V0M GESCHLECHTE EINS. Yon

0BER RATIONALE PUNKTE AUF KURVEN DRITTER 0RDNUNG V 0 M GESCHLECHTE EINS.

Y o n

A. W I M A N in LUND.

I~

1. I n d i e s e r A r b e i t w e r d e n i m m e r als K o e f f i z i e n t e n r a t i o n a l e Z a h l e n ange- n o m m e n . E x i s t i e r t ein r a t i o n a l e r P u n k t a u f d e r K u r v e , so l~isst sich i h r e Glei- c h u n g b e k a n n t l i e h s t e t s r a t i o n a l a u f die G e s t a l t

(~) v' = f,(*)

reduzieren. V o n dieser G l e i c h u n g n e h m e n wir u n s e r e n A u s g a n g s p u n k t . Es er- s c h e i n t v o r t e i l h a f t h i e r n i c h t n o t w e n d i g die W e i e r s t r a s s c h e N o r m a l f o r m anzu- n e h m e n . J e n a c h d e r Rationalit~it d e r W u r z e l n el, e~, e 3 v o n f s ( x ) ~- 0 b e k o m m e n w i r drei Fglle, fiir welche eine v e r s c h i e d e n e B e h a n d l u n g e r f o r d e r l i c h ist. D i e s e F~ille o r d n e n w i r b i e r n a c h d e n m i t i h n e n v e r b u n d e n e n s t e i g e n d e n Schwierig- keiten.

I) el, e.~, e.~ sind s~tmtlich r a t i o n a l .

2) N u r eine yon den Z a h l e n el, e2 u n d e 3 ist r a t i o n a l . 3) el, e~, e 8 sind sfimtlich i r r a t i o n a l .

W i r e r i n n e r n h i e r z u n g c h s t an d e n yon H. POINCAR~ e i n g e f f i h r t e n Begriff yore Range einer Kurve, 1 w o m i t m a n die M i n i m a l z a h l y o n B a s l s p u n k t e n be- zeichnet, aus d e n e n sich s~imtliche r a t i o n a l e P u n k t e h e r l e i t e n lassen. D a s s dieser R a n g stets endlich ist, w u r d e sp~tter y o n L. J. MORD~LL bewiesen. ~ D a g e g e n ist es n o c h n i c h t g e l u n g e n eine obere G r e n z e fiir d e n R a n g zu b e s t i m m e n . D e r

Journal de Mathdmatiques, Ser. 5, Bd. 7 (19ol).

Proc. of the Cambridge Philos. Society, Bd. 2I (I922).

Hauptzweck yon unseren Untersuchungen ist nun einen Beitrag zur B e a n t w o r t u n g der letzteren Frage zu geben. Ffir die obigen drei F~lle kennen wir yon vorn- herein im Falle I) zwei Basispunk~e, im Falle 2) einen Basispunkt und im Falle 3) keinen Basispunkt. In sffrntlichen drei Fiillen ist es ~Tach u~seren Methoden m6glich Kurven mit noch vier unabhh'ngigen Basispu~2kten zu bestimmen. Im Falle I) lSsst sich also der Rang sechs erreichen, im Falle 2) der Rm~g f i i n f und im Falle 3) der Rang vier. W e n n wir als Stufe einer Kurve die Anzahl der nStigen Basis- punkte yon unendlicher O r d n u n g bezeiehnen, so kSnnen wir die Sache einfacher so ausdriieken, dass fiir die drei FhTle die iibereinstimrne~Me Eige~schaft gilt, dass es Kurven yon der Stufe vier gibt. Als ein H a u p t p r o b l e m stellt sich jetzt die Aufgabe zu entscheiden, in wie welt hier Kurren yon ~wch hSherer Slufe als vier vorkommen. Diese Frage mfissen wir jedoch u n b e a n t w o r t e t lassen. Einerseits haben wir keinen Beweis, dass vier die Maximalstufe ist; andererseits seheint die Bestimmung yon K u r v e n yon noch hSherer Stufe, falls solehe existieren, auf fast uniiberwindliche Schwierigkeiten zu stossen. ~

In der vorliegenden Arbeit beschriinken wir uns auf die Behandlung d e s Falles I). Nun sind bereits fiber den Fall I) zwei Abhandlungen yon uns ver- 5tfentlicht. 2 Kurven yore Range sechs mit miissigen Koeffizienten kennen wir aus unseren vorhergehenden Arbeiten n u t zwei, niimlich eine nicht-harmonische und eine harmonisehe, s Ob es ffir den harmonischen Fall noch andere K u r v e n vom Range sechs gibt, erscheint zweifelhaft. W i r wollen im zweiten Abschnitt zu den in unseren frfiheren Arbeiten gegebenen harmonischen K u r v e n des Ranges ffinf neue F/~lle hinzuffigen. I m dritten Abschnitt wollen wir die yon uns erhaltenen neuen Resultate fiber nieht-harmonische Kurven vom Range sechs mitteilen.

2. Im Falle I) ersetzen wir die Gleichung (I) durch

= x (x + a) (x +

Dies ist ffir eine bestimmte K u r v e auf sechs Weisen mSglich, so dass, falls o, a und b nach der GrSsse geordnet werden, man eine beliebige Reihenfolge er- halten kann. Wir erinnern jetzt an die bekannte Tatsache, dass, wenn r den

t Sieh h i e r eine i n z w i s e h e n i C o m p t e s r e n d u s , 3I Mai I9481 e r s c h i e n e n e N o t e von A. WIMAN.

2 ,~Uber den R a n g yon K u r v e n !1 ~ = x ( x + a)~,x + b>,, A c t a m a t h . , Bd. 76 (I944). ,,~J'ber ra- tionale P u n k t e a u f K u r v e n y i = x ( x ~ ' - c ~ ' ) > ) , Acta m a t h . , Bd. 7T (1945). W e n n w i r h i e r diese S c h r i f t e n zitieren, n e n n e n w i r d i e s e l b e n ,,Rang yon Kurven,, bzw. ~,Rationale Punkte,,.

* >>Rang yon Kurven)>, S. 245; ,,Rationale Punkte>>, S. 317 .

0ber rationale Punkte auf Kurven drifter Ordnung vom Geschlechte eins. ' 2 2 5

R a n g der K u r v e bezeichnet, die r a t i o n a l e n P u n k t e sich auf 2 ~' K l a s s e n verteilen. ~ Diese Klassen k o m p o n i e r e n sich n a c h e i n e r Abelschen G r u p p e m i t d e n I n v a r i a n t e n 2, 2, . . . 2. D a b e i wird die Klasse, zu welcher ein r a t i o n a l e r P u n k t gehSrt, d u r c h die in den F a k t o r e n x, x + a u n d x + b e i n g e h e n d e n P r i m z a h l e n c h a r a k t e r i s i e r t . D a q u a d r a t i s c h e F a k t o r e n hier ohne B e d e u t u n g sind u n d folglich weggelassen w e r d e n kSnnen, l~isst sich das R e s u l t a t e r h a l t e n , dass jede iibrig bleibende Prim- zahl in e r s t e r P o t e n z u n d zwar an zwei Stellen a u f t r i t t . Am e i n f a c h s t e n ver- f a h r e n wir jetzt, w e n n wir die P r i m z a h l als c h a r a k t e r i s t i s c h fiir die d r i t t e Stelle b e t r a c h t e n . H i e r z u k o m m t noch, dass fiir eine zweiteilige k u b i s c h e K u r v e mar- k i e r t w e r d e n soll, ob der r a t i o n a l e P u n k t auf der Ovale liegt. I n e i n e m solchen Falle w e r d e n zwei von den Gr5ssen x, x + a u n d x q- b negativ, u n d wir ffigen zu i h r e n C h a r a k t e r e n das Z e i c h e n - hinzu. H a t man, was i m m e r b e w i r k t wer- den kann,

o < a < b ,

so sind diese Gr5ssen x u n d x + a. Fiir die drei P u n k t e auf der Achse ver- s c h w i n d e t eine von den GrSssen x, x + a und x + b. A u f die Frage, welche Prim- z a h l e n als F a k t o r e n yon dieser GrSsse in u n g e r a d e r P o t e n z e i n g e h e n , s c h e i n t die A n t w o r t zun~ichst u n b e s t i m m t . M a n ~oekommt dieselbe, i n d e m man d a r a u f Riick- sicht n i m m t , dass eine P r i m z a h l e n t w e d e r in k e i n e m oder zwei yon den drei F a k t o r e n in u n g e r a d e r P o t e n z a u f t r e t e n soll. Es sei bier noch an den Zusam- m e n h a n g e r i n n e r t , der zwischen den C h a r a k t e r e n yon drei P u n k t e n in g e r a d e r L i n i e besteht. M a n erh~lt j a die C h a r a k t e r e des d r i t t e n P u n k t e s , i n d e m m a n die e n t s p r e c h e n d e n C h a r a k t e r e der beiden ande{en P u n k t e m i t e i n a n d e r m u l t i p l i z i e r t u n d d a n n nach den obigen R e g e l n reduziert.

I n den beiden v o r h e r g e h e n d e n A b h a n d l u n g e n finder man m a n n i g f a c h e Bei- spiele zu den E n t w i c k l u n g e n dieser N u m m e r . W e i t e r e folgen in der F o r t s e t z u n g dieser Arbeit.

3. I m zweiten A b s c h n i t t y o n >)Rang von Kurvem) h a b e n wir eine M e t h o d e gegeben, w o d u r c h K u r v e n (2) yon i m m e r h 5 h e r e m R a n g e sich b e s t i m m e n lassen.

