6a2007 É ieS Bi Uiveiédei eShia Ai

(1)

Sébastien Verel

vereli3s.unie.fr

www.i3s.unie.fr/

∼

^verel

ÉquipeSoBi-UniversitédeNieSophia-Antipolis

6 mars2007

(2)

Objetifs de la séane 6

onnaitre ladénitionde relationd'ordre

prouver qu'unerelationbinaire estune relationd'ordre

onnaitre l'ordrelexiographiqueet de ladivisibilitésurles

entiers

donner lediagrammede Hassed'unerelationd'ordrenie

Question prinipaledujour :

Comment donnerunsens àl'ordresurbeauoup de hoses?

(3)

Un point sur l'avanement

Les séanes de 01 à05 sontorientées"algorithmique":

séane 01:Introdution àl'algorithme

séane 02:Notion demahine ettypede données abstraits

séane 03:Algorithmesréursifs

séane 04:Typesde données abstraitséqueniel

séane 05:Type de donnéesabstrait arbre

séane 06:Relationd'ordre

(4)

Un point sur l'avanement

Les séanes de 06 à11 sontorientées"informatiquethéorique" :

séane 06:Relationd'ordre

séane 07:Priniped'indution

séane 08:Langages rationnels

séane 09:Automate nondéterministe

séane 10:Test etVériation d'algorithmes

séane 11:Notion deomplexité

séane 12:Synthèse :un exempleomplet

Bien sùr,les deux parties sontliées...

(5)

liste / le / arbre

(

^a

,

^g

,

^b

,

^m

,

ⁱ

,

^e

,

^q

,

^h

)

( ) 21

12 88 29 13

7 5

8 ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

(6)

Algorithmes réursifs

Algorithme PGCD(a ,b :entier): entier

début

sib

=

⁰ ^alors

retourner a

sinon

←

^a^modulo^b

retourner PGCD(b,)

nsi

n

Exéution de l'algorithmesur donnée "pluspetite":

(

^b

,

) ≤ (

^a

,

^b

)

(7)

Algorithmes réursifs

Algorithme listePair(l :liste):liste

début

silisteEstVide?(l)alors

retourner listeVide()

sinon

si modulo(listeTete(l),2) =0 alors

retournerlisteCons(listeTete(l),listePair(listeQueue(l )))

sinon

retourner listePair(listeQueue(l ))

nsi

n

(8)

Objetif

But :

Donner unsens àl'ordreentre éléments.

Finalité :

dénir orretement l'ordreentre données, mêmepourdes

donnéesnon numérales

prouver laterminaisonde ertains algorithmes

(9)

Plan

1

Introdution

2

Relationbinaire

3

Relationd'ordre

(10)

Exemples

estun lsde :

(Jean, Niolas),(Jean-David, Philippe)

ordrealphabétique:

a

≤

^e,^h

≤

^l

relationsur lesentiers :

6

≤

^8,⁹

≤

^13,¹⁰

≤

¹²

relationd'égalité :

67

=

^67, ^a

=

^a

divisibilité:

4

|

^12,¹³

|

¹¹¹⁰²

(11)

Exemples

relationde parallèlisme

étiquetagede dates:

(04/03, anniversaire), (12/03, déplaement),(24/03, ongé)

relationd'inlusion :

{

^b

,

^e

} ∈ {

^b

,

^y

,

^e

}

attributionde ouleur:

(

^voiture

,

^rose

)

^,

(

^velo

,

^rose

)

^,

(

^iel

,

^rose

)

^,

(

^panthre

,

^rose

)

^,

(

^yeux

,

^rouge

)

^,

(

^ongle

,

^rouge

)

relationfontionnelle :

y

=

^f

(

^x

)

^, ^f

(

³

) =

^12,^g

(

⁶

) =

³ⁱ

(12)

Dénitions

Couple

Un ouple est unepaireordonnée d'éléments.

Parexemple,lesoordonées

(

^x

,

^y

)

^, ^et.

Les élémentsne sontpasforement de mêmenature

'est-à-direilsn'appartiennentpasforementauxmêmesensembles.

Parexemple,

(

^voiture

,

^bleu

)

^ou ^g

(

⁶

) =

^3i.

