Lois de composition internes
Structures algébriques:
Les groupes
Lois de composition internes Lois de composition internes
Définition et vocabulaire
Définition
E étant un ensemble quelconque.
On appelle loi de composition interne dans E ou loi dans E toute application de E × E vers E .
Notation
Si f est une loi de composition interne dans E alors : ∀ (x, y ) ∈ E × E : f ((x, y )) est noté x f y .
Lois de composition internes Lois de composition internes
Définition et vocabulaire
Définition
E étant un ensemble quelconque.
On appelle loi de composition interne dans E ou loi dans E
toute application de E × E vers E .
Notation
Si f est une loi de composition interne dans E alors : ∀ (x, y ) ∈ E × E : f ((x, y )) est noté x f y .
Lois de composition internes Lois de composition internes
Définition et vocabulaire
Définition
E étant un ensemble quelconque.
On appelle loi de composition interne dans E ou loi dans E toute application de E × E vers E .
Notation
Si f est une loi de composition interne dans E alors : ∀ (x, y ) ∈ E × E : f ((x, y )) est noté x f y .
Lois de composition internes Lois de composition internes
Vocabulaire :
Les lois de composition internes dans E sont en général notées par les symboles :
?, T , ⊥, +, ×, •
Si ? est une loi de composition interne dans E on dit que : E est muni d’une de la loi de composition intérne ? ou bien
Lois de composition internes Lois de composition internes
Vocabulaire :
Les lois de composition internes dans E sont en général notées par les symboles :
?, T , ⊥, +, ×, •
Si ? est une loi de composition interne dans E on dit que : E est muni d’une de la loi de composition intérne ? ou bien
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans N, N∗, Z, Q, R et C l’addition
et La multiplication sont des lois de compositions internes.
2 Dans XX, ◦ est une loi de composition interne.
3 Dans P(E ), ∪ et ∩ sont des lois de compositions internes. 4 Dans N, la soustraction n’est pas une loi de composition
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans N, N∗, Z, Q, R et C l’addition et La multiplication
sont des lois de compositions internes.
2 Dans XX, ◦ est une loi de composition interne.
3 Dans P(E ), ∪ et ∩ sont des lois de compositions internes. 4 Dans N, la soustraction n’est pas une loi de composition
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans N, N∗, Z, Q, R et C l’addition et La multiplication sont
des lois de compositions internes.
2 Dans XX, ◦ est une loi de composition interne.
3 Dans P(E ), ∪ et ∩ sont des lois de compositions internes. 4 Dans N, la soustraction n’est pas une loi de composition
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans N, N∗, Z, Q, R et C l’addition et La multiplication sont
des lois de compositions internes.
2 Dans XX, ◦
est une loi de composition interne.
3 Dans P(E ), ∪ et ∩ sont des lois de compositions internes. 4 Dans N, la soustraction n’est pas une loi de composition
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans N, N∗, Z, Q, R et C l’addition et La multiplication sont
des lois de compositions internes.
2 Dans XX, ◦ est une loi de composition interne.
3 Dans P(E ), ∪ et ∩ sont des lois de compositions internes. 4 Dans N, la soustraction n’est pas une loi de composition
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans N, N∗, Z, Q, R et C l’addition et La multiplication sont
des lois de compositions internes.
2 Dans XX, ◦ est une loi de composition interne.
3 Dans P(E ), ∪
et ∩ sont des lois de compositions internes.
4 Dans N, la soustraction n’est pas une loi de composition
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans N, N∗, Z, Q, R et C l’addition et La multiplication sont
des lois de compositions internes.
2 Dans XX, ◦ est une loi de composition interne.
3 Dans P(E ), ∪ et ∩
sont des lois de compositions internes.
4 Dans N, la soustraction n’est pas une loi de composition
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans N, N∗, Z, Q, R et C l’addition et La multiplication sont
des lois de compositions internes.
2 Dans XX, ◦ est une loi de composition interne.
3 Dans P(E ), ∪ et ∩ sont des lois de compositions internes.
4 Dans N, la soustraction n’est pas une loi de composition
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans N, N∗, Z, Q, R et C l’addition et La multiplication sont
des lois de compositions internes.
2 Dans XX, ◦ est une loi de composition interne.
3 Dans P(E ), ∪ et ∩ sont des lois de compositions internes.
4 Dans N, la soustraction
n’est pas une loi de composition interne.
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans N, N∗, Z, Q, R et C l’addition et La multiplication sont
des lois de compositions internes.