Bei dieser M e t h o d e w u r d e aus der G e s a m t h e i t der K u r v e n ( 2 ) i m m e r e n g e r e und e n g e r e F a m i l i e n abgeschieden, u n d dass der R a n g der K u r v e n bei j e d e m solchen S c h r i t t e d u r c h s c h n i t t l i c h m i t e i n e r E i n h e i t wuchs, wurde in den g e g e b e n e n Bei-

M a n v e r g l e i c h e fiir d i e s e N u m m e r >,Rang y o n Kurven>>, S. 226 u n d >,Rationale Punkte>~, S. 282.

15

spielen besti*tigt. W i r w e r d e n indessen hier finden, dass cine solcke l*;rkSkung de.;

Ranges keineswegs immer eintritt. Es s c h e i n t also w t i n s c h e n s w e r t diese F r a g e e i n e r m e h r e i n g e h e n d e n B e h a n d l u n g zu u n t e r w e r f e n , u n d dies wird auch die H a u p t a u f g a b e fiir diesen e i n l e i t e n d e n A b s c h n i t t . Beziiglich der Fiille 2) und 3) sei n u r b e m e r k t , dass fiir ihre B e h a n d l u n g modifizierte a b e r vSllig a n a l o g e Ne- t h o d e n e r f o r d e r l i c h sind.

Fiir e i n e n r a t i o n a l e n P u n k t der K u r v e (2) h a t m a n

( 3 ) x = I"(,,

a n d h i e r a u s litsst sieh die R e l a t i o n

(4) ~ a -~ b ~ - /c(~ -1- 1) X -~

h e r l e i t e n . Es sind h i e r k u n d x r a t i o n a l e Zahlen. D e n I n b e g r i f f der K u r v e n , welehen m a n d u r e h F i x i e r u n g des P a r a m e t e r s k b e k o m m t , n e n n e n wir eine F a - mille erster Stale. D e m e n t s p r e e h e n d kan m a n die G e s a m t h e i t der K u r v e n (2) als Familie nullter St~(fe bezeiehnen. I n gleieher W e i s e gehSren zu e i n e m zweiten r a t i o n a l e n P u n k t der K u r v e ein P a r a m e t e r kt u n d eine R e l a t i o n

(5) /c 1 a -1- b = / e l (kl -~- I) x~.

g s lassen sieh j e t z t a a n d b aus (4) u n d (5) b e s t i m m e n , a n d wir b e k o m m e n k(k + i) z " - - a,, (/q + } ) x~.

(6) a . . . k - - k, '

' (k

(7) b = / ~ k, ((k, + ~ y., - + i: 7.'-')

k - - kl Das K u r v e n s y s t e m

+ k ( k + ~ ) ' ~ ~ - t ; ~ ( k ~ + ' ) ~ : . + k t - ~ - k -kl ... !

(8) y ' ----= x x k - - kl

das wir in s o l c h e r W e i s e e r h a l t e n haben, b e z e i e h n e n wir, n a e h F i x i e r u n g der P a r a m e t e r k u n d kl, als eine Familie zweiter Stale. D e r niichste S c h r i t t f i i h r t

zu der R e l a t i o n

(9) k, a -}- b =/c~ (]'~ -+- I ) z2.

Es lassen sieh j e t z t a u n d b aus (4), (5) a n d (9) eliminieren, n n d es e r g i b t sich fiir die P a r a m e t e r k, k I u n d k_~ die B e d i n g u n g

(,o) ( k , - ~.) k (k + i) ~.' + ( k ~ - ~) ~, (a., + ~)~.~ + ( k - k,)X-~(k., + ~) <, = o

Uber rationale Punkte auf Kurven dritter O r d n u n g vom Geschlechte eins. 227 D a s linke G l i e d m u s s m i t h i n eine terniire q u a d r a t i s c h e N u l l f o r m in x, x 1 u n d z~ darstellen. A u s den L S s u n g e n hierzu b e k o m m e n wir die K u r v e n e i n e r .FarMlie der dritten Stufe. Es l~isst sich n o c h ein v i e r t e r S c h r i t t n e h m e n , d u r c h w e l c h e n zu (4), (5) u n d (9) noeh

sieh anschliesst. W i r e r h a l t e n j e t z t eine I~Swt'evfamilie der rierte~ Stufe, falls diese vier G l e i c h u n g e n m i t e i n a n d e r vertriiglieh sind. h l s B e d i n g u n g hierfiir er- g i b t sich, dass das f o l g e n d e S y s t e m L S s u n g e n besitzt:

[ ( k x - k~) ~(k + i)~ ~ + ( k ~ - k)kl(~l + ~),.~ + (~-- ~ , ) k , G + i ) ~ = o;

(i:) J ( k l - k ~ ) ~ ( k + ~)~" + (k~ -- k) k, (~ + i)~: + ( k - - k ~ ) k ~ G + ~ ) ~ . = o ;

](]C~ --]r k ( ~ q- I ) X ~ -~" (]r It) /r ( ~ Jr" I)Z~ + ( k - - ~,)]r (]g $ -I- I ) X l o ;

/

t (k~ - k~) k~ G + ,) ~ + G - k~) ~ (k.., + i) ,. ~ + (k~ - k,) k~ G + ~) ~ ~ = o.

D i e l i n k e n G l i e d e r yon diesen vier G l e i c h u n g e n b e k o m m t m a n a b e t a u s d e n terniiren B e s t a n d t e i l e n eines Biischels y o n q u a t e r n i i r e n F o r m e n in u, z~, u~

u n d x.~. Dieses Biischel muss also ein N u l l b i i s c h e l b e d e u t e n ) l[Jbrigens definiert (I2) eine elliptisehe R a u m k u r v e v i e r t e r O r d n u n g , u n d die G l i e d e r d e r K u r v e n . f a m i l i e v i e r t e r S t u f e e n t s p r e c h e n s o m i t d e n r a t i o n a l e n P u n k t e n dieser K u r v e . D o c h g e l a n g t m a n zu d e r s e l b e n Kt~rve. bei Z e i c h e n i ~ n d e r u n g e n v o n u, zx, z~

o d e r x 3. D i e A u f s u c h u n g yon zu einem Nullbiischel f i i h r e n d e n P a r a m e t e r n k, k~, )['e u n d k3 k a n n S c h w i e r i g k e i t e n d a r b i e t e n , w e n n m a n n i c h t y o n einer b e r e i t s b e k a n n t e n K u r v e m i t r a t i o n a l e n P u n k t e n a u s g e h t . Fiir d a s einzige Nullbiischel, das im ))Rang yon Kurven~) b e h u n d e l t wird, h a t t e n w i r k, k 1, k~, ka ---- I, - - 2, 2, - - 4 , u n d d a s Nullbfischel liisst sieh d u r c h das S y s t e m

2

2 z ~ - - 5 z~,-- 2 z~ = o;

2 2 o

Z ~ - - X 2 - - 4 Z ~ = O

definieren. Z u r L S s u n g z = I3, z~ = Io, z~ = 8, z3 ~-- 3 gehSr~ eine K u r v e v o m R a n g e seehs m i t d e r G l e i e h u n g

(I4)

V ' ~ - x ( x + 46 ) (x + 292 ) .

In a r i t h m e t i s c h e r H i n s i e h t ist, diese K u r v e gewiss eine y o n den a m m e i s t e n be- m e r k e n s w e r t e n K u r v e n d r i t t e r 0 r d n u n g .

1 Die durch ein Nullbfischel deflnierte Kurve soll also hier einen rationalen Punkt be$itzen, fiir welchen keine von den Koordinaten • verschwindet.

4. I n * R a n g von Kurven>> w u r d e ohne Beweis a n g e n o m m e n , dass d e r H a u p t - b e s t a n d t e i l der K u r v e n e i n e r gewissen Familie yon derselben S t u f e wie die Fa- mille ist, u n d diese E i g e n s c h a f t w u r d e auch in den d o r t g e g e b e n e n Beispielen best~tigt. Es ist die R i c h t i g k e i t dieser V o r a u s s e t z u n g , welche wir j e t z t priifen wollen. W i r sehen l e i c h t ein, dass hierfiir die f o l g e n d e n zwei B e d i n g u n g e n er- f o r d e r l i c h sind. E i n e r s e i t s miissen die in U b e r e i n s t i m m u n g m i t der vorherge- h e n d e n N u m m e r e i n g e f i i h r t e n B a s i s p u n k t e ein S y s t e m yon r a t i o n a l e n P u n k t e n erzeugen, das yon d e m s e l b e n R a n g e wie die A n z a h l der B a s i s p u n k t e ist. Die a n d e r e B e d i n g u n g bezieht sich a u f die drei P u n k t e der Achse, welche j a m i t d e m u n e n d l i c h e n t f e r n t e n P u n k t e ein endliches S y s t e m y o n vier r a t i o n a l e n P u n k t e n des R a n g e s zwei bilden. K e i n e r yon diesen P u n k t e n d a r f niimlich zu j e n e m erst- g e n a n n t e n S y s t e m gehSren. Wie es scheint, F, isst l e t z t e r e B e d i n g u n g sich i m m e r b e f r i e d i g e n . I n a n d e r e r W e i s e verh~ilt es sich m i t der e r s t e n B e d i n g u n g . Bereits u n t e r den F a m i l i e n der zweiten S t u f e gibt es n~imlich Ausnahmefiille, in d e n e n die z u g e h S r i g e n K u r v e n n u r von der e r s t e n S t u f e sind; h i e r wird yon der MSg- l i c h k e i t a b g e s e h e n , dass fiir gewisse K u r v e n der F a m i l i e d e r R a n g d u r c h das A u f t r e t e n yon n e u e n B a s i s p u n k t e n e r h S h t w e r d e n kann. ~

Die zu e i n e m r a t i o n a l e n P u n k t e (3) g e h S r e n d e n endgiiltigen C h a r a k t e r e fiir die F a k t o r e n x, x + a u n d x + b k S n n e n wir n i c h t o h n e weiteres herstellen, d a wir die in diesen F a k t o r e n e i n g e h e n d e n 1)rimzahlen n i c h t k e n n e n , a n d n u r ein Teil von d e r in Nr. 2 b_eschriebenen l~eduktion F, isst sich ausfiihren. /qach (3 u n d (4) k S n n e n wir von

X'a, (X" -4- I)a,

k(k

⁺

I)

ausgehen. H i e r v o n k o m m e n wir n a c h den in Nr. 2 g e g e b e n e n R e g e l n zu

(I5) k + i, k, a.

