1.1 Définitions
Soit O un point de l’espace et→i , →j , →k trois vecteurs non coplanaires.
A chaque point M de l’espace on peut associer d’une façon unique, trois nombres réels a, b et c tels que : →OM = a →i + b →j + c→k .
On dit que le triplet (a,b,c) représente les coordonnées du point M dans le repère (O ; →i , →j , →k ).
1.2 Détermination
Soit M un point de l’espace. on note m son projeté dans le plan xOy parallèlement à (Oz).
Les deux première coordonnées xM et yM de M sont définies par xM = a et yM = b où a et b sont les coordonnées du point m dans le repère (O ;→i ,→j ).
La troisième coordonnée c est définie par l’égalité : →mM = c→k .
x
y z
M
m 0
a
b c
2 2 Fonction de deux variables
Exemple :
L’indice de Masse Corporelle (IMC) (ou indice de Quételet), d’une personne se définit en calculant P
T² avec le poids P en kg et la taille T en m.
Un IMC normal est compris en 18,5 et 25. Un indice supérieur à 30 traduit une obésité marquée.
La fonction I (pour IMC) est une fonction des deux variables P et T.
Comme pour les fonctions d’une seule variable, on note I(P,T) = P T². Par exemple I(66,1,76) = 66
1,76² ≈ 21,3
Dans un repère (O ; →i , →j , →k ) de l’espace, l’ensemble des points M de coordonnées (P,T,I) est une surface représentée ci-dessous et dont l’équation est z = x
y²
Les zones de couleur sont séparées par des lignes qui représentent les valeurs de l’IMC lisibles sur l’axe vertical.
1,5 1,4 1,7 1,6
1,9 1,8 2,1 2
2,2 50 70 90 110 130
0 10 20 30 40 50 60 70
IMC
Poids (kg)
Taille (m)
3 Courbes de niveau
La surface précédente est représentée ci-dessous en « vue de dessus ».
On voit des zones de couleur séparées par des lignes sur lesquelles l’IMC est constant.
Ce sont les courbes de niveau de l’IMC.
Les niveaux représentés ici sont les niveaux 20, 30, 40, 50 et 60.
50 60 70 80 90 100 110 120 130
1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2
Poids (kg)
Taille (m)
La courbe de niveau a de la fonction I est l’ensemble des points du plan xOy pour lesquels I(x,y) = a
4 4.1 Courbes de niveau d’une demi-sphère
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3
-0,8 0,00 1,4
0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00
-3 -2,2 -1,4 -0,6 0,2 1 1,8 2,6 -3
-2,2 -1,4 -0,6 0,2 1 1,8 2,6
Les courbes de niveau sont des cercles concentriques de plus en plus resserrés quand on s’éloigne du centre.
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -0,4
2,2 -21,00
-18,00 -15,00 -12,00 -9,00 -6,00 -3,00 0,00
Les courbes de niveau sont des droites parallèles régulièrement espacées.
4.3 Courbes de niveau d’un cône
-0,42 -0,14 0,14 0,42 -0,42 0,00 0,02
0,500,25 0,751,00 1,251,50 1,752,00 2,252,50 2,753,00
6 -0,42 -0,2 0,02 0,24 -0,42
-0,3 -0,18 -0,06 0,06 0,18 0,3
Les courbes de niveau sont des cercles concentriques régulièrement espacés.
5 Interprétation des courbes de niveau
Sur cet extrait d’une carte topographique au 1 : 25 000e, les courbes de niveau représentent les altitudes de 10 m en 10 m.
5.1 Distance entre courbes de niveau
Dans l’exemple 1, on observe une zone de resserrement des courbes de niveau.
Sur le terrain, cela correspond à une variation rapide de l’altitude : ici le bord d’une falaise.
5.2 Maximum et minimum
Dans l’exemple 2, on observe que les courbes de niveau se referment. Cette configuration évoque un sommet ou une dépression. Seules les valeurs indiquées sur les lignes de niveau permettent de distinguer les deux cas.
8
Distance (en m) 0 25 125 200 300 375 450 550 725 850 925 950 975 altitude (en m) 1211 1210 1200 1190 1180 1177 1180 1190 1200 1200 1200 1210 1212
Les points relevés sont de deux sortes :
les points dont l’altitude est indiquée sur la carte (1211 ; 1177 et 1212) les points d’intersection du parcours avec les courbes de niveau.
du Tourrel à la Cabane
1170 1180 1190 1200 1210 1220
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Distance horizontale parcourue (m) Altitude (m)
1211
1177
1212
