SUR LES RELATIONS ALGEBRIOUES ENTRE LES INTI~GRALES INDEFINIES.
PAR
ALEXANDRE OSTROWSKI 9
s B,~ L~.
1. L e thdor~me d6montr6 dans c e t t e n o t e se r a m 6 n e E ceci: les relations algdbriques e n t r e les int6grales indSfinies se r 6 d u i s e n t t o u j o u r s s des relations lindaires.
P o u r p o u v o i r d o n n e r un ~nonc6 pr6cis de ce th~or~me nous allons i n t r o d u i r e la n o t i o n de corps L de f o n c t i o n s d ' u n e variable z.
Un ensemble R des f o n c t i o n s de z sera appel~ un corps L dans un d o m a i n e (ouvert) D du plan des z, s'il j o u i t des trois, propri~t~s suivantes:
A) C h a q u e f o n c t i o n de R est uniforme et h o l o m o r p h e dans D, sauf au plus dans un ensemble d 4 n o m b r a b l e de singularit~s isoldes.
B) Si f ( z ) est u n e f o n c t i o n de /~, sa d~riv~e f ' ( z ) a p p a r t i e n t aussi s R.
C) L ' e n s e m b l e R c o n t i e n t r o u t e s les c o n s t a n t e s complexes et est un corps, c'est 's dire que si a et ~ o sont d e u x g r a n d e u r s de R, les g r a n d e u r s a + t~, a - ~, aft, ~ a p p a r t i e n n e n t aussi ~ R.
2. Alors on a l e th~or~me s u i v a n t :
Soit R un corps L dans le domai.ne D du plan des z et soient (2, I)
n grandeurs de R et
(2, 2)
~,(~) (~ = ~, ..., ,)
leurs intdgrales indgfi~zies. Soit
316 Alexandre Ostrowski.
(2, 3) F ( W l . . . . , Wn; z)
u n pol!gn6me en w l , 9 9 w,, q u i ~le s'am~ule p a s i d e n t i q u e m e n t et dont les coefficients sont des f o n c t i o n s de z du corp.s" R .
A l o r s , s ' i l e x i s t e une r e l a t i o n i d e n t i q u e
(2, 4) I"(~Pl (z), . . . , ,p,,(z); e) =- o,
i l e x i s t e a u s s i u n e relalioJ~ i d e n t i q u e 1 i ~ ~ a i r e
(2, 5)
~, ~,, ~0,. (z)'~ r (e),o,'~
r(z)
est u,,e.fonction
de R et o,'~ ct, . . . . , a,, s o n t des g r a n d e u r s i n d d p e ~ d a ~ l e s de z, do~t l ' u n e a u moirts ne s ' a n n u l e p a s .3. I ) ~ m o n s t r a t i o n . N o u s d~signons par P ( z ) le p o i n t de l'espaee des ~, + I variables complexes % , . . . , w,,,, z, donn4 par
(3, ~) w, = V~, (z) . . . w , = W,, (z), , .
Ddsignons par F l'ensemble de termes de (2, 3) en % , . . . , u',, dont les dimensions sont m a x i m u m . ~ est un polyn6me homog~ne en w~, . . . , w, de di- mension d. N o u s pouvons 6 v i d e m m e n t supposer que /~' soit ehoisi de manibre que d soit aussi petit que possible. Ordonnons les t e r m e s de F d'aprbs le p r i n - c i p e l e x i e o g r a p h i q u e et d~signons alors le p l u s h a u t t e r m e de f f par
(3, 2) f ( e ) w r , . . . w ; " .
Cela veut dire que les exposants de % dans e b a q u e t e r m e de F sont --__< r,;
dans ehaque t e r m e de F c o n t e n a n t wT,, l ' e x p o s a n t de w, est ~ ~ etc. On p e u t 4 v i d e m m e n t diviser F par f ( z ) de sorte que le premier terme de F peut &tre supposd d~s le d4but de la forme
(3, 3) wl" 9 9 9 w~", ~, + " " + ~,, = d.
Nous pouvons de plus s u p p o s e r que parmi les plus h a u t s termes de F p o u r les diff~rents polynbmes F satisfaisant g nos conditions, (3, 2) est le p l u s bas.
En diff~rentiant la relation (z, 4) on voit que r e x p r e s s i o n
O F O F O F
(3, 4) ~0 t (z) 0 w 1 + "'" + cp,, (*) 0~-:7'~, + 0---7 s'annule en chaque point P(z), z.~ D , o~a elle est r6guli~re.