I m V o r i i b e r g e h e n e r i n n e r n wir daran, dass h i e r n i e h t n o t w e n d i g x, x + a u n d x + b n a e h s t e i g e n d e r Griisse g e o r d n e t sind. A h n l i e h e R e s u l t a t e b e k o m m e n wir fiir die e t w a f o l g e n d e n B a s i s p u n k t e m i t P a r a m e t e r n k~, k~ o d e r k~. Bleiben w i t bei der z w e i t e n Stufe, so ist die F r a g e ob (I5) u n d

(I6) k ~ + I , k~, a

die C h a r a k t e r e fiir i d e n t i s e h e oder v e r s e h i e d e n e K l a s s e n bezeiehnen. W e n n w i t (I5) u n d (I6) k o m p o n i e r e n , so b e k o m m e n wir eine Klasse m i t den C h a r a k t e r e n Ill dieser Arbeit bezeichnen wir eine Knrve als vom Range r, wenn wir bewiesen haben, dass die Kurvc mindestens den Rang r hat. Im allgemeinen diirfte dann aueh r der richtige Rang sein.

CTber rationale Punkte auf Kurven dritter Ordnung vom Geschlechte eins. 229

(17) (]~ d- I ) ( k 1 -4- I), ]g]gl, I,

wo also a n i e h t Uinger a u f t r i t t . Die F r a g e s t e l l u n g ist nun, in wie weir (I7) die C h a r a k t e r e fiir die E i n h e i t s k l a s s e b e d e u t e n k a n n . Z u r A n t w o r t m a g es gentigen u u f d e n F a l l hinzuweisen, wo k, k + I, kl u n d k 1 + I s~imtlich Q u a d r a t e r a t i o n a l e r Z a h l e n darstellen. Zu d e m E n d e b r a u e h e n w i r n u r zu setzen

4m2n'~ _ ( m e + n 2 ) 2 __ 4m~n~ (m~ + . ~ ) 2

( i s ) ~ = (m s _ ~;~)~, k + , ( m ~ - n")'-" k,

(.~ .~)~,

^{k , . 1 - ( . ~ _}

.~)~

m i t d e r h i n z u t r e t e n d e n B e d i n g u n g ~

( ' 9 ) m ~ - - ~ l ~ = m s - - n ~,

welehe sieh natiirlieh in m a n n i g f a e h e r W e i s e b e f r i e d i g e n liisst. S o g a r fiir Fa- milien v i e r t e r S t u f e k a n n es e i n t r e f f e n , dass die z u g e h S r i g e n K u r v e n regelm~issig n u r v o n d e r e r s t e n S t u f e sind. Als e r f o r d e r l i c h e B e d i n g u n g e n h i e r f i i r h a t m a n , dass in

(k -]- I)(]r "~- I), ]r ]gl, I;

(20) ( } +

,) (}..

+ 1), } } ~ , i ;

(~ q- I) (k 3 -~ I), ~k3, I

lauter Einheitseharaktere auftreten. Um einen solchen Fall herzustellen, braucht man ja nur ein L6sungssystem ffir

( z , ) m -~ - ~" = .~; - ~ , ~ = . , ~ - ~ =

, ~ - - ~

zu k e n n e n . I s t e~wa Io5 d e r g e m e i n s a m e W e r t d e r A u s d r i i e k e in (2I), so e r h a l t e n wir z . B . ein solehes S y s t e m in

m = 5 3 , n = 5 2 , m l = I 9 , n l = I 6 , m ~ = I 3 , ~ , = 8 , m 3 = , 1 , h a = 4.

Zu dieser F r a g e sei w e i t e r n u r b e m e r k t , dass w i r im d r i t t e n A b s e h n i t t bei d e m n a t i i r l i e h e n G a n g e u n s e r e r U n t e r s u e h u n g e n a u f F a m i l i e n v i e r t e r S t u f e stossen, bei d e n e n die z u g e h S r i g e n K u r v e n in d e r R e g e l y o n d e r d r i t t e n S t u f e sind.

W a s n u n die C h a r a k t e r e fiir die P u n k t e a u f d e r A e h s e betrifft, so sind diese n a e h den in N r . 2 g e g e b e n e n R e g e l n :

I) fiir x = o ab, a, b=--I, b, a;

2) fiir x + a = o - - a , - - a ( b - - a ) , b - - a ~ - - (b - - a), - - I , a;

3) f ~ x + b = o - b, - - (b - - . ) , b (b - - a) - - - - (~ - - a). - - b,

,.

1 Beim Vergleich der GrSssen (I8) ist es ja vorteilhaft, dass dieselben einen gemeinsamen Nenner besitzen.

H i e r b e i ist zu b e m e r k e n , dass, falls n i c h t s~imtliche GrSssen a, b u n d b - - a > o sind, das endgiiltige A u f t r e t e n des C h a r a k t e r s - an a n d e r e n Stellen als h i e r oben erfolgt. Ffir a, b u n d b - a e r h a l t e n w i t Ausdriicke aus (6) u n d (7). in d e n e n zwei beliebig zu w~thlende Q u a d r a t e x "~ u n d x~ eingehen. W i r setzen j e t z t vor- aus, dass d u r c h den Einfluss dieser Q u a d r a t e in j e n e n Ausdriicken n o r m a l i t e r P r i m z a h l f a k t o r e n e i n g e h e n , welche sowohl yon e i n a n d e r als auch yon den Fak- t o r e n k, k + I, kl, k l + I, k~, k~ + I, k~ u n d k~ + I v e r s c h i e d e n sind, u n d dass diese F a k t o r e n im a l l g e m e i n e n in e r s t e r P o t e n z a u f t r e t e n . H i e r i n liegen h n - n a h m e n , die uns ziemlich s e l b s t v e r s t ~ n d l i c h e r s e h e i n e n , fiir welehe a b e r ein s t r e n g e r Beweis vielleicht n i e h t o h n e r e c h t weitl/iufige A u s e i n a n d e r s e t z u n g e n sieh ausffihren l~sst. U n t e r den j e t z i g e n V o r a u s s e t z u n g e n g e h S r e n die drei P u n k t e a u f der Achse zu v e r s e h i e d e n e n Klassen, u n d keine yon diesen K l a s s e n h a t Re- p r ~ s e n t a n t e n in dem System, das (lurch die B a s i s p u n k t e x ~ k a, k l a , . . , er- z e u g t wird.

5. Es ist in Nr. 2 b e m e r k t , dass die G l e i e h u n g e i n e r K u r v e in seehs ver- s c h i e d e n e n W e i s e n in der G e s t a l t (2) g e g e b e n w e r d e n kann. Die F r a g e ist nun, wie die seehs z u g e h S r i g e n W e r t e des P a r a m e t e r s k yon e i n a n d e r abh~ingen. W e n n die F a k t o r e n x u n d x § a ihre Rollen wechseln, so ist x § a d u r c h x~ zu er- setzen, u n d (2) g e h t in

(21) y~ ~-- x, (x, - - a) (xl q- b - - a) fiber. Aus x : k a b e k o m m t m a n

(31) X 1 = - - (k + I) ( - - a),

u n d es wird m i t h i n k d u r c h

(22) _ (k + i)

ersetzt. 1 W e l t e r v e r t a u s c h e n wir x + a u n d x + b m i t e i n a n d e r , so dass (2) in y ' = x (x + b) (x + a)

u m g e s wird. N e h m e n wir j e t z t zwei P u n k t e x u n d x~ auf der K u r v e , d e r e n V e r b i n d u n g s l i n i e d u r c h den A n f a n g s p u n k t geht, so gilt die R e l a t i o n

xx2~---- a b . Aus x----k a f o l g t m i t h i n

= b

1 Es ist (22) mit (xo) >,Rang von Kurvem,, S. 237 identisch.

Uber rationale Punkte atff Kurven dritter Ordnung vom Geschlechte eins. 231 Zur Gestalt (22) der K u r v e n g l e i c h u n g gehSrt also, obwohl n a c h U b e r g a n g zu einem anderen P u n k t , der P a r a m e t e r w e r t

(23) k(._, > = I .

k

I n derselben Weise wie (2) in (21) l~isst sieh (2.2) in

(2~)

umformen.

(24)

Als m i t f o l g e n d e S u b s t i t u t i o n fiir den P a r a m e t e r ergibt sich k + I

k (3) = - - (I -1- k (2)) = - - ]C

Es l~isst sieh noeh die K u r v e n g l e i e h u n g in zwei Weisen u m f o r m e n , indem die beiden letzten F a k t o r e n in (2~) u n d (2.~)vertauscht werden. Diese V e r t a u s c h u n g e n werden von den Parameter:,inderungen

I I

(26) begleitet.

(27)

I k

k(5) - -

k (+j k + I Die seehs P a r a m e t e r w e r t e

x,

k + i i k

k, - - ( k + i),

fiihren m i t h i n zu derselben Familie erster Stufe. Ebe~so, wenn es sich um Fanff- lien hSherer Stufe handelt, bleibt die _Familie ungeYndert, wenn +lie Parameter ir- gend einer von den Substitutionen (27) unterwo~fen werde~.

