G221 Photos de famille
Soit n+2 le nombre de petits-enfants (avec n>0)
Il est évident que chaque disposition commence par le plus petit et finit par le plus grand. Nous les noterons respectivement 0 et n+1 et les autres de 1 à n par taille croissante. Le problème consiste donc à trouver le nombre de d’alignements An
répondant aux conditions de l’énoncé. On a bien sûr A1=1
Notons A(n,i) le nombre d’alignements convenables pour n nombres avec le nombre n placé en i-ième position ( i entier de 1 à n)
On a donc évidemment An=∑ A(n,i) pour i=1,…,n
Si n est placé en k-ième position, l’alignement est entièrement déterminé par le choix des nombres des positions 1 à i-1 : en effet au dessus de i les nombres restant ne peuvent être disposés qu’en ordre croissant . Le nombre de ces alignement où n-1 figure en position j est A(n-1,j) avec j entier de 1 à i-1 ; quant aux cas où n-1 est au delà de j (en fait en position n), il y en a A(n-1, i) (avec la convention A(n-1,n)=0) comme on le voit en échangeant n et n-1.
On obtient donc la relation de récurrence A(n,i)=∑A(n-1,j) pour j=1,…i qui, avec A(1,1)=1, permet de calculer le A(n,i) donc les An. On peut alors en déduire que A(n,i)=A(n,i-1)+A(n-1,i) pour 1<i≤n et An=A(n+1,n)=A(n+1,n+1)
n An
1 1 1
2 1 1 2
3 1 2 2 5
4 1 3 5 5 14
5 1 4 9 14 14 42
6 1 5 14 28 42 42 132
7 1 6 20 48 90 132 132 429
8 1 7 27 75 165 297 429 429 1430
9 1 8 35 110 275 572 1001 1430 1430 4862
10 1 9 44 154 429 1001 2002 3432 4862 4862 16796
On en déduit facilement que A(n,1)=1
A(n,2)=n-1
A(n,3)=(n-2)(n+1)/2 ! (car (n-2)(n+1)-(n-3)n=2(n-1) …)
A(n,4)=(n-3)(n+1)(n+2)/3 ! (car (n-3)(n+1)(n+2)-(n-4)n(n+1)=3(n-2)(n+1) …)
…
A(n,i)=(n-i+1)(n+1)…(n+i-2)/(i-1) ! Donc
An=A(n+1,n)=2(n+2)…(2n-1)/(n-1) !=(n+2)…(2n-1)(2n)/n !=(2n) !/(n+1)(n !)2=Cn2n/(n+1) Dans le cas particulier où il y a 7 petits-enfants, n=5 donc A5=42 photos possibles