2 Dans XX, ◦ est une loi de composition interne.
3 Dans P(E ), ∪ et ∩ sont des lois de compositions internes. 4 Dans N, la soustraction n’est pas une loi de composition
Lois de composition internes Lois de composition internes
Notations :
(E, ?) étant un ensemble quelconque muni de la loi de composition intérne ?.
Si la loi de composition interne dans E est notée + on dit que la loi de E est additive ou E est additif.
Si la loi de composition interne dans E est notée × , · , on dit que la loi de E est multiplicative ou E est multiplicatif.
Lois de composition internes Lois de composition internes
Notations :
(E, ?) étant un ensemble quelconque muni de la loi de composition intérne ?.
Si la loi de composition interne dans E est notée + on dit que la loi de E est additive ou E est additif.
Si la loi de composition interne dans E est notée × , · , on dit que la loi de E est multiplicative ou E est multiplicatif.
Lois de composition internes Lois de composition internes
Notations :
(E, ?) étant un ensemble quelconque muni de la loi de composition intérne ?.
Si la loi de composition interne dans E est notée + on dit que la loi de E est additive ou E est additif.
Si la loi de composition interne dans E est notée × , · , on dit que la loi de E est multiplicative ou E est multiplicatif.
Lois de composition internes Lois de composition internes
Partie stable
Définition
On dit qu’une partie A de E est stable pour la loi de E
si on a : ∀x, y ∈ A : x ? y ∈ A
Lois de composition internes Lois de composition internes
Partie stable
Définition
On dit qu’une partie A de E est stable pour la loi de E si on a : ∀x, y ∈ A : x ? y ∈ A
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans Z, l’ensemble des nombres paires
est stable pour l’addition, or l’ensemble des nombres impairs n’est pas stable pour l’addition.
2 Soient E = P({a, b, c}) et F = {{a, b}, {a, c}, {b, c}}, alors F
n’est pas stable par rapport à la réunion et l’intersection car :
∃X = {a, b}, Y = {a, c} ∈ F ; X ∩ Y = {a} /∈ F
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans Z, l’ensemble des nombres paires est stable pour
l’addition,
or l’ensemble des nombres impairs n’est pas stable pour l’addition.
2 Soient E = P({a, b, c}) et F = {{a, b}, {a, c}, {b, c}}, alors F
n’est pas stable par rapport à la réunion et l’intersection car :
∃X = {a, b}, Y = {a, c} ∈ F ; X ∩ Y = {a} /∈ F
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans Z, l’ensemble des nombres paires est stable pour
l’addition, or l’ensemble des nombres impairs
n’est pas stable pour l’addition.
2 Soient E = P({a, b, c}) et F = {{a, b}, {a, c}, {b, c}}, alors F
n’est pas stable par rapport à la réunion et l’intersection car :
∃X = {a, b}, Y = {a, c} ∈ F ; X ∩ Y = {a} /∈ F
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans Z, l’ensemble des nombres paires est stable pour
l’addition, or l’ensemble des nombres impairs n’est pas stable pour l’addition.
2 Soient E = P({a, b, c}) et F = {{a, b}, {a, c}, {b, c}}, alors F
n’est pas stable par rapport à la réunion et l’intersection car :
∃X = {a, b}, Y = {a, c} ∈ F ; X ∩ Y = {a} /∈ F
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans Z, l’ensemble des nombres paires est stable pour
l’addition, or l’ensemble des nombres impairs n’est pas stable pour l’addition.
2 Soient E = P({a, b, c}) et F = {{a, b}, {a, c}, {b, c}}, alors F
n’est pas stable par rapport à la réunion et l’intersection car :
∃X = {a, b}, Y = {a, c} ∈ F ; X ∩ Y = {a} /∈ F
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans Z, l’ensemble des nombres paires est stable pour
l’addition, or l’ensemble des nombres impairs n’est pas stable pour l’addition.
2 Soient E = P({a, b, c}) et F = {{a, b}, {a, c}, {b, c}}, alors F
n’est pas stable par rapport à la réunion et l’intersection
car :
∃X = {a, b}, Y = {a, c} ∈ F ; X ∩ Y = {a} /∈ F
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans Z, l’ensemble des nombres paires est stable pour
l’addition, or l’ensemble des nombres impairs n’est pas stable pour l’addition.