D u t c h die P u n k t e I, o , - - 8 9 I , - - 2 wird die reelle Aehse in seehs Ab- sehnitte zerlegt, so dass, wie aueh k gew~ihlt wird, die seehs GrSssen (27) sieh auf die seehs Absehnitte verteilen. Doeh ist zu bemerken, dass in einem Falle die seehs GrSssen, zwei u n d zwei, sieh in I , - - 8 9 u n d - - 2 vereinigen. Ausge- schlossene W e r t e fiir k sind o u n d - - I . Die drei Absehnitte, in welehe diese P u n k t e die reetle Axe teilt, besitzen d i e Eigensehaft, dass, falls yon den Para- metern k, k 1 u n d k~ je einer zu jedem A b s e h n i t t gehSrt, so w i r d die tern~ire quadratisehe F o r m (IO) definit u n d k a n n also keine N u l l f o r m bedeuten. 1 A u f hSehstens zwei yon den I n t e r v a l l e n kSnnen m i t h i n die k-Werte, die den r a t i o n a l e n

a V e r g l . >>Rang v o n K u r v e n % s. 246.

P u n k t e n einer Kurve (2) entspreehen, verlegt werden. Es ist soeben in dieser N u m m e r yon sechs verschiedenen Gestalten der Kurvengleichung die Rede ge- wesen. Diesen entsprechen die sechs mSglichen V e r t a u s c h u n g e n der drei Inter- valle. Es sei zuletzt bemerkt, dass hier nicht auf die Modifikationen eingegangen worden ist, welche nStig werden kSnnen, wenn unter den Gr5ssen ~ a, q-b,

+ (b--a) Quadrate auftreten. 1

II.

6. Fiir eine harmonische Kurve l~sst sich bekanntlich (2) durch die ein- fachere Gleichung

( 2 8 ) y~ = X ( X " ~ 2)

ersetzen, wo c ein P r o d u k t yon lauter verschiedenen Primzahlen bedeutet. Die sonst von uns bei diesen U n t e r s u c h u n g e n benutzte ~r scheint in diesem speziellen Falle zu versagen. Diese Methode besteht ja darin zu immer engeren Kurvenfamilien mit durchschnittlich steigendem Range zu iibergehen. Die Spezia- lit~t des harmonischen Falles fiihrt auch mit sich, dass Kurven vierter Stufe hier selten vorkommen. Uns ist n u r das einzige Beispiel

(29) c = 2.3.7.I7.4I

bekannt. ~ W i r wollen deshalb bier unsere Aufmerksamkeit haupts~iehlieh den K u r v e n d r i f t e r Stufe, d . h . vom Range fiinf, zuwenden. Aueh die Aufgabe Kur- yen yon diesem Range aufzusuehen ist iibrigens mit e r n s t h a f t e n Sehwierigkeiten verbunden.

I m ersten Absehnitt yon *Rang yon Kurven>) haben wir zuerst Beispiele harmonischer K u r v e n vom Range vier gegeben. I n der Arbeit ))Rationale Punkte>) ist der zweite Absehnitt den Fiillen c----p u n d c ~ 2 p gewidmet, wobei besonders auf die K u r v e n vom Range vier die Aufmerksamkeit gelenkt wurde. W i e h t i g e r fiir unsere gegenw~irtige Bestrebungen ist der dritte Absehnitt d e r l e t z t g e n a n n t e n Arbeit. Es gilt hier gewisse Folgen yon vier ganzen Zahlen in arithmetiseher Proo'ression, dutch welche mit ~usserst seltenen Ausnahmen K u r v e n ( 2 8 ) y o r e Range vier sich bestimmen lassen. Die drei Typen, yon denen die Retie ist, sind die folgenden :

(30) m s, , - - - - , n'~;

3 3

i W i r v e r w e i s e n h i e r a u f >>Rang von Kurven>,, S. 238.

Sieh >)Rationale Punkte)), S. 317 .

Ober rationale Punkte auf Kurven dritter Ordnung vom Geschlechte eins.

(301) (3oe)

Es u n t e r s e h e i d e n

233 3me, 2 m "~ ~2, m 2 + 2 n e, 3 ~ ;

- - 3 m ~ , - - 2 m e + n 2, - - m e + 2 n e, 3n~-

sich (3 ~ ) u n d (3o~) in Bezug a u f m u n d n darin, dass in (30) weder m noeh n den F a k t o r 3 enth~ilt, in (3oj) d a g e g e n 3 F a k t o r von e n t w e d e r ra oder n ist. Es ist zuSissig n > m a n z u n e h m e n . Fiir c b e k o m m t m a n in den drei F~llen:

(3~) (31~)

(3Ie)

Hierbei denken

n e - m e 2 m ~ + n e m e + 2 n 2

e . . . ;

3 3 3

= 3 (n e - ~ e ) (2 m ~ + . e ) ( m e + 2 . e ) ; c = +_ 3 ( , , e + he) ( , e _ 2 m e) (2 , e _ me).

wir uns die e t w a in diesen Ausdriicken a u f t r e t e n d e n quadra- tisehen F a k t o r e n ausgeschieden. I n (312) gilt das obere oder u n t e r e Zeichen, ]e n a c h d e m n 2 ~ 2 me.

7. Als haupts~chliche Hilfsmittel, u m in der Arbeit ,>Rationale Punkte,, K u r v e n vom R a n g e fiinf au'fzusuchen, d i e n t e n uns die Folgen (3o), (3ol) u n d (3oe).

Zu den dortigen R e s u l t a t e n wollen wir hier n u r einige B e m e r k u n g e n hinzufiigen.

U m zu beweisen, dass fiir eine K u r v e (28), zu welcher eine gewisse Folge gefiihrt hat, der R a n g den W e r t fiinf erreicht, b r a u c h t m a n ja n u r einen n e u e n yon den bereits b e k a n n f e n unabh~ingigen B a s i s p u n k t e n zu kennen. N a c h der Methode, die sich a u f diesem U m s t a n d e griinden l~tsst, ist es uns jedoch n u r g e l u n g e n zwei K u r v e n (28) vom R a n g e fiinf herzuleiten, u n d zwar fiir c----2.3.5.7.I7.43 u n d

c~2.3.7.II.I9.67 .1

Eine andere u n d wichtigere l~ISglichkeit fiir die E r h S h u n g des R a n g e s ergibt sich, w e n n zwei (oder mehrere) Folgen zu derselben K u r v e fiihren. U n t e r den K u r v e n , welche diese B e d i n g ~ n g erfiillen, finder man, wie wir in der o b e n g e n a n n t e n Arbeit nachgewiesen haben, die sechs F~lle:

/ I ) C ~ 2 . 3 . I I . I 9 ; 2) e----2.3.73.97; 3) c = 2 . 3 . 9 7 . I 9 3 ;

(32)

"[4) c ~ 2 . 3 . 7 . I 7 . 3 t ;

5)

c=2.3.7.I7.4t;

6) e ~ 2 . 3 . 1 1 . 1 7 . 4 1 . 4 3 .

Von diesen K u r v e n ist 5) sehon in (~9) als die einzige uns b e k a n n t e K u r v e (28) vom R a n g e seehs hervorgehoben. Es ist auffallend, dass fiir sEmtliehe yon u n s in ~Rationale Punkte>> besproehene K u r v e n yon einem R a n g e > 4 e die F a k t o r e n 2 u n d 3 u n d iiberhaupt wenigstens vier P r i m f a k t o r e n enthiilt. Dies seheint einen

i Sieh >>Rationale Pnnkte>>, S. 308.

S p r u n g yon den Verhfiltnissen beim R a n g e vier zu bezeichnen, wo wir ]a K u r v e n k e n n e n , fiir welche in c n u r eine einzige P r i m z a h l eingeht. ~ I n der v o r l i e g e n d e n A r b e i t findet hierin n u r die A n d e r u n g st~tt, dass wir eine K u r v e yore R a n g e fiinf g e f u n d e n h a b e n , fiir welche c den F a k t o r 3 n i c h t enth~,ilt.

IVem, m a , c = 2.3.7. I7.3I au.,.nimmt, so hat man in (32 ) m w die ersten Glieder vo, Schare,, in denen die K i n ' r e , ci,e~ B a n g > 4 besitzen. H i e r b e i ist die Sehar, die mit c ~ 2.3.7.I7.4I anfiingt, wesentlieh d i c h t e r als die iibrigen.

D e r U n t e r s e h i e d ist zu v e r g l e i e h e n m i t d e r D i e h t i g k e i t der N u l l s t e l l e n fiir eine N u l l f o r m (IO) u n d fiir ein Nullbiisehel (12). Die diesbeziigliehen U n t e r s u e h u n g e n in u n s e r e r S e h r i f t ~Rationale Punkte>> sind in zweierlei I t i n s i e h t e n zu ergiinzen, da einerseits die in Rede s t e h e n d e E i g e n s e h a f t fiir c = 2 . 3 . I I . I 7 . 4 1 . 4 3 d o r t keine E r w i i h n u n g g e f u n d e n hat, u n d u n d e r e r s e i t s von den drei Seharen, die sieh an c = 2 . 3 . I I . I 9 anschliessen, n u t eine b e h a n d e l t wurde.

Zu c = 2 . 3 . I I . I 7 . 4 1 . 4 3 f i i h r e n die F o l g e n ~ l - I 3 6 9 ' I394' I419' I444;

(33)

/

_25, 722, I419, 2 I I 6 .

Die erste sehreiben wir a l l g e m e i n e r

. 2 u "~ + 4 v " u -~ + 8 v - "

U ' , , ' 4 v~

3 3

m i t der Differenz ~t'~ ~ j t ' . Fiir das zweite u n d d r i t t e Glied in der zweiten F o l g e 3

u ~ + 8 v ~

e r g i b t sieh d a n n 2 v "~ u n d 9 Als vollst~indige zweite Folge e r h M t e n wir 3

~t 2 -b 2 V ~

]etzt, da die Differenz dieser auf e i n a n d e r f o l g e n d e n G l i e d e r ist, 3

4 V~ - - u ~" u ' + 8 l "~" 2 U ' ~ + I O V e

3 3 3

N u n sollen das erste u n d letzte Glied Q u a d r a t e b e z e i e h n e n ; iiberdies ist, wie m a n l e i e h t sieht, das letzte G l i e d eine g e r a d e Zahl. Es g e l t e n also R e l a t i o n e n (34) 4 v ~ - u ' ~ = 3 ~c'*; 2 u ~ + I O V 2 ~ - I 2 t 2.

