e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A MP
durée 4 heures
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé.
Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Problème Partie I
SoitI un intervalle non réduit à un point de R. On considère l’équation di¤érentielle surI : y00+y= 0 (E0)
1. Montrer que l’ensemble des solutions de(E0)surIest x!Acosx+Bsinxj(A; B)2R2 . On suppose pour que les questions2 et3 queI est un intervalle deRnon majoré.
2. Soitgune solution de(E0)sur l’intervalleI. Que peut-on dire des suites(g(n ))n2Net g(2n+12 ) n
2N?
3. Soitgune solution de(E0). On suppose queg(x)tend vers une limite …nie lorsquextend vers+1. Montrer que g est la fonction nulle.
Partie II
Dans cette partie, on note C1(R)leR-espace vectoriel des fonctions de classe C1surRet à valeurs réelles.
On note C=fe1; e2; e3; e4gla base canonique deR4 :
e1= (1;0;0;0); e2= (0;1;0;0); e3= (0;0;1;0); e4= (0;0;0;1):
Soitv= (a; b; c; d)dansR4. On notehv l’application dé…nie surRpar : hv :x7!(ax+b) cosx+ (cx+d) sinx:
On noteV l’ensemble des applicationshv lorsquev parcourtR4. 1. Montrer que V est un sous-espace vectoriel de C1(R).
2. Démontrer que l’application qui envoie le vecteur v sur l’application hv dé…nit un isomorphisme entre R4 et V. En déduire que B=fhe1; he2; he3; he4gest une base deV.
3. Soitv= (a; b; c; d)dansR4. Exprimer l’applicationx7!h00v(x) +hv(x). On note (hv)cette application.
(i) Démontrer que est un endomorphisme deV. (ii) Déterminer le noyau de . Quel est le rang de ?
(iii) Expliciter la matrice de sur la base deV, notée B, déterminée à la question 2. En déduire une base de l’image de .
4. On considère l’équation di¤érentielle surR:
y00+y= cosx (E1) Résoudre l’équation di¤érentielle (E1)surR.
Dans le reste du problème, on considère l’équation di¤érentielle surR+ :
y00+y= 1 x (E)
Partie III
Dans cette partie, on considère la fonctionF dé…nie sur R2 par : F(x; t) = e xt
1 +t2: 1. Soitxun réel positif.
1a. Démontrer l’inégalité :
8t2R+; F(x; t) 1 1 +t2: 1b. En déduire que l’intégrale R+1
0 F(x; t)dtest convergente.
On peut donc dé…nir surR+ une fonctionGen posant : 8x2R+; G(x) =
Z +1 0
F(x; t)dt:
2. En utilisant l’inégalité démontrée en 1a, justi…er que la fonctionG est continue surR+. On énoncera avec précision le théorème utilisé.
3. On se propose de démontrer queGest dérivable surR+. Soit un réel strictement positif.
3a. Justi…er queF est de classeC1surR2. Déterminer la dérivée partielle @F@x au point(x; t).
3b. En utilisant l’inégalité
8x2[ ;+1[;8t2R+; te xt
1 +t2 e t que l’on justi…era, démontrer les points suivants :
(i) Pourx >0, l’intégrale R+1 0
@F
@x(x; t)dtest convergente.
(ii) La fonctionGest dérivable sur l’intervalle]0;+1[et on a 8x2]0;+1[; G0(x) =
Z +1 0
te xt 1 +t2 dt:
4. En suivant les mêmes étapes que pour la question 3, démontrer queG est deux fois dérivable surR+ et que sa dérivée seconde véri…e :
8x2R+; G00(x) = Z +1
0
t2e xt 1 +t2 dt:
5. Montrer que Gest une solution de l’équation di¤érentielle E. 6a. Démontrer que Gest une application décroissante surR+.
6b. En déduire que G(x)admet une limite lorsque xtend vers+1. Déterminer cette limite.
Partie IV
Soitf une fonction à valeurs réelles dé…nie et continue surR+. On suppose quef véri…e les quatre conditions suivantes :
a. f est positive ; b. f est décroissante ;
c. limt!+1f(t) = 0;
d. l’application g dé…nie, pour tout t dans R+, par g(t) = tf(t) admet une limite …nie lorsque t tend vers 0 par valeurs supérieures.
2
1. Soitfungn2Nune suite strictement croissante de nombres positifs. On suppose quelimn!+1un= +1. Montrer que la série de terme général( 1)nf(un)est convergente (on énoncera précisément le théorème utilisé).
2. Montrer que sin(t)f(t) admet une limite lorsque t tend vers 0 par valeurs supérieures. En déduire que la fonction jsin(t)jf(t)est intégrable sur l’intervalle[0; x], pour toutx >0.
3. Soitnun entier naturel non nul. On posewn le réel dé…ni par : wn=
Z (n+1)
n jsin(t)jf(t)dt:
3a. Justi…er l’encadrement : 2f((n+ 1) ) wn 2f(n ).
3b. En déduire qu’il existe un dans l’intervalle [n ;(n+ 1) ] tel que wn = 2f(un). On énoncera avec précision le théorème utilisé.
3c. Montrer que :
wn= ( 1)n
Z (n+1) n
sin(t)f(t)dt:
4. On considère les deux suitesn R2n
0 sin(t)f(t)dto
n2N etn R(2n+1)
0 sin(t)f(t)dto
n2N. 4a. Montrer que la suiten R2n
0 sin(t)f(t)dto
n2N est croissante.
4b. Montrer que la suiten R(2n+1)
0 sin(t)f(t)dto
n2Nest décroissante.
4c. En comparant les termes de ces deux suites, établir la convergence de chacune d’entre elles vers une limitelcommune.
Pour tous réels positifsxet ytels que x y, on poseIf(x; y) = Ry
x sin(t)f(t)dt.
5. Déduire de 4. que l’applicationIf(x; y)admet une limite …nie lorsquey tend vers+1. On note R+1
x sin(t)f(t)dtcette limite.
6. Soitxun réel positif. Justi…er l’existence deIx= R+1 x
sin(t) t dt.
Partie V
1. Soitxun réel strictement positif. Montrer que la fonctionhx dé…nie surR+ par : hx(t) = x+t1 , véri…e les hypothèses de la partie IV.
On peut donc dé…nir une fonction H surR+ en posant : 8x2R+; H(x) =
Z +1 0
sin(t) t+x dt:
2. En e¤ectuant un changement de variables, démontrer l’égalité : 8x2R+; H(x) =
Z +1 x
sin(t x)
t dt:
3. En développantsin(t x), démontrer queH est deux fois dérivable surR+ et qu’on a : 8x2R+; H00(x) +H(x) = 1
x: 4. Quelle est la limite deH(x)lorsque xtend vers+1?
5. En déduire que :
8x2R+; H(x) =G(x);
la fonctionGétant dé…nie dans la partie III.
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