Sur les relations alg6briques entre les int6grales ind~finies. 317 D ' a u t r e part, dans le polyn6me (3, 4) en w, . . . . , w,~ tes termes de la di-
~)F
mension m a x i m u m d sont r c o n t e n u s dans Ozz" E t puisque la d~riv6e partielle de (3, 3) par r a p p o r t ~ z e s t i d e n t i q u e m e n t nulle, le plus h a u t imrmi les termes de dimension d en (3, 4) dcrits dans l'ordre lexicographique, doit ~tre plus bas que (3, 3). Done, l'expression (3, 4) s ' a m n d e i d e n t i q u e m e n t en w I . . . . , w,~, z, et nous voyons que n o t r e fonction F satisfa.it h l'dquation d i f f d r e n t i e l l e
O F O F O F
(3, 5) ~' (~)~w, + ' ~ ~"(~)o-i;~, + - ~ = o . O F
4. Or, les n expressions q~0-~-w-w~ ne c o n t i e n n e n t pas de termes de dimension 0 F
d en wj, . . . , w,. Donc, les termes de dimension d en ~zz doivent se d6truire, ce qui n ' e s t possible que si les coefficients de ees termes sont i~d(~e~Tdants de z.
Doric f f est u n polynSme en w t . . . . , wn ~ c o e f f i c i e n f s c o u s t a n t s .
Soit vk le premier des n exposants v~, r 2 .. . . . v,,, qui est > o. D a n s ce cas f f ne d6pend que de wh., w~-+l, . . . , w,~. Rassemblons dans l'expression (3, 4) les coefficients de
(4, i) I ' = " ~ v k , - 1 " r , " " ~ n 9
D6signons p a r - - 7 ( z ) le coefficient de (4, i) en F et soient I, fl~+,, flk+~, . . . , ft.
les coefficients (constants) des autres termes de F : wk P, W k + l ~), Wk+2 P . . . . , w,~ P, qui e n g e n d r e n t (4, l) par diffdrentiation.
Alors le coefficient t o t a l de P dans (3, 4) est 6videmment 6gal (4, 2) ~ o ~ + ( ~ + , + ~ ) ~ , ~ + ~ + . . . + {~,, + ~)~.~,~ - r' (~).
D'au~re part, d'aprSs (3, 5), la somme (4, 2) s'annule identiquement. I1 r6- suite, en i n t 6 g r a n t , la relation
(4, 3) vk~V, + (V~+l + t)fle+x~V~+l + " " + (v,, + l)fl,~p,,-- Z(z) + c o n s t .
Or, ici 7 est Fun des coefficients de F , done une g r a n d e u r de B. En outre, les coefficients de la relation (4, 3) ne sont pas t o u s --- o, puisque v~ est positif.
No~re th6orSme est d6montr6.
318 Alexandre Ostrowski.
Ce thdor~me peut d'ailleurs ~tre consid~rablement g~ndralisd.
En reserrant un peu les hypothbses portant sur les intdgrales (z, 2) on peut ddmontrer que l'existence d'une relation (2, 4) a pour consdquence rexistence d'une relation lindaire ~wT~ seuleme~t qua~d F est un polynSme, mais aussi si F s'obtient s p,~rtir des variables W~, . .., w~ et des grandeurs de R en combinant les signes des fonctions algdbriques, du logarithme et de la fonction exponentielle. On peut m~me admettre, s cStd du logarithme et de la fonction exponentielle, les intd- grales des fonctions algdbriques et leurs fonctions inverses. 1
La ddmonstration de ce rdsultat exige toutefois des ddveloppements assez dtendus qui sortent du cadre de cette note.
1 Ce rdsultat gdndralise, en ]e prdcisant, un dnoncd de M. J. F. Ritt (Trans. A m . Math. goc.,
~5, 2 1 1 - - 2 2 2 , 1923) d ' a p r e s lequel u n e i n t d g r a l e iaddfinie w d ' u n e f o n t / i o n d l d m e n / a i r e de z au s e n s de Lioaville est elle-m~,me dldmentaire a u s e n s de L i o u v i l l e si elle s a t i s f a i t ~. u n e d q u a t i o n
F(w, z ) ~ o, oil F(w, z) e s t u n e f o n c t i o n dldmentaire a u s e n s de Lionville, c'est-~-dire formde au m o y ~ n des s i g n e s de f o n c t i o n s a l g d b r i q u e s , d u l o g a r i t h m e e t de la f o n c t i o n e x p o n e n t i e l l e .
Bs le 25 juin 1945.
