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CnamLiban UTC 604 TD5 J.SAAB
1. Soit
f(x) = x si < x 0 x si 0< x
Véri…er quef adment une série de Fourier et trouver cette série. Déduire la lime de la sérieX
n 1 1 (2n+1)2
2. Soit 2R Z:On considère la fonction2 périodique
f(x) = cos x si x
(a) Déterminer la série de Fourier def (b) Déduire les sommes des séries suivantes:
X
n 1
1
n2 2; X
n 1
1
n2; X
n 1
( 1)n 1
n2 2; X
n 1
( 1)n 1 n2
3. Soit la fonctionf de période2
f(x) =ch x x2[ ; ]; 2R
Trouver le dévéloppement en série de Fourier def en déduire la somme de chacune des séries suivantes
S1=X
n 1
1
n2+ 1; S2=X
n 1
( 1)n 1 n2+ 1
N.B. On donneR
ch xcos xdx= 1
2+ 2[ ch xsin x+ sh xcos x]
4. Soit 2[0; ]et f la fonction2 périodique et impaire
f (x) = ( )x si x2[0; ] ( x) si x2[ ; ]
Donner le dévéloppement en série de Fourier def en déduire la somme de X
n 1
sinn :sinnxn2 : Trouver
S1=X
n 1
( 1)k 1sin(2k+1) (2k+1)2
5. Soitf(x) =x
(a) Développerf en une série de Fourier ensin dans[0; ] (b) Développerjfjen une série de Fourier encosdans[ ; ]
6. On donner la fonction2 périodiquef(x) =x2sur[ ; ]
(a) Donner la série complexe def (b) Déduire la série réelle def
1
(c) Soitg(x) =xla fonction2 périodique sur [ ; ]:Etablir une relation entref etget déduire la série réelle deg
(d) La série deg converge -t- elle vers g partout? Quelle condition faut - il imposer à g pour avoir une convergence partout.
(e) Déduire la série deg au point
7. Soitf :R !R, 2 -périodique, paire, telle que
f(x) = 8<
:
1 si 0 t < 2 0 si t= 2
1 si 2 < t
(a) Tracer le graphe def sur[ 2 ;2 ]
(b) Etudier les condtions de Dirichlet relatives àf et donner le domaine de convergence de la série de Fourier def
(c) Calculer les coè¢ cients de Fourier def (d) Déduire la somme de la sérieP1
p=0 ( 1)p
2p+1
(e) Utiliser la formule de Parseval pour de’duire la somme de la sérieP1
p=0 1 (2p+1)2
(f) En déduire la somme de la sérieP1
n=1 1 n2
2