Produit artésien de E parF

E

×

^F

= {(

^e

,

^f

) |

^e

∈

^E ^et ^f

∈

^F

}

le produit est l'ensemblede tousles ouplespossiblesentre E et F.

(13)

Dénition

Relation binaireR

Une relationbinaireR de E vers F est unepartiede E

×

^F^.

R

⊂

^E

×

^F

Si E

=

^F^,^on ^parle^de ^relation^sur ^E^.

Voabulaire etnotation :

pourtoutouple

(

^e

,

^f

) ∈

^R^,ôn^dit ^queê êstên ^relationâve^f

(

^e

,

^f

) ∈

^R ^se^noteâussi^plusôuramment ê ^R ^f^.

(14)

Représentation

Sous formematriielle:

f

1 f

2 f

3 f

4

e

1

0 0 1 0

e

2

1 1 0 0

e

3

0 1 1 1

Diagramme sagitaux :

e 5 f g

1

2

3

4

(15)

Représentation

Graphe orienté(soure enseignementTALde l'univ.Paris3) :

Apartird'uneliste(nom,adjetif)duuxrssdujournaldumonde:

entrées multiples

artistesafriains

présidentfrançais

volsserets

équipesmédiales

prolpsyhologique

sénariosmonétaires

négoiationsommeriales

débloagepossible...

Voirgraph-aurelia.pdf etgraphe-191105-260206.jpg

(16)

Propriétés d'une relation

Les propriétés possiblesd'une relationlorsqueE

=

^F ^:

réexive:

pourtout x

∈

^E^,^x ^R ^x

irréexive :

pourtout x

∈

^E^,^x

6

^R ^x

symétrique :

pourtout x et y de E,si x R y alors y R x

antisymétrique:

pourtout x et y de E,si x R y et y R x alorsx

=

^y

transitive :

pourtout x,y etz de E,six R y ety R z alorsx R z

(17)

Relation d'équivalene

Une relationd'équivalene est unerelation:

réexive

symétrique

transitive

The exemple:l'égalitésurles réels,

Mais aussilaongruene sur lesentiers,...

Contreexemple :relationde voisinage(symétrique, réexive?, mais

non transitive)

(18)

Classes d'équivalene

Classe d'équivalene

La lassed'équivalene d'un élémente

∈

^E ^est ^l'ensemble^des

éléments en relationavee.

ex:les lassesd'équivalene dugraphe :graphe-191105-260206.jpg

Théorème

L'ensemble deslassesd'équivalene déni unepartitionde E.

La preuve estlaissé au leteur...

(19)

Dénition

Relation d'ordre

Une relationd'ordreest unerelation:

réexive

antisymétrique

transitive

The megaexemple :

l'ordreroissantsur les entiers.

(20)

Ordre sur les entiers

réexive:

pourtout entier x, x

≤

^x

antisymétrique:pour toutentiers x et y,si x

≤

^y ^et^y

≤

^x

alorsx

=

^y

transitive :

pourtout entiers x,y et z,si x

≤

^y ^et ^y

≤

^z ^alors^x

≤

^z

(21)

Exemples

inlusion surles ensembles

ordrelexiographique

ordresur lesouples d'entiers :

(

^a

,

^b

) ≤ (

,

^d

)

^si^a

≤

^ou ⁽ ^a

=

^et^b

≤

^d ^).

divisibilitésur lesentiers :

a

|

^b ^s'il^existe^k ^entier^tel ^que^b

=

^k ^{a .}

ls de dansles arbres

Suessionde tahes:

une tahe peut s'eetuer avant,après ou en parallèled'une

autre

Unetahe est pluspetitesi elle s'eetueavant.

(22)

Question

Quelleest ladiérene entre ladivisibilitésurles entiers etl'ordre

lassique sur lesentiers?

Est-e que3est plus petitou plus grandque 12au senslassique?

A :3 est plusgrand, B:12 est plusgrand

Est-e que3est plus petitou plus grandque 17au senslassique?

Est-e que3est plus petitou plus grandque 12au sensde la

divisibilité?

Est-e que3est plus petitou plus grandque 17au sensde la

(23)

Ordre total / partiel

Relation d'ordretotale

Une relationd'ordreest unerelationd'ordretotalelorsquetousles

éléments sontomparables :

pour toutx ety de E,x R y ou y R x.