2 Soient E = P({a, b, c}) et F = {{a, b}, {a, c}, {b, c}}, alors F
n’est pas stable par rapport à la réunion et l’intersection car :
∃X = {a, b}, Y = {a, c} ∈ F ; X ∩ Y = {a} /∈ F
Lois de composition internes Lois de composition internes
Exemple
1 Dans Z, l’ensemble des nombres paires est stable pour
l’addition, or l’ensemble des nombres impairs n’est pas stable pour l’addition.
2 Soient E = P({a, b, c}) et F = {{a, b}, {a, c}, {b, c}}, alors F
n’est pas stable par rapport à la réunion et l’intersection car :
∃X = {a, b}, Y = {a, c} ∈ F ; X ∩ Y = {a} /∈ F
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Loi induite
Remarque
Si A est une partie de E stable pour la loi de E alors la réstriction de la loi ? à A × A qui est aussi une loi de composition intérne dans A est appelée la loi de composition intérne induite par ? dans A.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Commutativité
Définition
1 Soient x et y deux éléments quelconques de E . On dit que x
commute avec y ( pour la loi ? ) ou x et y commutent ( pour la loi ? ) si on a :
x ? y = y ? x
2 Si tous les éléments de E commutent ( pour la loi ? ) on dit
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
1 Dans N , N∗ , Z , Q , R et C L’addition et la multiplication
sont commutatives.
2 Dans XX, ◦
n’est pas commutative.
3 Dans P(E ), ∪ et ∩ sont commutatives.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
1 Dans N , N∗ , Z , Q , R et C L’addition et la multiplication
sont commutatives.
2 Dans XX, ◦ n’est pas commutative.
3 Dans P(E ), ∪ et ∩
sont commutatives.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
1 Dans N , N∗ , Z , Q , R et C L’addition et la multiplication
sont commutatives.
2 Dans XX, ◦ n’est pas commutative.
3 Dans P(E ), ∪ et ∩ sont commutatives.
4 La soustraction
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
1 Dans N , N∗ , Z , Q , R et C L’addition et la multiplication
sont commutatives.
2 Dans XX, ◦ n’est pas commutative.
3 Dans P(E ), ∪ et ∩ sont commutatives.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Associativité
Définition
On dit que la loi ? est associative si on a :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
1 Dans N, N∗ , Z, Q, R et C L’addition et la multiplication sont
associatives.
2 Dans P(E ), ∪ et ∩
sont associatives.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
1 Dans N, N∗ , Z, Q, R et C L’addition et la multiplication sont
associatives.
2 Dans P(E ), ∪ et ∩ sont associatives.
3 la composition dans XX
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
1 Dans N, N∗ , Z, Q, R et C L’addition et la multiplication sont
associatives.
2 Dans P(E ), ∪ et ∩ sont associatives. 3 la composition dans XX est associative.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Distributivité
Définition
Si T est une autre loi de composition intérne dans E . On dit que la loi ? est distributive par raport à T si on a :
∀x, y , z ∈ E :
x ? (yTz) = (x ? y ) T (x ? z) (yTz) ? x = (y ? x ) T (z ? x )
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
1 Dans N , N∗ , Z , Q , R et C La multiplication distributive par
rapport à l’addition.
2 ∩
est distributive par rapport à ∪.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
1 Dans N , N∗ , Z , Q , R et C La multiplication distributive par
rapport à l’addition.
2 ∩ est distributive par rapport à ∪. 3 ∪
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
1 Dans N , N∗ , Z , Q , R et C La multiplication distributive par
rapport à l’addition.
2 ∩ est distributive par rapport à ∪. 3 ∪ est distributive par rapport à ∩.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Elément neutre
Définition
On dit qu’un élément e ∈ E est l’élément neutre de E si on a : ∀x ∈ E : x ? e = e ? x = x
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Elément neutre
Théorème
Soit ? une loi de composition interne sur E. Si (E , ?) admet un élément neutre,
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Elément neutre
Théorème
Soit ? une loi de composition interne sur E. Si (E , ?) admet un élément neutre, il est unique.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
1 1 est l’élément neutre de (C, ×).
2 ∅ est l’élément neutre de (P(E ), ∪) et E est l’élément neutre
de (P(E ), ∩).
3 (N?, +) ne possède pas d’élément neutre. 4 IdE est l’élément neutre de (EE, ◦).
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Notations
- Si la loi de E est multiplicative et si E admet un élément neutre e pour la loi de E
alors : ∀a ∈ E : on note : a0 = e
- Si la loi de E est additive et si E admet un élément neutre pour la loi de E alors :
• l’élément neutre de E est appelé le zéro de E ou zéro et noté 0E ou 0 .
