Ch 9 : Proportionnalité

5^ème

Ch 9 : Proportionnalité

Objectifs

• Compléter un tableau de nombres représentant une relation de proportionnalité, en particulier déterminer une quatrième propor- tionnelle.

• Reconnaître si un tableau complet de nombres est ou non un ta- bleau de proportionnalité.

• Mettre en oeuvre la proportionnalité dans les cas suivants :

- comparer des proportions, - utiliser un pourcentage, -* calculer un pourcentage,

-* utiliser l’échelle d’une carte ou d’un dessin, -calculer l’échelle d’une carte ou d’un dessin.

1 Tableau de proportionnalité

a. Définition et propriétés

Définition

Un tableau de proportionnalité est un tableau à deux lignes dans lequel la deuxième ligne est obtenue en multipliant chaque nombre de la première par un même nombre appelé le coefficient de proportionnalité.

Exemple : Dans le tableau de proportionnalité ci-dessous, le coefficient de proportionnalité est12÷4 = 3.

÷3↑ 4 5 9 18 6 12 15 27 54 18 ↓ ×3

Règle

Dans un tableau de proportionnalité, on ne peut parfois pas calculer exactement le coefficient de proportionnalité :

3 6 18

7 14 42 ↓ ×?

Le coefficient de proportionnalité se calcule par l’opération :7÷3mais la division ne s’arrête pas. On écrit alors que le coefficient de proportionnalité est ⁷3.

Propriété

Les opérations que l’on effectue sur la première ligne d’un tableau se retrouvent dans la deuxième ligne.

Exemple :

✻ ✻ ❄ +

❄ ❄

×2 ÷3

4 5 9 18 6

12 15 27 54 18

❄ ❄ ✻

+ ✻ ✻

×2 ÷3

b. Exemples de situations de proportionnalité

Droite passant par l’origine :

On note dans un tableau l’abscisse et l’ordonnée de plusieurs points de la droite passant par l’origine :

abscisse 0 1 2 3 4

ordonnée 0 0,5 1 1,5 2 ↓ ×0,5

Ce tableau est un tableau de proportionnalité. Le coefficient de propor- tionnalité est appelé coefficient directeur de la droite.

0 1 2 3

0 1 2 3 4 5

Prix payé en fonction du poids :

Au marché, le prix des pommes est 1,2ele kilogramme.

On reporte dans un tableau le prix payé en fonction de la quantité de pommes achetée : pommes en kg 1 5 3 2 0,5 1,5 10

prix ene 1,2 6 3,6 2,4 0,6 1,8 12 ↓ ×1,2 Le coefficient de proportionnalité est 1,2. C’est le prix pour 1 kg de pommes.

5^ème

Ch 9 : Proportionnalité

2 Déterminer une quatrième proportionnelle

Règle

On peut déterminer une quatrième proportionnelle en calculant le coefficient de proportionnalité.

Exemple : Dans le tableau de proportionnalité 3 5

18 x , le coefficient de proportionnalité est18÷3 = 6. On a doncx= 5×6 = 30.

Théorème

Dans un tableau de proportionnalité, les produits « en diagonale » sont deux à deux égaux.

Règle

L’égalité des produits « en diagonale » permet de déterminer une quatrième proportionnelle.

Exemple : Dans le tableau de proportionnalité 4 7

8 x , on a l’égalité4×x= 8×7. D’où4x= 56et doncx= 56÷4 = 14.

3 Applications courantes

a. Calcul de pourcentage

Que valent 30% de 120e?

On complète le tableau de proportionnalité 30 x 100 120

Le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la deuxième ligne à la première est égal à 100³⁰. On trouve doncx=₁₀₀³⁰ ×120 = 0,3×120 = 36

Règle

Pour calculerx% d’un nombre, on multiplie ce nombre par ₁₀₀^x .

b. Mouvement uniforme

Lorsqu’un véhicule se déplace toujours à la même vitesse, il y a proportionnalité entre la distance parcourue et le temps.

Temps (en secondes) 0 1 2 3 4 Distance parcourue (en m) 0 30 60 90 120

c. Echelle sur une carte

Définition

L’échelle d’une carte est le coefficient de proportionnalité entre les mesures réelles et les mesures sur la carte.

Exemple : Une carte au 1/200 000 signifie que 1 cm sur la carte représente 200 000 cm sur le terrain.

Combien 5 km sur le terrain font-ils sur la carte ? 200 000 cm valent 2000 mètres, c’est-à-dire 2 km.

sur la carte en cm 1 x sur le terrain en km 2 5

On trouvex= 5÷2 = 2,5. 5 km sur le terrain sont représentés par 2,5 cm sur la carte.