Lundi 16Janvier, durée 2heures EXAMEN FINAL
EXAMEN FINAL
La précision et la clarté de la rédaction seront prises en compte dans l'attribution de la note.
Le barème est donné à titre indicatif. Documents autorisés : une feuille de note A4, calculatrices.
Exercice 1 Aire & volume ( 9points )
Dans le repère(O,~i,~j), l'astroïde est la courbe du plan (Figure 1) d'équations paramétriques, x(θ) = cos3(θ)
y(θ) = sin3(θ)
Figure 1 Astroïde
1. On considère l'applicationφ:R2→R2dénie parφ(r, θ) = (rcos3(θ), rsin3(θ)). a. Déterminer la matrice Jacobienne deφet son jacobien.
b. Déterminer le domaine ∆ de R2 tel que φ(∆) = D où D est le domaine déni par l'intérieur de l'astroïde.
c. Calculer l'aire dénie par l'intérieur de l'astroïde (on pourra utiliser la simplication suivante cos(θ)2sin2(θ) = 1−cos(4θ)
8 ).
2. Dans cette question on considère dansR3, muni du repère(O,~i,~j, ~k), la surfaceSengendrée par la rotation de l'astroïde autour de l'axe(Oy).
a. Esquissez la surfaceS ainsi obtenue.
b. En se plaçant dans le plan(Oxy)montrer que la distance entre l'astroïde et le point de coordonnée (0, k)dans ce plan, avec−16k61, est égale àcos3(arcsin(k13)). c. En utilisant la relation cos(arcsin(z)) = √
1−z2, calculer RRR
V dxdydz où V est le volume déni par l'intérieur de S.
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Lundi16Janvier, durée2 heures EXAMEN FINAL
Exercice 2 Conique, Isométrie ( 14points )
1. Soitϕ:R3→R3 l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique(~i,~j, ~k)deR3 est :
A=1 4
2 2√
3 0
−√
3 1 2√
3
3 −√
3 2
Montrer queϕ est une application orthogonale. Vérier queϕest une rotation et déter- miner ses éléments caractéristiques.
2. Dans le plan muni d'un repère orthonormal(O,~i,~j), on considère la coniqueγd'équation :
−4x2+ 7y2−4√
3xy+4√
√ 3
13x+ 2
√
13y−1 5 = 0.
a. Déterminer l'équation réduite de γ en précisant le repère dans lequel cette équation est obtenue. Indiquer la nature deγ.
b. Représenter γ dans le repère (O,~i,~j). On donne √113 ≈0,3, 2√√133 ≈1, q
5
8 ≈0,8 et q38
39 ≈1.
3. Dans l'espace muni d'un repère orthonormal(O,~i,~j, ~k), on considère la quadriqueΓd'équa- tion :
8x2−8y2+ 8z2= 64 195. On noteC l'intersection deΓavec le planP d'équation3x−√
3y+ 2z= 4doùdest le réel d= √1
39. Le but de cette question est de déterminerC.
a. Donner les coordonnées d'un vecteur~northogonal au planP et calculerϕ(~n)oùϕest l'endomorphisme décrit dans la question 1. En déduire que l'équation du plan ϕ(P) estz=d(on pourra déterminer l'image d'un point deP).
b. Un point M(x, y, z)appartient àϕ(Γ)si et seulement siϕ−1(M)appartient àΓ. On obtient donc l'équation deϕ(Γ)en remplaçant dans l'équation deΓles variablesx,y etz par les expressionsX,Y etZ telles que :
X Y Z
=A−1
x y z
Déterminer les expressionsX,Y etZ. On admet que l'équation de ϕ(Γ)est :
−4x2+ 7y2+ 5z2−4√
3xy+ 12xz+ 2√
3yz− 64 195 = 0.
c. Sachant queϕ(C)est inclus dans le planϕ(P), donner l'équation cartésienne deϕ(C) dans le repère (N,~i,~j)où N est le point de coordonnées(0,0,√1
39). En déduire que l'intersection deΓ etP est une réunion de deux droites
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