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Elément symétrique
Définition
Soient x et x0 deux éléments quelconques de E .
Si E admet un élément neutre e pour la loi de E et si ona :
x ? x0 = x0? x = e, on dit que x est symétrisable pour la loi de E et que x0 est son symétrique.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Notations
Si la loi de E est multiplicative et si E admet un élément neutre alors Les éléments symétrisables pour la loi de E sont appelés les éléments inversibles. Soit x ∈ E est un élément quelconque de E . l’inverse de x et noté x_1
Si la loi de E est additive et si E admet un zéro et x ∈ E est un élément quelconque de E qui admet un symétrique alors le symétrique de x est appelé l’opposé de x et noté −x.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
1 1 et −1 sont les seuls éléments inversibles de (Z, ×). 2 ∅ est le seul élément symétrisable de P (E ) pour la loi ∪. 3 E est le seul élément symétrisable de P (E ) pour la loi ∩. 4 Les éléments de EE qui admettent un symétrique pour la loi ◦
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
Soit E = {α, β, γ}, on définit une loi de composition interne dans E par :
∗ α β γ
α α β γ
β β γ α
γ γ α α
1 α est l’élément neutre de ∗.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
Soit E = {α, β, γ}, on définit une loi de composition interne dans E par :
∗ α β γ
α α β γ
β β γ α
γ γ α α
1 α est l’élément neutre de ∗.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
Soit E = {α, β, γ}, on définit une loi de composition interne dans E par :
∗ α β γ
α α β γ
β β γ α
γ γ α α
1 α est l’élément neutre de ∗.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Théorème
Soit E un ensemble muni d’une loi de composition interne
associative possédant un élément neutre. Tout élément symétrisable posséde un unique symétrique.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Proposition
Soit ∗ une loi de composition interne dans un ensemble E, associative et admettant un élément neutre e, alors
1 L’élément neutre est le symétrique de lui même.
2 si a et b sont deux éléments inversibles (symétrisables)il en
sera de même de (a ∗ b) et on a :
(a ∗ b)−1= b−1∗ a−1
3 Si a est un élément inversible (symétrisable) et a−1 son inverse
(son symétrique), alors a−1 est inversible (symétrisable)et on a :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Proposition
Soit ∗ une loi de composition interne dans un ensemble E, associative et admettant un élément neutre e, alors
1 L’élément neutre est le symétrique de lui même. 2 si a et b sont deux éléments inversibles (symétrisables)
il en sera de même de (a ∗ b) et on a :
(a ∗ b)−1= b−1∗ a−1
3 Si a est un élément inversible (symétrisable) et a−1 son inverse
(son symétrique), alors a−1 est inversible (symétrisable)et on a :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Proposition
Soit ∗ une loi de composition interne dans un ensemble E, associative et admettant un élément neutre e, alors
1 L’élément neutre est le symétrique de lui même.
2 si a et b sont deux éléments inversibles (symétrisables)il en
sera de même de (a ∗ b) et on a :
(a ∗ b)−1= b−1∗ a−1
3 Si a est un élément inversible (symétrisable) et a−1 son inverse
(son symétrique), alors a−1 est inversible (symétrisable)et on a :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Proposition
Soit ∗ une loi de composition interne dans un ensemble E, associative et admettant un élément neutre e, alors
1 L’élément neutre est le symétrique de lui même.
2 si a et b sont deux éléments inversibles (symétrisables)il en
sera de même de (a ∗ b) et on a :
(a ∗ b)−1 = b−1∗ a−1
3 Si a est un élément inversible (symétrisable) et a−1 son inverse
(son symétrique), alors
a−1 est inversible (symétrisable)et on a :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Proposition
Soit ∗ une loi de composition interne dans un ensemble E, associative et admettant un élément neutre e, alors
1 L’élément neutre est le symétrique de lui même.
2 si a et b sont deux éléments inversibles (symétrisables)il en
sera de même de (a ∗ b) et on a :
(a ∗ b)−1 = b−1∗ a−1
3 Si a est un élément inversible (symétrisable) et a−1 son inverse
(son symétrique), alors a−1 est inversible (symétrisable)et on
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Proposition
Soit ∗ une loi de composition interne dans un ensemble E, associative et admettant un élément neutre e, alors