D u r e h (34) wird n u n eine elliptisehe R a u m k u r v e v i e r t e r O r d n u n g definiert. A u f dieser Raumk'urve k e n n e n wir die r a t i o n a l e n P u n k t e u = t, -= w = t = I u n d u -= 37,

' c ~ 4 I , I 3 7 , 7 6 I . S i e h > > R a t i o n a l e P n n k t e - , S. 2 9 4 . ' S i e h > > R a t i o n a l e P u n k t e - , S. 3 2 0 .

(~ber rationale Punkte auf Kurven dritter Ordnung vom Geschlechte eins. 235 v = I9, w = 5, t ~ 23, u n d d u r c h Z e i c h e n i i n d e r u n g e n b e k o m m t m a n h i e r a u s n o c h a n d e r e . N a c h bek~nn~en M e t h o d e n k a n n m a n j e t z t in d e r A u f s u c h u n g yon ratio- nMen P u n k t e n f o r t s c h r e i t e n , u n d von diesen l:,isst sich in e n t s p r e c h e n d e r W e i s e , wie es h i e r im A u s g a n g s f a l l e m 5 g ] i c h ist, zu n e u e n K u r v e n v o m R a n g e fiinf i i b e r g e h e n .

Zu c = 2.3.I i . i 9 g e l ~ n g e n wir y o n n i c h t w e n i g e r als v i e r F o l g e n , nfimlich ~

I6, I9, 22, 2 5 ;

(35) i6, 27, 38, 49;

3, i i , i9, 27;

529, 578 , 627, 676.

Die letzte Folge, welehe iibrigens h i e r n i e h t w e l t e r in B e t r a e h t k o m m t , ge- h S r t zu den s e l t e n e n Folgen, d u r e h welche die S t u f e n u r m i t e i n e r E i n h e i t er- h S h t wird. ~ W e l c h e s P a a r y o n d e n drei iibrig b l e i b e n d e n F o l g e n m a n aueh wiihlt, so l~sst d~sselbe sieh f o r t s e t z e n , so dass m a n in solcher W e i s e drei Sy,~'teme ton Kurcen des Ranges f i i n f bekommt, die yon der Au]'a~gskurve c = 2 . 3 . I I . I 9 aus- gehen. D a der Fall m i t d e n beiden e r s t e n F o l g e n sehon in u n s e r e r h i e r o b e n zitierten A r b e i t b e h a n d e l t w o r d e n ist, so k S n n e n wir u n s a u f die zwei P a a r e beschriinken, welehe die d r i t t e F o l g e find e i n e y o n den b e i d e n a n d e r e n e n t h a l t e n . N u n liisst sieh die d r i t t e F o l g e so s e h r e i b e n

3 u2, 2 u 2 + 9 v~, u * + 18v e, 27 v2.

Fiir die e r s t e F o l g e b e k o m m e n wir j e t z t als zweites u n d drit~es Glied u ~ + I 8 v e bzw. 4 u 2 + I 8 v e u n d hier~us als Differenz 3 u~. Fiir die F o l g e erhiilt m a n also den A u s d r u c k

- - 2 U e + 18 V 2, it ~ + 18 V 2, 4 U e + 18 v", 7 U~ + 1 8 V ~ Fiir die zweite F o l g e e r g i b t sieh n u n leicht

- - 2 u ~ + i 8 v 2, 27 v~ 2 u -~ + 3 6 v ~, 4 ue + 4 5 v 2.

I n diesen F o l g e n b e z e i e h n e n das erste u n d das letzte Glied Q u a d r a t e . Es be- s t e h e n also Rela,tionen

(36 ) - - 2 u ~ + I8V ~ = w ~ ; 7 u ' ~ + I8V "~176 4 u " + 4 5 v ~ = s ~.

H i e r b e d e u t e n s o w o h l die erste u n d die zweite als die e r s t e u n d die d r i t t e Glei- c h u n g e l l i p t i s e h e R a u m k u r v e n v i e r t e r O r d n u n g , fiir welehe sehon a u s (35) ratio-

i Sieh )>Rationale Punkte)>, S. 3Jo.

Sieh ,>Rationale Punkte>>, S. 308.

nale P u n k t e bekannt sind. Aus diesen lassen sich in bekannter Weise andere herleiten, denen neue Kurven vom Range fiinf entsprechen.

Unter den harmonischen Kurven vom Range fiinf scheint also der Fall c ~ 2 . 3 . I I . 1 9 eine besonders ausgezeichnete Stellung einzunehmen. Fiir c----

= 2.3.I1.I7.41.43 erlauben wir uns noch die Bemerkung, dass hier die Verhiilt- nisse mit denjenigen, wo c n u r v i e r Primzahlen enthiflt, analog sind, da bei den obigen ErSrterungen sowohl 2 und 17 als 3 und 11 immer als Produkte auf- treten.

Zuletzt l~sst sich fragen, warum, wenn noch eine zweite Folge zu einer Kurve (28) ftihrt, der Rang nicht durch diese wie durch die erste um zwei er- hSht wird. Nun kennen wir wirklich Fiille, wo eine solche ErhShung eintritt, aber nur bei der Kurve (29) mit c = 2 . 3 . 7 . I 7 . 4 I , fiir welche ja auch der Rang sechs ist. Zur Beleuchtung mSgen hier die fiinf zu dieser Kurve gehSrenden Folgen aufgeschrieben werden. Dabei werden neben jede Folge die Charaktere gegeben, die sich unmittelbar aus ihr herleiten lassen, t

- - 2 7 , 7 , 4 1 , 7 5 . - - 4 1 , - - 7 , 3 ; 7 , 4 1 , 3 ; - - 1 , - - I , 7 . 4 1 . - - 4 8 , - - 7 , 3 4 , 7 5 . - - 3 , - - 7 , 2 . 1 7 ; - - 3 , - - 2 . I 7 , 7 ; 2.7.I7, I, I.

( 3 7 ) 2 7 , 3 4 , 4 1 , 4 8 . 3 , 2 . 1 7 , 4 1 ; 2 . 1 7 , 4 1 , 3 ; 4 1 , 3 , 2 , 17.

4, 123, 242, 361. I, 3.41, 2; 3-4I, 2, I; 2, I, 3.41.

--5o7, - - 8 2 , 343, 768. - - 3 , - - 2 . 4 I , 7; - - 3 , - - 7 , 2 . 4 I ; 2.7.4I, I, I.

Aus fiinf Folgen lgsst sich in zehn Weisen ein P a a r h e r a u s n e h m e n . Denkt man sich nun, dass yon den Folgen nur ein solches P a a r bekannt ist, so h a t m a n in fiinf Fgllen Basispunkte fiir den Rang fiinf und in den iibrigen fiinf Fiillen Basis- punkte fiir den R a n g sechs. Von der zweiten Art sind die Paare, die man durch Kombination der ersten mit der vierten oder fiinften, der zweiten mit der fiinften, der dritten mit der vierten und der vierten mit der fiinften Folge bekommt.

Das K r i t e r i u m fiir den R a n g fiinf oder sechs griindet sich ja darauf, ob durch Komposition der zu den beiden Folgen gehSrenden Charaktere ein Charakter fiir einen yon den drei P u n k t e n auf tier Achse herauskommt oder nicht. Nun treten in den Charakteren der letzteren drei P u n k t e siimtliche in 2 . 3 . 7 . 1 7 . 4 1 einge- henden Primzahlen auf. ~ Da ffir die erste, vierte und ffinfte Folge (37) die Prim- zahl 17 nicht in den Charakteren auftritt, so kann natiirlich 17 nicht durch Komposition tier Charaktere zweier yon diesen Folgen eingefiihrt werden, i n

t S i e h - R a t i o n a l e P u n k t e - , S. 3 1 7 .

t M a n v e r g l e i c h e - R a t i o n a l e P u n k t e - , S. 297.

Uber rationale Punkte auf Kurven dritt~r Ordnung vom Geschlechte eins. 2 3 7 gleicher Weise verh~lt es sich betreffend die Primzahl 7 fiir die dritte u n d vierte Folge. Das Sachverh~ltnis liisst sich auch so ausdriicken, dass fiir die erste, vierte und fiinfte Folge (37) I7 und fiir die dritte und vierte 7 als gemeinsame Faktoren in den Differenzen auftreten. Andere c-Werte, zu denen Fo!genpaare mit gemeinsamen Faktoren fiir die Differenzen (in ungerader P o t e n z ) f i i h r e n , sind uns nicht bekannt. Doch ist diese Eigenschaft nicht notwendig, um zu dem Range sechs zu gelangen, wie sich aus der zweiten und fiinften Folge (37) er- sehen ]~.sst; auch hier sind uns andere Beispiele unbekannt.

8. Ausser den in der vorhergehenden N u m m e r behandelten Kurven, die sich an Folgen (3I), (311) oder (31,_,) anlehnen, kennen wir n u r noch sechs harmonische Kurven (28) vom Range fiinf, und zwar hat man fiir dieselben

I) c ~ 2.3.5.7.II.i3.I7; 2) c = 2 . 3 . 5 . 7 . I 3 . I 7 . I 9 ; 3) c = 2 . 5 . 7 . I I . I 3 . I 7 . I 9 ; (38) 4) c = 2 . 3 . 5 . 7 . 1 I . I 9 . 2 3 ; 5) c = 2 . 3 . 5 . 7 . I I . I 3 . I 9 . 2 3 ; 6) c-~2,3.5.7. I9.4I.

