont u n peu p r o v i s o i r e s .

M. DE ROUVILLE m e n t i o n n e que, l o r s q u e l'on a a m é - lioré une rivière et que la m a r é e s'y propage m i e u x , le m a s c a r e t d i s p a r a î t (cas de la Seine).

M. CHAPON pense q u ' e n fait le m a s c a r e t ne d i s p a r a î t pas c o m p l è t e m e n t d a n s t o u t e la rivière m a i s se dé- p l a c e ; le m a s c a r e t de la Seine a p p a r a i s s a i t a u t r e f o i s d a n s la p a r t i e a v a l de la rivière m a i s d e p u i s que l'on a approfondi la p a r t i e comprise e n t r e Quillebeuf et Caudebec, il a d i s p a r u d a n s cette zone et s'est déplacé vers l ' a m o n t j u s q u ' a u voisinage de R o u e n . En ce qui concerne l ' i n t e r v e n t i o n du f r o t t e m e n t en Seine, M. CHA- PON pense qu'elle est t r è s i m p o r t a n t e et est en relation avec la célérité; en effet, d a n s le cas du m a s c a r e t la célérité est comprise e n t r e 25 et 30 k m / h et n ' a t t e i n t

j a m a i s les v a l e u r s de 100 k m / h dont il a été p a r l é p o u r les intumescences ; on p e u t se d e m a n d e r si l'in- fluence m ê m e du f r o t t e m e n t n e v a r i e pas avec la cclé- rijé de l'onde.

M. PREISSMANN, p o u r r é p o n d r e à cette r e m a r q u e , dit que l o r s q u e l'on a p p r o f o n d i t u n e rivière, il y a deux influences :

— I n i t i a l e m e n t l'intumescence, à l'endroit de la m a - rée, i m p o s e u n e vitesse v'yH plus g r a n d e qu'à tel a u t r e e n d r o i t ; l ' a p p r o f o n d i s s e m e n t crée u n r a t t r a p a g e qui sera d ' a u t a n t p l u s r a p i d e que la p r o f o n d e u r initiale est f a i b l e ;

— D ' a u t r e p a r t l ' a p p r o f o n d i s s e m e n t d i m i n u e l'étale- m e n t dû a u x p e r t e s de charge.

M. CHAPON précise que, d a n s le p h é n o m è n e de p r o p a - gation du m a s c a r e t d a n s u n e rivière, il faut faire in- t e r v e n i r les h a r m o n i q u e s d o n t l ' a p p a r i t i o n est en p a r - tie liée au f r o t t e m e n t . II faut considérer en p a r t i c u - lier la p h a s e des h a r m o n i q u e s p a r r a p p o r t à l'onde f o n d a m e n t a l e ; si t o u s les h a r m o n i q u e s sont calés en p h a s e sur le f o n d a m e n t a l , il y a u r a un r a i d i s s e m e n t du front de Fonde et l ' a p p a r i t i o n des o n d u l a t i o n s qui suivent le front de l'onde. Dans le cas de la Seine, u n e t h è s e s o u t e n u e r é c e m m e n t p a r M. le Floch du Creo sur la p r o p a g a t i o n des m a r é e s en Seine a a b o u t i à u n e décomposition h a r m o n i q u e du coefficient de f r o t t e m e n t qui a u r a i t ainsi des v a l e u r s liées a u x h a r m o n i q u e s de l'onde e l l e - m ê m e ; il semble donc que p o u r les o n d e s de faible célérité, le f r o t t e m e n t a i l une influence non négligeable — c o n t r a i r e m e n t a u x intumescences de g r a n d e célérité.

M. le P r é s i d e n t dit qu'il ne s'agit pas du m ê m e p h é n o m è n e et, p a s s a n t à un a u t r e aspect d e m a n d e ce que devient la pseudo-viscosité d a n s le cas de l'onde négative.

M. PREISSMANN répond qu'elle d i s p a r a î t presque a u t o - m a t i q u e m e n t .

II semble à M. CHARRUEAU que la pseudo-viscosité correspond au r e m p l a c e m e n t d'une onde de choc d a n s l a q u e l l e la d i s c o n t i n u i t é est u n e surface, p a r u n e q u a s i

596 LA H O U I L L E B L A N C H E N ° 5 - OCTOBRE 1 9 6 1

onde de choc dans l a q u e l l e la d i s c o n t i n u i t é se propage s u i v a n t u n certain v o l u m e compris e n t r e d e u x sur- faces. Le choix de cette distance e n t r e les deux sur- faces est-il a r b i t r a i r e ?

