Posons A1 = 𝑒!!. Il vient :
— Ak – 1 = 𝑒!!! , et donc O1 = 𝑒!! + 𝑒!!! = 2 cos 𝜗.
— A2 = 𝑒!!! , A6 = 𝑒!!! , et donc O2 = 𝑒!!! + 𝑒!!! . On peut écrire O2 = 𝑒!!! ( 𝑒!!!! + 𝑒!!! ) = 2 𝑒!!! cos 2𝜗. Il faut vérifier que O1O22 = 3 , c'est-à-dire que :
(cos 𝜗 – cos 4𝜗 cos 2𝜗 )2 + (sin 4𝜗 cos 2𝜗 )2 = 3/4 .
En posant X = cos 𝜗 et en développant cela donne la condition : − 32 X7 + 48 X5 + 4 X4 – 20 X3 – 3 X2 + 2X + 1 = 3/4 . L'équation possède exactement sept solutions, qui sont toutes comprises entre – 1 et 1 ; :
− 0.5 ; − 0.885456 ; − 0.568065 ; − 0.120537 ; 0.354605 ; 0.748511 ; 0.970942 .
Ces valeurs correspondent en fait au triangle équilatéral, à cinq polygones étoilés ayant 26 sommets et à un seul polygone convexe à 26 sommets, pour la valeur 0,970942 … :
cos 2π/26 = 0.97094181742 … .
