E50286. D´ ejouer le mensonge
Jules et Romain jouent au jeu suivant. L’un d’eux (Jules par exemple) pense
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a un nombre entier, de 1 `a 16. Romain doit trouver ce nombre en posant jusqu’`a 7 questions `a r´eponse par oui ou non. Mais attention : Jules a le droit de donner, une fois dans la s´erie de questions, une r´eponse fausse. Romain a-t-il une strat´egie pour trouver `a tout coup le bon nombre ?
Solution
Romain trouve `a tout coup avec sept questions portant sur la pr´esence du nombre `a deviner dans chacun des sept ensembles
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}; {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}; {1, 2, 5, 6, 9, 10, 13, 14}; {1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12}; {1, 4, 5, 8, 10, 11, 14, 15}; {1, 3, 6, 8, 10, 12, 13, 15}; {1, 2, 7, 8, 11, 12, 13, 14}.
Si aucun nombre ne satisfait aux 7 r´eponses de Jules, il y en a exactement un qui en satisfait 6 sur 7, et c’est le nombre `a deviner.
Un probl`eme ´equivalent est : coder sur 7 bits une information de 4 bits de mani`ere `a pouvoir corriger une erreur de transmission si elle ne porte que sur un bit. Les 4 premi`eres questions suffiraient s’il n’y avait pas de mensonge ; les 3 questions suppl´ementaires fournissent 3 bits de contrˆole ; les 8 ´eventualit´es d´ecrites par ces 3 bits sont le rang (1 `a 7) de la r´eponse mensong`ere, ou l’absence de mensonge.
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