Es liegt nahe die sechs Kurven (38) mit den sechs Kurven (32) zu vergleichen.

Wie wit gefunden haben, sind fiinf yon den Kurven (32) Anfangsglieder yon Kurvenscharen vom Range fiinf; eine Analogie hierzu bei den Kurven (38) seheint nicht zu existieren. Welter bemerkt man, dass in (38) die c-Werte mehr Prim-.

faktoren (wenigstens seehs)als in (32) (hSehstens seehs) enthalten. Fiir fiinf yon den Kurven (38) h a t c keinen grSsseren Primzahlfaktor als 23; unter den Kur- yen (32) gilt dies n u t fiir e-~ 2.3.I1.19. Besonders der letzte Umstand veranlasst die Vermutung, dass die grSssere Mehrzahl der Kurven (28)yore Range fiinf nicht in Zusammenhang mit den in der vorhergehenden betraehteten Folgen steht.

Man konnte bier auch an neue Kurven (28)yore Range sechs denken. Doeh seheint eine Aufsuehung solcher Kurven ohne besondere Hilfsmittel ziemlieh aussichtslos.

Es ist der Naehweis zu erbringen, dass die Kurven (38) yore Range fiinf sind. Zu diesem Ende gilt es auf jeder Kurve drei rationale P u n k t e zu bestim- men, welche als Basispunkte yon einander unabhiingig sind. Aus denselben liisst sich dann ein System rationaler Punkte yore Range drei herleiten. Wenn nun keiner yon den drei P u n k t e n auf der Achse Charaktere mit zu diesem System gehSrigen P u n k t e n gemeinsam hat, so ist der Rang fiinf, a n d es treten als Basis- punkte fiir die rationalen P u n k t e auf der Kurve noeh zwei P u n k t e auf der Achse hinzu. Fiir die drei Basispunkte, die wir aufsuchen werden, kommt in keinem Falle in den Charakteren das Zeichen - - vor, d . h . dieselben liegen stets auf dem unpaaren Zuge der Kurve. Wenn wit yon diesen drei P u n k t e n ausgehen, so

lassen sich mithin nur P u n k t e auf dem unpaaren Zuge erreichen. Auf der Achse gehSrt zu diesem Zug n u r der P u n k t x - - c ~-o, ftir welchen, wenn w i r c ~ 2 cx schreiben, wir die Charaktere

(39) c,, I, 2

haben. Dureh Komposition der Charaktere fiir die drei Ausgangspunkte be- komrnt man ausser dem E i n h e i t s e h a r a k t e r vier neue Charaktere. Die Bedingung fiir den Rang fiinf ist nun, class keiner yon den letzteren Charakteren mit (39) iibereinstimmen daft. Aueh fiir diese Charaktere bestimmen wir in der folgenden N u m m e r bei der Behandlung der besonderen K u r v e n (38) reprSsentierende Punkte, wenn dies sieh ohne all zu grosse Sehwierigkeiten ausfiihren liisst. Hierin liegt ja eine Garantie fiir Fehlrechnungen. Von jedem in soleher Weise erhaltenen Reprasentanten fiir eine Klasse yon rationalen P u n k t e n einer Kurve lassen sieh nun Repr~sentanten fiir drei neue Klassen erhalten, and zwar durch die dritten S e h n i t t p u n k t e der drei geraden Linien, die den P u n k t mit den drei P u n k t e n auf der Aehse verbinden. Da auf dieses Verhiiltnis friiher, a n d besonders ausfiihr- lieh fiir e = 2 . 3 . 7 , i 7 . 4 I (>>Rationale Punkte,,, S. 318), eingegangen worden ist, begniigen wir uns hier mit dieser Bemerkung.

9. Bei dem jetzt folgenden Beweise, dass die K u r v e n (38) yore Range fiinf sind, werden zuerst die drei Basispunkte P1, P.-,, Pa durch die W e r t e fiir x - - e , x und x + e angegeben, wobei etwa gemeinsame F a k t o r e n fiir sich ausserhalb der K l a m m e r gesehrieben werden. Es folgen die Charaktere K 1, K2, /(3, fiir welehe diese P u n k t e Repr~isentanten sind, sowie die Charaktere K I , ~ , . . . , welche sieh hieraus dureh Komposition herleiten lassen. Da wir in keinem yon den behan- delten F~llen zum Charakter (39) kommen, so ist hiermit der gewiinsehte Beweis erbraeht. Zum Sehluss werden aueh fiir die C h a r a k t e r e / ( 1 , e . . . . repr~isentierende P u n k t e P~,_,, . .. gegeben.

I. c -~ 2 . 3 . 5 . 7 . I Z . L L I 7.

Betreffend diese Kurve, welche das erste uns bekannte Beispiel einer K u r v e (28) vom Range

weisen. ~

fiinf bezeichnet, kSnnen wir auf unsere fr~ihere Behandlung ver-

2. e - - 2 . 3 . J . 7 L L q . z 9.

(P1) (78, 95, I I 2 ) 2.3.5.7.I3.19;

(P,2) (57, 9I, 125) 3.5.7.I3.t9;

~,Rang yon Kurven% S. 233.

Ober rationale

(K,) (K._,) (G) (K,,.,) (K,,~)

(G,~.) (G,~) (P..,.,)

Punkte auf Kurven dritter 0 r d n u n g vom Geschlechte eins.

(I70, 189, 208) 2.3.5.7. I3.I7.

2.3.I3, 5.I9, 7;

3.I9, 7.I3, 5;

2.5.I7, 3.7, 13;

2.5.7, I, I3.I9;

7-I7, I3.I9, 3-5;

2. I3.I7-19, 5, 3;

17, 3, 7.I9 9

(70, 529, 988) 2.57A3.19.

(II9, 247, 375) a.a.:.la.lv.l.q.

(8398, 9245, 10092) _o.as.la:}y10 _{1 1 a}

'239

3. e = 2 . d . 7 . z L X L z 7 . z 9.

(P1) (45 I33, 221)5.7.ia.17.19.

, - - 2 2 ,

(P2) (68, I33, I98 ) 2 . 7 . I I . I 7 . I 9 ; (P3) (I17, I52, 187)2.I1.13.I7.I9-

(K,) 5, 7-I9, I3.I7;

(K~) I7, 7.I9, 2 . I I ;

(Ka) 13, 2. I9, 1I.I7;

(K,,~) 5, I7, 2"II'I3;

(K,,~) 5, 2.7.13, I I ;

(/x~,~) 2.I3, 7 . 1 7 , I;

(Kl.,_,a) 2.5.17, I3.I9, I.

(P,,2) (2o, I53, 286) 2.5.1I.I3.17;

2 . 5 . 7 . 1 1 . I i ~ .

(P~,a) (5, 2912, 5819)---a ~- , (2~ (26, IO7 I, 2116) 2.7.13. I7;

(P~.2,a) (I7O, 247, 324) 2-5.13-I7.I9.

Die hier behandelte Kurve u n t e r s c h e i d e t sich yon den iibrigen uns b e k a n n t e n K u r v e n (28) des Ranges fiinf darin, dass 3 nieht in den F a k t o r e n yon c eingeht.

(Pl) (P,,) (G)

4. c =- 2. ? . d . 7 . I I . I 9 . 2 3 .

(22, 57, 92 ) 2.3.1I.I9.23;

(77, 96, II5) 2.3.5.7.11.23;

(95, I28, i6i) 2.5.7.i9.23.

(K1) (Ks) (Ks) (K,,,) (K~.s) (K~,s) (K~,,,s) (P,,,) (/'~,s) (/',..,)

(P1)

(/'8)

(KI)

(K,)

(Ks) (K,.2)

(K,.s) (K,,s) (Kl.,.s) (Vl,~) (Pl,s) (e,s)

(P1) (e,) (v,) (K~) (K~) (K1._.)

2.11, 3.19, 23;

7.1I, 2.3, 5.23;

5.19, 2, 7.23;

7, I9, 2"5;

5 "1I , 3, 2"7"I9;

11.I9, 3"5.7, I;

2, 5"7, I9.23.

(28, 6859, 13690 ) 2.5.7.19.

(220, 2 4 3 ,

(2o9, 945, (I682, I7I

266) 2.3.5.7.I 1.19;

1681) 3.5.~A1.19 .

t2 ,

5, I748) 2.5.7,I9.23.

5. e = 2 . 3 . 5 . 7 . I 1 . 1 3 . 1 9 . 2 3 .

(39, 77, I15) 3.5-7.11.13.23;

(23, 78, I33) 2.3.7.13.19.23;

(133, I38, 143)2.3.7.11.13.I9.23.

3.13, 7.1I, 5.23;

23, 2.3.I3, 7.19;

7.19, 2.3.23, I I.I3;

7, 2-I1-23, 3.5.13.19;

II.I9.23, 2.I3, 3.5.7;

I3. 7.19, 11.23;

3 .I1, 19, 5.

(343, 2024, 3705)2.3.5.7.11.13.19.23.

412

(4807, 6656, 8505) 2"3"5"7"11"13"19"~

4:32 7 . 1 1 . 1 3 . 1 9 . 2 3

(13, I33, 253) .,z

6 . e = 2 . 3 . 5 . 7 . z 9 . 4 z .

(6, 41, 76) 2.3.19.41;

(123, I28, 133)2.3.7.19.4I;

(205, 224, 243) 2.3.5.7.41.

2.3, 4I, 19;

3.4I, 2, 7.19;

5.41 , 2.7, 3;

I, I, 2.7.4I;

Uber rationale Punkt.~ auf Kurven dritter Ordnung yore Geschlechte eins. 241 (KJ.a) 5, 3.7, 2.19.41;

(K~.,a) 5 . 7 , 3, 19;

( K L ~ . s ) 2"5"7, 41 , 3'

(P,,.o) (4, 289, 574) 2.7.4I;

2.3.5.7.19.~1

(P,,.~) (5oo, 1o29, 1558) . . . . ._,~--;

(P.,.~) (4235, 5547, 6859) a.a:j.n,c.

