PanaMaths Juin 2012

(1)

PanaMaths Juin 2012

Déterminer les fonctions f :D ⊂ \

²

→ \ qui vérifient :

( )

2 2 2

2

f y

x x y

f x

y x y

⎧⎪

⎪⎪

⎨⎪

⎪⎪⎩

∂ = ∂ +

∂ = ∂ + On précisera le domaine D.

Analyse

Un travail classique de « reconstruction » d’une fonction numérique de deux variables réelles à partir de ses deux dérivées partielles d’ordre 1.

Résolution

Il faut x+ ≠y 0. On travaille donc sur tout domaine ouvert D inclus dans l’un des deux demi-plans d’équations x+ >y 0 ou x+ <y 0.

Soit alors y fixé.

Comme on a :

( )

2

, 2

f y

x x y x y

⎛∂ ⎞ =

⎜∂ ⎟

⎝ ⎠ + , on obtient facilement : ^{f x y}

(

^,

)

^y²

( )

^y

x⁻ y ϕ

= +

+ où ϕ

est une fonction réelle de la variable réelle dérivable pour tout y tel que

(

^{x y}^,

)

^∈^D^.

Il en résulte alors :

( ) ( )

2 2

, y x y y ' '

f xy y

x y y y

y ⁻ x⁺y ⁺ ϕ x y ϕ

⎛∂ ⎞ = + =− − +

⎜∂ ⎟ + +

⎝ ⎠ .

Or, on veut :

( )

2

, 2

f x

y x y x y

⎛∂ ⎞ =

⎜∂ ⎟ +

⎝ ⎠ .

La fonction ϕ doit donc satisfaire pour tout y tel que

(

^{x y}^,

)

^∈^D^:

( ) ( )

( )

2 2

2xy y ' x

y

x y ϕ x y

− − + =

+ +

Soit :

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

' x xy y x xy y x y 1

y

x y x y x y x y

ϕ = + ⁺ = ⁺ ⁺ = ⁺ =

+ + + + .

(2)

PanaMaths Juin 2012

On en tire immédiatement : ^ϕ

( )

^y ^{= +}^y ^C où C est une constante réelle.

En définitive, on a :

( )

² ²

( )

, y y y x y xy

f x y y C C C

x y x y x y

− + +

= − + + = + = +

+ + +

Résultat final

La fonction f cherchée est définie sur tout domaine ouvert D

inclus dans l’un des deux demi-plans d’équations x+ >y 0 ou x+ <y 0 par :

(

^,

)

^xy

f x y C

x y

= +

+

où C est une constante réelle.