Relation d'ordrepartielle

Une relationd'ordreest unerelationd'ordrepartiellelorsqu'ilexiste

un oupled'élémentsnon omparable :

il existex et y de E,x

6

^R ^y ^et ^y

6

^R ^x^.

(24)

Exemples

A :relationd'ordrepartielB:relationd'ordretotal

inlusion surles ensembles:partiel

ordrelexiographique:total

ordresur lesouples d'entiers :total

divisibilitésur lesentiers :partiel

ls de dansles arbres :partiel

Suessionde tahes:partiel

Marquage dedate (d'anniversaire):total

(25)

Plus grand (petit) élément

Majorantde X

m est unmajorantde X si pour toutx

∈

^X ^,^x

≤

^m.

Bornesupérieurede X

La borne supérieurede X est lepluspetitdesmajorantsde X.

Plus grandélément

Le plusgrand élémentd'unepartie, lorsqu'ilexiste,est l'élément

appartenant àette partiequiest plusgrand quetousautres

éléments de lapartie.

Lorsqu'ilexistele plusgrand élémentestunique.

(26)

Ensemble bien ordonné

Plus petit élément

Le pluspetitélémentd'unepartie, lorsqu'ilexiste, est l'élément

appartenant àette partiequiest pluspetitque tousautres

éléments de lapartie.

Ensemble bienordonné

Un ensemble est ditbien ordonné sitoute partie nonvideadmet un

plus petitélément.

Parexemple,lesentiers naturels,à suivre...

(27)

Diagramme de Hasse

Représentationgraphiqued'un ensemble ordonnéni.

Pour représenter le diagrammede Hasse :

haque élémentest représenté parunpoint

si x est plusgrand quey,on plae lepoint de x plushaut que

eluide y

On traeunsegment entredeux pointsx et y si y dominex.

(28)

Diagramme de Hasse

Domination

y dominex ssix

6=

^y ^et^x

≤

^y ^et

pour toutz de E,six

≤

^z ^et ^z

≤

^y ^alors^z

=

^x ^ou ^z

=

^y^.

Chaine

(

^a⁰

,

^a1

, . . . ,

^an

)

^est ^une^haine ^si^pour^tout ⁱ

<

^n,^ai

+

1

domine a

i .

Chaine maximale

Une haineest ditemaximalelorsquesa longueurest unedesplus

longues haines de larelation

(29)

Exemple

Relation d'inlusionsur l'ensemble

{

^a

,

^b

,

}

ens. vide {a , b , c}

{a,c} {b,c}

{a} {b} {c}

{a, b}

(30)

Forme des diagrammes de Hasse

Relationd'ordretotale:

Uneligne

Relationd'ordrepartielle:

Pas uneligne....,unDAG.

Il est possiblede dénir beauoup de propriétés trèsrihesàpartir

des diagrammesde Hassequipermettede qualierles relations

d'ordre.

(31)

Exeries

Montrerque larelationde divisibilitéest unerelationd'ordre

partielle

Erire l'algorithmequipermet de dénirl'ordre

lexiographique.

On admettra qu'ilexisteune fontionompare quirenvoie

Vrailorsqu'unelettreest pluspetitequ'une autre

et queles motssontreprésentéspardeslistesde lettres.

(32)

Objetifs de la séane 6

onnaitre ladénitionde relationd'ordre

prouver qu'unerelationbinaire estune relationd'ordre

onnaitre l'ordrelexiographiqueet de ladivisibilitésurles

entiers

donner lediagrammede Hassed'unerelationd'ordrenie

Question prinipaledujour :

Comment donnerunsens àl'ordresurbeauoup de hoses?

Questions prinipales dujour :

Comment mettrede l'ordresurbeauoup de hoses?

6a2007 É ieS Bi Uiveiédei eShia Ai

∼

(

,

,

,

,

,

,

,

)

( ) 21

12

88 29 13

7 5

8

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

=

←

(

,

) ≤ (

,

)

≤

≤

≤

≤

≤

=

=

|

|

{

,

} ∈ {

,

,

}

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

(

,

)

=

(

)

(

) =

(

) =

(

,

)

(

,

)

(

) =

×

= {(

,

) |

∈

∈

6a2007 É ieS Bi Uiveiédei eShia Ai