La boule ` a 6
On donne dans l’espace euclidien la sph`ere Ψ, les points A, B et C surΨ for- mant un triangle ´equilat´eral, et le point S ext´erieur `a la sph`ere.
Les droites SA, SB et SC recoupent Ψ en A’, B’ et C’.
Montrer que A’B’C’ est un triangle ´equilat´eral si, et seulement si SA = SB = SC.
Consid´erons d’abord dans le plan : le cercle Γ, les points A et B sur Γ, et le pointS ext´erieur au cercle.
Un point C variable est tel que BC =AB. Les droitesSAet SB recoupent Γ enA0 et B’. SC recoupe le cercle circonscrit `aBB0C enC0.
Puisque SA.SA0= SB.SB0 =SC.SC0, quandC d´ecrit le cercle(B, BA), C0 d´ecrit le cercle ΓC image du pr´ec´edent dans l’inversion (S,√
SB.SB0), centr´e surSB et passant aussi parA0.
Le seul point de ΓC autre queA0 et tel que B0C0 = A0B0 est le sym´etrique deA0 par rapport `a SB, et dans ce cas,C est le sym´etrique deApar rapport
` a SB.
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Pour les points sur la sph`ere, on consid`ere le d´evelopp´e des 3 faces de la pyramide SABC, c`ad l’image pr´ec´edente compl´et´ee par la 3`eme faceSAC1. Chaque plan contenant une face coupe la sph`ere suivant un cercle circonscrit au quadrilat`ere form´e par les pointsABB0A0 ou ´equivalents.
En vertu de ce qu’on a d´emontr´e pr´ec´edemment, on doit avoir :
SA=SC pour queA0B0 =B0C0et SB =SC1 pour queA0B0 =A0C10 et commeSC = SC1, on a finalement :
SA=SB =SC
A0B0C0 n’est ´equilat´eral que si l’ensemble Pyramide + Sph`ere a un axe de sym´etrie ternaire.
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