Ces arcs forment une partie de la longueurπ du demi-cercle

Enoncé I126 (Diophante) Chaîne brisée

On choisit au hasard dans le plan 2016 segments de longueur 1.

Montrer que l’on peut toujours les translater et les mettre bout à bout de sorte que la distance entre les deux extrémités de la chaîne brisée soit au plus égale àπ/2.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Munissant le plan d’un repère cartésien Oxy, je commence par translater chaque segment de façon à amener en O son extrémité de plus faibley. Cela donne des segmentsOPkdont les extrémités P_k se placent sur le demi-cercle unité du demi-plany ≥0.

Je renumérote lesn= 2016 segments dans l’ordre des anglesxOP_k croissants, entre 0 etπ.

Je forme la chaîne comme somme vectorielle

1008

X

m=1

(P2m−1O+OP2m).

Elle est ainsi formée de vecteursQm−1Q_m=P2m−1P_2m, commen- çant avec Q₀ en P₁,Q₁ en P₂, jusqu’à Q₁₀₀₇Q₁₀₀₈ =P₂₀₁₅P₂₀₁₆. La distance entre les extrémitésQ0 etQ1008 de la chaîne est ma- jorée par la longueur de cette chaîneQ₀Q₁₀₀₈, elle-même majorée par la sommesdes arcs sous-tendus par les cordesP2m−1P_2m. Ces arcs forment une partie de la longueurπ du demi-cercle.

Premier cas : cette somme des arcs a une longueur s≤π/2 ; l’in- égalité de l’énoncé en découle immédiatement.

Second cas : la somme de ces arcs dépasse π/2. Soit P0 le symé- trique deP2016par rapport àO. La somme des arcs

1008

X

m=1

(P2m−2P2m−1) est la différence entre le demi-cercle P0P2016 et s. Je construis la chaîne brisée M₀M₁₀₀₈ partant de M₀ = P₀, M₁ = P₁, puis Mm−1Mm=P2m−2P2m−1, jusqu’àM1007M1008 =P2014P2015. La chaîneM₀M₁₀₀₈est la somme vectorielle

1008

X

m=1

(P2m−2O+OP2m−1), mettant bout à bout les 2016 segments donnés carP₀O=OP₂₀₁₆. Sa longueur est majorée par la somme des arcs π−s < π/2, et c’est un majorant de la distance entre les extrémités de la chaîne, CQFD.