I I I .

10. In diesem Abschnitte werden wir zur Behandlung des allgemeinen Falles der Kurven (2) iibergehen. Hier steht zur Verfiigung die bereits im zweiten Ab- schitte yon >>Rang yon Kurvem, entwickelte Methode fiir die Absonderung yon Kurvenfamilien erster, zweiter, drifter und vierter Stufe. Fiir uns sind hier die Familien wichtig, deren Kurven in der Regel yon derselben Stufe wie die be- treffende Familie sind. Nicht fiir alle Kurvenfamilien gilt ja eine solche Eigen- schaft, wie aus der 4. Nummer der vorliegenden Arbeit hervorgeht. Nun lassen sich hier leicht Kurven drifter Stufe, d.h. yore Range fiinf, welche ja den ra- tionalen P u n k t e n yon Nullformen (IO) zugeordnet sind, in beliebiger Menge her- stellen. W e n n man aber zu den in unserer soeben zitierten Abhandlung erhal- tenen Ergebnissen betreifend die Kurven yore Range sechs iibergeht, so finder man, mit Ausnahme der Kurve (I4), n u r Kurven m i t sehr grossen Werten fiir die K o n s t a n t e n a und b. Mehr zug~tnglich ist die in unserer sp~iter erschienenen Arbeit ,)Rationale Punkte,> gegebene harmonische Kurve (29) mit c ---- 2.5. 7. x7.4I --

= 29274. Man kann die Gleichung dieser Kurve in die Gestalt (z) mit a - - 2 9 2 7 4 , b - 58548 iiberfiihren. Auch diese Werte fiir a und b sind also sehr viel grSsser als diejenigen fiir die Kurve (I4), fiir welche man ja a - - 4 5 , b - - 2 9 2 hat, und es lgsst sich yon vornherein nicht gern bezweifeln, dass es Kurven (2) yore Range sechs geben muss, welche eine Zwischenstellung zwischen den obigen beiden Kurven einnehmen. Derartige Kurven zu bestimmen ist nun eine Haupt- aufgabe fiir die folgenden Entwicklungen. I m Voriibergehen bemerken wir hier noch, dass die LSsung dieser Aufgabe uns nicht ohne tlberwindung yon recht erheblichen Schwierigkeiten gehmgen ist.

Aus den vorhergehenden Entwicklungen wissen wir, dass die Familien vierter Stufe in enger Beziehung zu gewissen Biischeln yon quaterniiren Formen zweiter Ordnung stehen, deren vier tern~ire Glieder sich in der Gestalt (I2) schreiben lassen. Hier gilt es zunitchst solche Kombinationen der vier rationalen Para-

16

meter k, k~, k~ und k s zu bestimmen, dass man Nullbiischel bekommt. Man kann bei der Behandlung dieser Aufgabe auf Schwierigkeiten stossen. Ftir ein Nullbiischel ist es z.B. nicht ausreichend, dass sfimtliche vier eingehende terniire Glieder Nullformen sind. Es fiisst sich fragen, wie man mit Hilfe einer bereits bekannten rationalen Nullstelle eines Nullbiischels andere rationale Nullstellen herleiten kann. Auf ein erstes Mittel hierzu haben wir in >~Rang yon Kurven~, S. zSo hingewiesen, n~tmlich die Additionstheoreme in der Theorie der elliptischen Funktionen. Doch k o m m t man wohl hier einfacher durch m e h r geometrische Aus- einandersetzungen zum Ziel. Wie an der soeben zitierten Stelle hervorgehoben wird, l~isst sieh durch (12) eine Raumkurve vierter Ordnung vom Geschlechte eins in den homogenen Ver~nderlichen z, r.1, z 2 und z~ definieren. Bei der ge- wShnlichen eindeutigen Darstellung der P u n k t e dieser K u r v e durch einen Para- meter u mSge dem A r g u m e n t u = o ein P u n k t in einer K o o r d i n a t e n e b e n e ent- sprechen. D a fiir die P u n k t e in diesen Ebenen die Schmiegungsebenen immer station~ir sind, so ist die Summe der A r g u m e n t e fiir vier durch eine Ebene aus- geschnittene P u n k t e ~ o (mod w, wl), wo co und w I die Grundperioden bezeichnen.

Nun erhfilt man aus einem rationalen P u n k t , wenn ftir ihn keine der GrSssen xi :--o, durch Zeichen~inderungen insgesamt acht rationale Punkte. I s t u das Ar- g u m e n t fiir den Ausgangspunkt, so findet man leicht als A r g u m e n t e fiir s:,imt- liche acht P u n k t e :

+ w_ w I o~ + %

(40) +_u, + u , +_~r+ -, + _ u +

2 2 2

Dabei liegen die vier P u n k t e mit dem Zeichen - - auf den Verbindungslinien des Ausgangspunktes mit den Spitzen der vier Kegel, welche durch die vier Glei- chungen (x2) definiert werden; dies folgt ja daraus, dass die Beriihrungsebene eines Kegels l~ings einer Erzeugenden auch die Kurve in den beiden Schnitt- p u n k t e n beriihrt. Man versteht auch jetzt, dass, wie man auch zwei P u n k t e (4o) mit verschiedenen Zeichen durch eine gerade Linie verbindet, so geht die Ver- bindungslinie durch eine yon den vier Kegelspitzen.

Eine Ebene kann nun in d r e i verschiedenen Weisen drei gemeinsame P u n k t e mit der Kurve in P u n k t e n (40) haben. E n t w e d e r sind die drei P u n k t e ver- schieden, oder beriihrt bzw. oskuliert die Ebene in einem Punkte, so dass zwei bzw. ss drei P u n k t e zusammenfallen. Beziiglich der Lage des vierten Schnittpunktes gibt es hier zwei MSglichkeiten, indem die drei P u n k t e (40) ent- weder ein gemeinsames Zeichen + oder -- haben kSnnen oder nicht. I m letzteren Falle ist offenbar auch der vierte S c h n i t t p u n k t ein P u n k t (40), und man bekommt

Uber rationale Punkte auf Kurven dritter Ordnung vom Gesehlechte eins. 243 fiir zwei Yon den vier P u n k t e n das Zeiehen + u n d fiir die beiden a n d e r e n das Z e i c h e n - - . Gilt a b e r dasselbe Zeichen fiir die drei u r s p r i i n g l i c h e n P u n k t e , so erhiilt m a n in dem v i e r t e n S c h n i t t p u n k t einen neuen r a t i o n a l e n P u n k t , und zwar gibt es fiir diesen P u n k t die mSglichen A r g u m e n t e :

(4I) ~ 3 u , + 3 u + ~ + 3 u + ~ , + 3 u + ~ 1 7 6

2 2 2

W i r d e n k e n uns j e t z t einen P u n k t d e r K u r v e m i t dem A r g u m e n t e u u n d den K o o r d i n a t e n z, • • z3 und f r a g e n , d u r c h welche Z e i c h e n i i n d e r u n g e n fiir die zi man zu P u n k t e n (40) m i t dem Zeiehen + b z w . - fiir u k o m m t . E i n e l e i c h t e 13berlegung gibt uns die A n t w o r t , dass bei zwei Z e i c h e n i i n d e r u n g e n das Zeiehen

+ u n d bei einer Z e i c h e n i i n d e r u n g (oder drei) das Zeichen gilt.

Fiir das in >~Rang yon Kurvem> e i n g e h e n d b e h a n d e l t e 2qullbiisehel ( I 3 ) s i n d die P u n k t e der K u r v e in der E b e n e z~ = o rational. Es ist dies ein Beispiel eines fiir uns besonders w i e h t i g e n Spezialfalles, in welchem die S c h n i t t p u n k t e d e r K u r v e m i t einer E b e n e x~-7-o r a t i o n a l sind. Wiihlen wir fiir e i n e n P u n k t in dieser E b e n e das A r g u m e n t u - - o, so b e k o m m e n wir fiir die drei a n d e r e n P u n k t e

CO OJ 1 r -q- O) I

der E b e n e u - - - , , 9 Es ist hier v o r t e i l h a f t einen von den drei P u n k t e n ,

2 2 2

d u r e h welehe hier oben eine E b e n e f e s t g e l e g t wurde, in diese E b e n e zu verlegen.

Fiir den v i e r t e n S e h n i t t p u n k t h a t m a n d a n n zu wiihlen u n t e r den A r g u m e n t e n

co to I r -f- oJ t

(42) + 2 u , + , 2 u + - ' , + 2 u + - - , + 2 u +

2 2 2

Die d u r e h ein Nullbiisehet ( I 2 ) d e f i n i e r t e K u r v e liisst sieh b i r a t i o n a l in eine K u r v e (I) t r a n s f o r m i e r e n , fiir welehe siimtliehe GrSssen el, e 2 u n d ez ratio-

" 0 ) , O) 1

nal sind. J e d e m r a t i o n a l e n P u n k t u f o l g e n j a r a t i o n a l e P u n k t e u - - u + ,

2

u + . . . I m allo'emeinen ist die K u r v e yon der e r s t e n S t u f e und yore R a n g e

2

drei. N i e h t ohne I n t e r e s s e ist die F r a g e , ob u n t e r den in Rede s t e h e n d e n Kur- yen a u e h hShere S t u f e n als die erste Y e r t r e t e r h a b e n . Da die Koeffiz~enten in (I2) sehr spezialisiert sind, ist wohl dies n i e h t zu e r w a r t e n .

l l . W i r wollen die in der v o r h e r g e h e n d e n N u m m e r e n t w i e k e l t e n M e t h o d e n d u r e h ein Beispie! beleuchten, u n d n e h m e n d~bei u n s e r e n A u s g a n g s p u n k t yon der K u r v e

(43) ?f-' --.~' (x + 2)(.c + 6).'