1 L’élément neutre est le symétrique de lui même.
2 si a et b sont deux éléments inversibles (symétrisables)il en
sera de même de (a ∗ b) et on a :
(a ∗ b)−1 = b−1∗ a−1
3 Si a est un élément inversible (symétrisable) et a−1 son inverse
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Elément régulier et élément absorbant
Définition
On dit qu’un élément a de E est régulier pour la loi de E si on a :
1 ∀x, y ∈ E :
x ∗ a = y ∗ a =⇒ x = y
2 ∀x, y ∈ E :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Elément régulier et élément absorbant
Définition
On dit qu’un élément a de E est régulier pour la loi de E si on a :
1 ∀x, y ∈ E :
x ∗ a = y ∗ a =⇒ x = y
2 ∀x, y ∈ E :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Elément régulier et élément absorbant
Définition
On dit qu’un élément a de E est régulier pour la loi de E si on a :
1 ∀x, y ∈ E :
x ∗ a = y ∗ a =⇒ x = y
2 ∀x, y ∈ E :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
1 Dans N, Z, Q, R et C munis de l’addition et de la
multiplication
Tous les éléments sont réguliers pour l’addition.
Tous les éléments non nuls sont réguliers pour la multiplication.
2 Dans P(A), ∅ est le seul élément régulier pour la loi ∪. 3 Dans P(A), A est le seul élément régulier pour la loi ∩.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Définition
On dit qu’un élément a de E est absorbant pour la loi ∗ de E si on a :
∀x ∈ E : x ∗ a = a ∗ x = a
Remarque
Si E admet un élément absorbant pour la loi ∗, cet élément absorbant est unique.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Définition
On dit qu’un élément a de E est absorbant pour la loi ∗ de E si on a :
∀x ∈ E : x ∗ a = a ∗ x = a Remarque
Si E admet un élément absorbant pour la loi ∗, cet élément absorbant est unique.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
Dans N, Z, Q, R et C munis de la multiplication 0 est un élément absorbant.
Dans P(A) muni des lois de compositions internes ∪. A est l’élément absorbant.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
Dans P(A) muni des lois de compositions internes ∪. E est l’élément absorbant pour la loi .
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Définition
Soient (E1, ∗1) et (E2, ∗2) deux ensembles munis des lois de
composition internes ∗1et ∗2.
On définit dans l’ensemble : E1× E2 la loi de composition interne
suivante :
∀x = (x1, x2) ∈ E1× E2 et ∀y = (y1, y2) ∈ E1× E2:
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Proposition
1 La loi ? est commutative si seulement si ∗1et ∗2sont
commutatives .
2 La loi ? est associative si seulement si ∗1et ∗2sont associatives
.
3 Un élément e = (e1, e2) ∈ E1× E2 est un élément neutre de
E1× E2 pour la loi ? si seulement si e1 est un élément neutre
de E1pour la loi ∗1et e2 est un élément neutre de E2 pour la
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Proposition
Soient e1 un élément neutre de E1pour la loi ∗1, e2 un élément
neutre de E2 pour la loi ∗2et x = (x1, x2) ∈ E1× E2 un
élément quelconque de E1× E2.
x = (x1, x2) soit symétrisable il faut et suffit que x1et x2 sont
symétrisables.
Si x10et x02 sont les symétriques de x1et x2 alors x0 = (x10, x20)
est le symétrique de x = (x1, x2).
Un élément a = (a1, a2) ∈ E1× E2 est régulier pour la loi ? si
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Proposition
Si les lois de E1 et E2 sont multiplicatives et si
a = (a1, a2) ∈ E1× E2 est un élément quelconque de E1× E2 .
alors :
- ∀n ∈ N?: an= (a1, a2)n= (an1, an2)
- ∀n ∈ N : an= (a1, a2)n= (an1, an2) si E1 et E2 possèdent des
éléments neutres.
- ∀n ∈ Z : an= (a1, a2)n= (an1, an2) si E1 et E2 possèdent des
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Proposition
Soit (E , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne associative. Si x, y ∈ E alors : ∀n, m ∈ N∗: xnxm= xn+m (xn)m = xnm (xy )n= xnyn si xy = yx
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Proposition
Si E admet un élément neutre : ∀n, m ∈ N : xnxm= xn+m (xn)m= xnm (xy )n= xnyn si xy = yx
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Proposition
Si E admet un élément neutre et si x est inversible : ∀n, m ∈ Z : xnxm= xn+m (xn)m = xnm
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Homomorphisme et Isomorphisme
Définition
Si (F , T ) est un autre ensemble muni d’une loi de composition intérne T et si f est une application de E vers F on dit que f est un homomorphisme de (E , ?) vers (F , T ) ou f est un
homomorphisme de E vers F si la propriété suivante est vérifiée : ∀x, y ∈ E : f (x ? y ) = f (x) Tf (y )
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Définition
1 Si f est bijective on dit que f est un isomorphisme de (E , ?)
vers (F , T ) ou f est un isomorphisme de E vers F
2 Si (F , T ) est un autre ensemble muni d’une loi de composition
intérne T et s’il existe un isomorphisme de (E , ?) vers (F , T ) on dit que (E , ?) est isomorphe à (F , T ) ou E est isomorphe à F ou (E , ?) et (F , T ) sont isomorphes et on note
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Exemple
1 L’application f : (R, +) //(R, ×), x //exp x est un
homomorphisme.