M. PREISSMANN d i t q u e , comme l'ont m o n t r é von N e u - raann et R i c h t m y e r , cette distance est choisie p o u r la convenance des calculs. Il ne faut n i t r o p n i t r o p peu étaler cette d i s c o n t i n u i t é .

M. THÏRRIOT d e m a n d e c o m m e n t on ajuste la p s e u d o - viscosité.

M. PREISSMANN répond qu'on ne l'ajuste p a s . Dans l'équation :

\dx J

on choisit n, le seul t e r m e inconnu, égal à 2 ou 3.

II n'y a donc p a s d ' a j u s t e m e n t , Ax est u n i q u e m e n t une distance de calcul.

M. CUNGE ajoute q u e , l o r s q u ' o n prend n s u p é r i e u r à 3, il y a des oscillations p a r a s i t e s . Un a u t r e coefficient qui varie p r o p o r t i o n n e l l e m e n t avec les carrés de la dis- c o n t i n u i t é , i n t e r v i e n t .

M. PREISSMANN i n d i q u e q u e l'on n'a p a s de disconti- n u i t é , l o r s q u ' i l n ' y a p a s de r i s q u e q u e les ondes se r a t t r a p e n t , dx est p r a t i q u e m e n t n u l p a r r a p p o r t a u x a u t r e s t e r m e s .

M. le P r é s i d e n t , p o u r r é p o n d r e à la question de M. THÏRRIOT et en r é s u m a n t ce q u e v i e n n e n t de d i r e

M. PREISSMANN et M. CUNGE, dit q u ' i l y a t o u t de m ê m e

un certain a j u s t e m e n t p h y s i q u e implicite.

M. FAURE d i t q u e l'influence de la r u g o s i t é est forte (cf. fig. 9 de la c o m m u n i c a t i o n de M. NAHAS). D ' a u t r e

part, d a n s u n e étude s u r l ' e s t u a i r e de la Gironde, il a calculé, p a r l a m é t h o d e d e s c a r a c t é r i s t i q u e s , l'ins-

t a n t et le lieu de f o r m a t i o n du m a s c a r e t , S u r le m o - dèle réalisé et d a n s la n a t u r e on c o n s t a t a i t q u e le m a s c a r e t se p r o d u i s a i t , p a r exemple, d a n s le b r a s de Macau p l u s fréquemment lorsque les fonds étaient h a u t s .

En r é p o n s e à M. THÏRRIOT, M, PREISSMANN i n d i q u e

que le coefficient n reste fixé à 2 ou 3 et q u e son étude r e s t e a u stade des m a t h é m a t i q u e s e x p é r i m e n t a l e s ce q u i a u n i n c o n v é n i e n t c a r rien n'est vérifié p a r l'expérience.

M. PREISSMANN compte r e p r e n d r e des expériences déjà faites et essayer de l e u r a p p l i q u e r sa m é t h o d e de calcul.

M. REMENIERAS signale qu'il a é t u d i é a u L a b o r a t o i r e de B e a u v e r t de la S . H . F . la p r o p a g a t i o n d ' u n e onde de t r a n s l a t i o n dans u n c a n a l convergent à berges ver- ticales (1).

Bien q u e le p h é n o m è n e soit assez différent d e celui du m a s c a r e t on constate u n e forte a u g m e n t a t i o n de îa h a u t e u r du corps de l'onde l o r s q u ' e l l e se déplace vers l ' e x t r é m i t é rétrécie du convergent. La v a l e u r de cette a u g m e n t a t i o n a p u être calculée a n a l y t i q u e r a e n t m o y e n n a n t certaines h y p o t h è s e s simplificatrices; ce cal- cul p o u r r a i t sans doute être r e p r i s avec plus de p r é - cision (prise en compte des p e r t e s de charge) p a r la

m é t h o d e exposée p a r MM. PREISSMANN et CUNGE.

M. le P r é s i d e n t r e m e r c i e M. PREISSMANN et M. CUNGE

p o u r leur c o m m u n i c a t i o n .

(1) G. REMENIERAS. — Augmentation de la hauteur d'une onde de translation se déplaçant dans un canal convergent - La Houille Blanche n° 6 - 1957 ( I Ve Journées de l'Hydraulique).