1 S i e h , > R a n g y o n K u r v e n - , S. 2 4 o, "-46.

A u f dieser Kurve, die n u r yon der ersten Stufe ist, bemerken wir die ratio- nalen P u n k t e :

x = 2 , y ~ 8 ; x - - - 4 , Y = 4 ; x : 6 , y = 2 4 ; x : - - 3 , Y : 3 - D a a ~ 2, b = 6, so erhalten wir fiir diese P u n k t e nach (3) u n d (4):

(44) k ~ - I , z ~ 2 ; k t ~ - 2 , z 1 ~ 3 ; k ~ 3 , x ~ I; ka 2' z a ~ 2.

Dns System (I2) n i m m t hier die Gestalt:

/ 5 x ~ - - z x ~ - - 1 8 z ~ , = o ;

(45) 4 z ~ + 20 z~ -- 9 z] = O;

6 z'* -- 2o x~-- z~ = o;

12 x~ + 8 x ~ - - 5 " - ~ = o . Z 2

W i r legen eine Ebene d u t c h die drei P u n k t e :

X, Xl, X~, X3--~- 2 , I , I , 2 ; 2, - - I , I , - - 2 ; 2, I , - - I , - - 2 .

Als G l e i e h u n g dieser Ebene ergibt sieh

(46) z + x s - 2 (x, + x ~ ) = o .

W e n n wit h i e r a u s den A u s d r u e k fiir x 3 in die d r i t t e G l e i e h u n g (45) einfiihren, so b e k o m m e n wir

5 x " ~ - 4 x ~ - 2 4 x ~ - 8 x tx~ + 4 x x t + 4 x x ~ o .

Diese Gleiehung geht, n a e h W e g s e h ~ f f u n g yon x ~ vermittelst der ersten Glei- e h u n g (45), in

z~, + 3 x~ + 4 r.~ x.~ -- 2 x (,, + z~) = o fiber. N a c h A u s z i e h u n g des F a k t o r s zx + z~ erh~ilt man hieraus

(47) z l + 3 z ~ - - 2 x = o .

Aus (47) u n d der ersten G l e i e h u n g (45) liisst sieh jetzt x eliminieren, u n d es er- gibt sieh als R e s u l t a t

~ + 9 ~-~ - ~ o ~, ~0 = (~, - ~,) (~, - 9 , - ~ ) = o .

W i r haben Mso fiir den vierten S e h n i t t p u n k t der x-Kurve m i t der Ebene (46) xl = 9 z~, woraus, m i t Hilfe von (46) u n d (47),

(48 ) z = 6 , z 1 ~ 9 , x.~= x, x s = I 4 .

Uber rationale Punkte auf Kurven dritter Ordnung vom Geschlechte eins.

F i i h r t m a n die e r h a l t e n e n b ~ IO2, also die K u r v e

245 W e r t e in (6) u n d (7) ein, so e r g i b t sich a = - - 3 o ,

v ~ = ~ (~ - 30) (~ + ~o2).

A u c h m i t dieser K u r v e , d e r e n G l e i c h u n g sich l e i c h t in die G e s t a l t y S = x ( x + 3 o ) ( x + ~32)

t r a n s f o r m i e r e n liisst, h a b e n wir friiher (,)Rang y o n Kurven,), S. 246) B e k a n n t - s c h a f t g e m a c h t . Dieselbe ist, wie i i b e r h a u p t die K u r v e n der Familie, zu w e l c h e r (45) den Aufschluss gibt, n u r yore R a n g e fiinf. E i n e n Beweis hierfiir wollen wir j e t z t in einem a l l g e m e i n e r e n Z u s a m m e n h a n g e geben.

W i r g e h e n yon der V o r a u s s e t z u n g aus, dass (I2) eine L S s u n g besitzt, fiir welche einerseits x u n d z 3, a n d e r e r s e i t s x~ u n d Us gleiche W e r t e erhalten. Das Verhii]tnis zwischen diesen W e r t e n b e z e i c h n e n wir m i t n. h l s B e d i n g u n g e n fiir die L S s u n g e r g i b t sich aus der e r s t e n u n d l e t z t e n R e l a t i o n (I2):

(kl - ks) k (k + ~) . s + (k~ - k) k, (k, + ~) + (k - k,) k: (ks + ~) = o;

(kl - - ks) ~'3 (k3 "~- I ) n 2 ~- (k 2 - - k ~ ) k I (]~1 -~ I) ~- (k 3 - - k l ) k s (k s -~- I) : o.

H i e r k S n n e n wir in beiden R e l a t i o n e n den F a k t o r k , - k s vernachl~issigen u n d e r h a l t e n a l s d a n n :

k (k + ~) ~,s _ k (]q + k.~ + ~) + ]q ks = o;

(49) k 3 (k 3 -{- I)~1 s - - k~ (k I q- ~S + I) -{- k t k 2 = O.

N a e h S u b t r a k t i o n u n d B e s e i t i g u n g des F a k t o r s k - - k s b e k o m m e n wir hieraus (5 o) (k + ~ + ~ ) , s _ (k, + k~ + ~) - - o.

Zu diesen G l e i e h u n g e n h a t m a n die SpeziallSsung

(5I) k = I , k l = - - n , k2 : 2 n - - I , k3 = 2 n - - I n

Diese F e s t s e t z u n g e n s t i m m e n fiir n = 2 m i t (44)iiberein. Die A u s g a n g s k u r v e (43) wird h i e r d u r c h die a l l g e m e i n e r e l K u r v e

(52)

ersetzt, welche, R a n g e drei ist.

R e s u l t a t :

wie m a n l e i c h t finder, ebenfalls yon der e r s t e n S t u f e u n d vom F i i h r t m a n die P a r a m e t e r (5I) in (I2) ein, so b e k o m m t m a n als

(53)

__ 2 (11 q- I ) ( 2 I1 I) g~

(3 n - - I ) z ' 11 ( , , - - l ) 2 x , - - ,t - - = 0 ; 2 I1 (12 - - I) X ~ q- I1' (3 n - - I) u{ - - (,t + I) (2 it - - I y z a = o ; ,2(11 q- I ) X ~ - - t$" (3 , - - I ) x ~ - ( , , 1 - I)~ Xa = o ;

, 2 ' ( I t q- l ) Z { q- 2 ,tg" ( , t - x ) z ~ - - ( 3 n - I ) z l = o .

F i i r n = 2 s t i m m t dieses S y s t e m m i t (45) iiberein. O h n e g r S s s e r e S c h w i e r i g k e i t lassen sich ] e t z t die e n t s p r e c h e n d e n R e c h n u n g e n fiir den a l l g e m e i n e n F a l l wie o b e n fiir n ~ 2 a u s f i i h r e n , u m n e u e K u r v e n in d e n j e w e i l i g e n F a m i l i e n zu be- s t i m m e n . D o c h g e l i n g t es a u f diese W e i s e n i c h t n e u e K u r v e n v o m R a n g e sechs zu e n t d e c k e n . D i e B e d i n g u n g h i e r f i i r i s t ja, dass die drei C h a r a k t e r e in ( 2 0 ) y o n e i n a n d e r unabh~ingig sein sollen. F i i r die drei C h a r a k t e r e h a t m a n :

(54)

2 (1~ - - I ), - - n , I = - - 2 ( I t - - I ) , - - t l , I ;

2 ( " 7 I ) , 2 ~ ,, ^-- I , I __ __ 2 ( , t - - I), - - ( 2 , , - - I), , .

n n

N i m m t m a n h i e r d a s P r o d u k t a l l e r drei C h a r a k f e r e , so b e k o m m t m a n den E i n h e i t s c h a r a k t e r . Dutch die Parameter (5I) wird al.s'o ei~e Schar vo~ Kurve'n- familien vierler Stufe definiert, in denen die einzebwn Km't'en regelmgissig l~ur dritter Stufe sind. Ausnahmsweise gibt es sogar io der Schar Familien, deren Kurven ~tur zweiter Stufe, also yore Range vier, sind. Dies trifft zu, w e n n in (54) ein C h a r a k t e r d e n E i n h e i t s c h a r a k t e r b e d e u t e t ; die beiden a n d e r e n miissen d a n n gleich sein.

Als Beispiel b e t r a c h t e n w i r d e n m i t t l e r e n C h a r a k t e r . S c h r e i b e n wir h i e r ~ - - - - u ' , 2 n - I = v ~, so e r g i b t sich die R e l a t i o n

V 2 ~ 2 !~2 __ I .

E i n e L S s u n g h i e r z u ist u ---- 5, v = 7. Fiir n --- 25 sind m i t h i n die in d e r F a m i l i e v i e r t e r S t u f e e i n g e h e n d e n K u r v e n n u r y o n d e r zweiten Stufe.

12. U m n e u e K u r v e n v o m R a n g e sechs zu e r h a l t e n , die n i c h t m i t s e h r g r o s s e n W e r t e n fiir a m i d b b e h a f t e t sind, miissen wir m i t h i n n a c h a n d e r e n A u s w e g e n suchen. Es l i e g t d a n n n a h e zu f r a g e n , ob h i e r n i c h t e t w a eine spe- zielle E i g e n s c h a f t des S y s t e m s (I3), welches zu dem u n s b e r e i t s b e k a n n t e n Bei- spiel (I4) A u f s c h l u s s g e g e b e n h a t , yon B e d e u t u n g ist. I n dieser H i n s i c h t fiillt z u n g c h s t d e r U m s t a n d auf, dass fiir (I3) die P u n k t e in der E b e n e xe ~- o r a t i o n a l sind; m a n findet j a fiir z~ = o

'7

xi = 4 x2 = 4 z~.