2 L’application g : (R, +) //(R, ×), x //2x n’est pas un
homomorphisme.
3 L’application g : (R, +) //(R, +), x //2x est un
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Remarque
Si E admet un élément neutre e et si F admet un élément neutre e0, alors on a pas forcement f (e) = e0
contre exemple
Supposons que E = F = R × R. On munit E et F de la multiplication. (1, 1) est l’élément neutre de E et F.
Soit f l’application de E vers F définie par : f ((x, y )) = (x, 0). On a f ((1, 1)) = (1, 0) 6= (1, 1)
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne. On dit que (G , ?) est un groupe si :
1 la loi ? est associative,
c’est à dire si on a : ∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)
2 G admet un élément neutre e pour la loi ?, c’est à dire si :
∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x
3 tout élément de G admet un symétrique pour la loi ?, c’est à
dire si :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne. On dit que (G , ?) est un groupe si :
1 la loi ? est associative,c’est à dire si on a :
∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)
2 G admet un élément neutre e pour la loi ?, c’est à dire si :
∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x
3 tout élément de G admet un symétrique pour la loi ?, c’est à
dire si :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne. On dit que (G , ?) est un groupe si :
1 la loi ? est associative,c’est à dire si on a :
∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)
2 G admet un élément neutre e pour la loi ?,
c’est à dire si : ∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x
3 tout élément de G admet un symétrique pour la loi ?, c’est à
dire si :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne. On dit que (G , ?) est un groupe si :
1 la loi ? est associative,c’est à dire si on a :
∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)
2 G admet un élément neutre e pour la loi ?, c’est à dire si :
∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x
3 tout élément de G admet un symétrique pour la loi ?, c’est à
dire si :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne. On dit que (G , ?) est un groupe si :
1 la loi ? est associative,c’est à dire si on a :
∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)
2 G admet un élément neutre e pour la loi ?, c’est à dire si :
∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x
3 tout élément de G admet un symétrique pour la loi ?,
c’est à dire si :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne. On dit que (G , ?) est un groupe si :
1 la loi ? est associative,c’est à dire si on a :
∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)
2 G admet un élément neutre e pour la loi ?, c’est à dire si :
∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x
3 tout élément de G admet un symétrique pour la loi ?, c’est à
dire si :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Terminologie
Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou abélien.
Si la loi ? est notée multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.
Si la loi ? est notée additivement on dit que le groupe est additif.
Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre fini et dans ce le cardinale de G est appelé l’ordre de G et on le noté |G |. Si G est infini on dit que le groupe est d’ordre infini.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Terminologie
Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou abélien.
Si la loi ? est notée multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.
Si la loi ? est notée additivement on dit que le groupe est additif.
Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre fini et dans ce le cardinale de G est appelé l’ordre de G et on le noté |G |. Si G est infini on dit que le groupe est d’ordre infini.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Terminologie
Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou abélien.
Si la loi ? est notée multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.
Si la loi ? est notée additivement on dit que le groupe est additif.
Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre fini et dans ce le cardinale de G est appelé l’ordre de G et on le noté |G |. Si G est infini on dit que le groupe est d’ordre infini.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Terminologie
Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou abélien.
Si la loi ? est notée multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.
Si la loi ? est notée additivement on dit que le groupe est additif.
Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre fini
et dans ce le cardinale de G est appelé l’ordre de G et on le noté |G |. Si G est infini on dit que le groupe est d’ordre infini.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Terminologie
Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou abélien.
Si la loi ? est notée multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.
Si la loi ? est notée additivement on dit que le groupe est additif.
Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre fini et dans ce le cardinale de G est appelé l’ordre de G et on le noté |G |.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Terminologie
Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou abélien.
Si la loi ? est notée multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.
Si la loi ? est notée additivement on dit que le groupe est additif.
Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre fini et dans ce le cardinale de G est appelé l’ordre de G et on le noté |G |.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)
ne sont pas des groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens . 3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes
abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et
(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des
groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens . 3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes
abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et
(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des
groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +)
sont des groupes abéliens .
3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes
abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et
(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des
groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens .
3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes
abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et
(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des
groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens . 3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·)
sont des groupes abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et
(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des
groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens . 3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes
abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et
(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des
groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens . 3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes
abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et
(P (E ) , ∩)
ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des
groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens . 3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes
abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et
(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des
groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens . 3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes
abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et
(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆)
est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des
groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens . 3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes
abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et
(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Propriétés
Proposition
Soit G un groupe. Tous les éléments de G sont réguliers pour la loi de G .
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes.
Une application f : G //G0 est un morphisme de groupes si :
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes.
1 Si G = G0 et ? = |, on parle d’endomorphisme.
2 Si f est bijective, on parle d’isomorphisme.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes.
1 Si G = G0 et ? = |, on parle d’endomorphisme.
2 Si f est bijective, on parle d’isomorphisme.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes.
1 Si G = G0 et ? = |, on parle d’endomorphisme.
2 Si f est bijective, on parle d’isomorphisme.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 L’application z //| z | est un homomorphisme de groupes
de (C?, .) dans (R?, .)
2 Si G est abélien, x //x2 et x //x−1 réalisent des
endomorphismes de G.
3 Si G est un groupe multiplicatif alors pour tout élément a ∈ G
l’application suivante : f : Z −→ G
k 7−→ f (k) = ak
est un homomorphisme de (Z, +) vers (G , ·) .
4 Si G est un groupe additif alors pour tout élément a ∈ G
l’application suivante : f : Z −→ G
k 7−→ f (k) = ka
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 L’application z //| z | est un homomorphisme de groupes
de (C?, .) dans (R?, .)
2 Si G est abélien, x //x2 et x //x−1 réalisent des
endomorphismes de G.
3 Si G est un groupe multiplicatif alors pour tout élément a ∈ G
l’application suivante : f : Z −→ G
k 7−→ f (k) = ak
est un homomorphisme de (Z, +) vers (G , ·) .
4 Si G est un groupe additif alors pour tout élément a ∈ G
l’application suivante : f : Z −→ G
k 7−→ f (k) = ka
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 L’application z //| z | est un homomorphisme de groupes
de (C?, .) dans (R?, .)
2 Si G est abélien, x //x2 et x //x−1 réalisent des
endomorphismes de G.
3 Si G est un groupe multiplicatif alors pour tout élément a ∈ G
l’application suivante : f : Z −→ G
k 7−→ f (k) = ak
est un homomorphisme de (Z, +) vers (G , ·) .
4 Si G est un groupe additif alors pour tout élément a ∈ G
l’application suivante : f : Z −→ G
k 7−→ f (k) = ka
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 L’application z //| z | est un homomorphisme de groupes
de (C?, .) dans (R?, .)
2 Si G est abélien, x //x2 et x //x−1 réalisent des
endomorphismes de G.
3 Si G est un groupe multiplicatif alors pour tout élément a ∈ G
l’application suivante : f : Z −→ G
k 7−→ f (k) = ak
est un homomorphisme de (Z, +) vers (G , ·) .
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Proposition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes. Si e est l’élément neutre de G et si est l’élément neutre de G0 alors :
1 f (e) = .
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Proposition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes. Si e est l’élément neutre de G et si est l’élément neutre de G0 alors :
1 f (e) = .
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Proposition
1 Soient f : G //G0 et f : G0 //G00 deux morphismes de
groupes, alors g ◦ f : G //G00 est un morphisme de groupes.
2 Soit f : G //G0 un isomorphisme de groupes alors f−1 est
aussi un isomorphisme de groupes. Dans ce cas on dit que G et G0 sont isomorphes.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Proposition
1 Soient f : G //G0 et f : G0 //G00 deux morphismes de
groupes, alors g ◦ f : G //G00 est un morphisme de groupes.
2 Soit f : G //G0 un isomorphisme de groupes alors f−1 est
aussi un isomorphisme de groupes. Dans ce cas on dit que G et G0 sont isomorphes.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Noyau et Image d’un homomorphisme
Définition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes.
1 L’ensemble {x ∈ G /f (x) = ε} est appelé le noyau de f ou le
ker de f et noté ker f .
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Noyau et Image d’un homomorphisme
Définition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes.
1 L’ensemble {x ∈ G /f (x) = ε} est appelé le noyau de f ou le
ker de f et noté ker f .
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
Soit f : (R, +) //(C?, .) défini par : ∀x ∈ R, f (x) = exp(ix). Alors :
f est un morphisme de groupes.
Kerf = {2kπ/k ∈ Z}. Imf = {z ∈ C/|z| = 1}.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
Soit f : (R, +) //(C?, .) défini par : ∀x ∈ R, f (x) = exp(ix). Alors :
f est un morphisme de groupes. Kerf = {2kπ/k ∈ Z}.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
Soit f : (R, +) //(C?, .) défini par : ∀x ∈ R, f (x) = exp(ix). Alors :
f est un morphisme de groupes. Kerf = {2kπ/k ∈ Z}.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Proposition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes.
1 f est injective si seulement si ker f = {e}
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Proposition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes.
1 f est injective si seulement si ker f = {e} 2 f est surjective si et seulement si Imf = G0.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Définition
Soit (G , ∗) un groupe et H une partie de G. On dit que H est un sous-groupe de G si :
1 e ∈ H.
2 ∀x, y ∈ H, x ∗ y ∈ H.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Définition
Soit (G , ∗) un groupe et H une partie de G. On dit que H est un sous-groupe de G si :
1 e ∈ H.
2 ∀x, y ∈ H, x ∗ y ∈ H.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Définition
Soit (G , ∗) un groupe et H une partie de G. On dit que H est un sous-groupe de G si :
1 e ∈ H.
2 ∀x, y ∈ H, x ∗ y ∈ H.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Proposition
Soit (G , ∗) un groupe et H une partie de G. H est un sous-groupe de G si et seulement si :
1 H 6= ∅.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Exemple
1 G et {e} sont des sous-groupes triviaux de G.
2 (Z; +)est un sous-groupe de (Q, +).
3 {1, −1} est un sous-groupe des groupes multiplicatifs Q?, R?
et C?.
4 U = {z ∈ C/|z| = 1} est un sous-groupe de (C?, .). 5 Soit (G , .) un groupe et C = {x ∈ G /∀y ∈ G , x.y = y .x},
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Exemple
1 G et {e} sont des sous-groupes triviaux de G.
2 (Z; +)est un sous-groupe de (Q, +).
3 {1, −1} est un sous-groupe des groupes multiplicatifs Q?, R?
et C?.
4 U = {z ∈ C/|z| = 1} est un sous-groupe de (C?, .). 5 Soit (G , .) un groupe et C = {x ∈ G /∀y ∈ G , x.y = y .x},
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Exemple
1 G et {e} sont des sous-groupes triviaux de G.
2 (Z; +)est un sous-groupe de (Q, +).
3 {1, −1} est un sous-groupe des groupes multiplicatifs Q?, R?
et C?.
4 U = {z ∈ C/|z| = 1} est un sous-groupe de (C?, .). 5 Soit (G , .) un groupe et C = {x ∈ G /∀y ∈ G , x.y = y .x},
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Exemple
1 G et {e} sont des sous-groupes triviaux de G.
2 (Z; +)est un sous-groupe de (Q, +).
3 {1, −1} est un sous-groupe des groupes multiplicatifs Q?, R?
et C?.
4 U = {z ∈ C/|z| = 1} est un sous-groupe de (C?, .).
5 Soit (G , .) un groupe et C = {x ∈ G /∀y ∈ G , x.y = y .x},
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Exemple
1 G et {e} sont des sous-groupes triviaux de G.
2 (Z; +)est un sous-groupe de (Q, +).
3 {1, −1} est un sous-groupe des groupes multiplicatifs Q?, R?
et C?.
4 U = {z ∈ C/|z| = 1} est un sous-groupe de (C?, .). 5 Soit (G , .) un groupe et C = {x ∈ G /∀y ∈ G , x.y = y .x},
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Proposition
Soit (G , ∗) un groupe.
1 Si H et K sont deux sous-groupes de G alors H ∩ K est un
sous-groupe de G.
2 Si H et K sont deux sous-groupes de G alors H ∪ K est un
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Proposition
Soit (G , ∗) un groupe.
1 Si H et K sont deux sous-groupes de G alors H ∩ K est un
sous-groupe de G.
2 Si H et K sont deux sous-groupes de G alors H ∪ K est un
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Contre-exemple
H = {(x, 0)/x ∈ R} et K = {(0, y )/y ∈ R} sont des sous-groupes de (R2, +). Alors que H ∪ K n’est pas un sous-groupe de (R2, +).
