Définition
Si (F , T ) est un autre ensemble muni d’une loi de composition intérne T et si f est une application de E vers F on dit que f est un homomorphisme de (E , ?) vers (F , T ) ou f est un
homomorphisme de E vers F si la propriété suivante est vérifiée : ∀x, y ∈ E : f (x ? y ) = f (x) Tf (y )
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Définition
1 Si f est bijective on dit que f est un isomorphisme de (E , ?) vers (F , T ) ou f est un isomorphisme de E vers F
2 Si (F , T ) est un autre ensemble muni d’une loi de composition intérne T et s’il existe un isomorphisme de (E , ?) vers (F , T ) on dit que (E , ?) est isomorphe à (F , T ) ou E est isomorphe à F ou (E , ?) et (F , T ) sont isomorphes et on note
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Exemple
1 L’application f : (R, +) //(R, ×), x //exp x est un
homomorphisme.
2 L’application g : (R, +) //(R, ×), x //2x n’est pas un
homomorphisme.
3 L’application g : (R, +) //(R, +), x //2x est un
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Remarque
Si E admet un élément neutre e et si F admet un élément neutre e0, alors on a pas forcement f (e) = e0
contre exemple
Supposons que E = F = R × R. On munit E et F de la multiplication. (1, 1) est l’élément neutre de E et F.
Soit f l’application de E vers F définie par : f ((x, y )) = (x, 0). On a f ((1, 1)) = (1, 0) 6= (1, 1)
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne. On dit que (G , ?) est un groupe si :
1 la loi ? est associative,
c’est à dire si on a : ∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)
2 G admet un élément neutre e pour la loi ?, c’est à dire si : ∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x
3 tout élément de G admet un symétrique pour la loi ?, c’est à dire si :
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne. On dit que (G , ?) est un groupe si :
1 la loi ? est associative,c’est à dire si on a : ∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)
2 G admet un élément neutre e pour la loi ?, c’est à dire si : ∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x
3 tout élément de G admet un symétrique pour la loi ?, c’est à dire si :
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne. On dit que (G , ?) est un groupe si :
1 la loi ? est associative,c’est à dire si on a : ∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)
2 G admet un élément neutre e pour la loi ?,
c’est à dire si : ∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x
3 tout élément de G admet un symétrique pour la loi ?, c’est à dire si :
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne. On dit que (G , ?) est un groupe si :
1 la loi ? est associative,c’est à dire si on a : ∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)
2 G admet un élément neutre e pour la loi ?, c’est à dire si : ∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x
3 tout élément de G admet un symétrique pour la loi ?, c’est à dire si :
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne. On dit que (G , ?) est un groupe si :
1 la loi ? est associative,c’est à dire si on a : ∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)
2 G admet un élément neutre e pour la loi ?, c’est à dire si : ∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x
3 tout élément de G admet un symétrique pour la loi ?,
c’est à dire si :
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne. On dit que (G , ?) est un groupe si :
1 la loi ? est associative,c’est à dire si on a : ∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)
2 G admet un élément neutre e pour la loi ?, c’est à dire si : ∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x
3 tout élément de G admet un symétrique pour la loi ?, c’est à dire si :
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Terminologie
Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou abélien.
Si la loi ? est notée multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.
Si la loi ? est notée additivement on dit que le groupe est additif.
Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre fini et dans ce le cardinale de G est appelé l’ordre de G et on le noté |G |. Si G est infini on dit que le groupe est d’ordre infini.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Terminologie
Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou abélien.
Si la loi ? est notée multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.
Si la loi ? est notée additivement on dit que le groupe est additif.
Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre fini et dans ce le cardinale de G est appelé l’ordre de G et on le noté |G |. Si G est infini on dit que le groupe est d’ordre infini.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Terminologie
Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou abélien.
Si la loi ? est notée multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.
Si la loi ? est notée additivement on dit que le groupe est additif.
Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre fini et dans ce le cardinale de G est appelé l’ordre de G et on le noté |G |. Si G est infini on dit que le groupe est d’ordre infini.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Terminologie
Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou abélien.
Si la loi ? est notée multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.
Si la loi ? est notée additivement on dit que le groupe est additif.
Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre fini
et dans ce le cardinale de G est appelé l’ordre de G et on le noté |G |. Si G est infini on dit que le groupe est d’ordre infini.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Terminologie
Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou abélien.
Si la loi ? est notée multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.
Si la loi ? est notée additivement on dit que le groupe est additif.
Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre fini et dans ce le cardinale de G est appelé l’ordre de G et on le noté |G |.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Terminologie
Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou abélien.
Si la loi ? est notée multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.
Si la loi ? est notée additivement on dit que le groupe est additif.
Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre fini et dans ce le cardinale de G est appelé l’ordre de G et on le noté |G |.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)
ne sont pas des groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens .
3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et (P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : GE est un groupe.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens .
3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et (P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : GE est un groupe.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +)
sont des groupes abéliens .
3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et (P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : GE est un groupe.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens .
3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et (P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : GE est un groupe.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens .
3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·)
sont des groupes abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et (P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : GE est un groupe.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens .
3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et (P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : GE est un groupe.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens .
3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et (P (E ) , ∩)
ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : GE est un groupe.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens .
3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et (P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : GE est un groupe.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens .
3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et (P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆)
est un groupe abélien .
6 Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .
7 Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : GE est un groupe.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes .
2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes abéliens .
3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes abéliens .
4 Soit E un ensemble quelconque . (EE, ◦), (P (E ) , ∪) et (P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .
5 (P (E ) , ∆) est un groupe abélien .
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Propriétés
Proposition
Soit G un groupe. Tous les éléments de G sont réguliers pour la loi de G .
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes.
Une application f : G //G0
est un morphisme de groupes si : ∀x ∈ G , ∀x0 ∈ G : f (x ∗ x0) = f (x ) | f (x0)
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0
un morphisme de groupes.
1 Si G = G0 et ? = |, on parle d’endomorphisme.
2 Si f est bijective, on parle d’isomorphisme.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0
un morphisme de groupes.
1 Si G = G0 et ? = |, on parle d’endomorphisme.
2 Si f est bijective, on parle d’isomorphisme.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Définition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0
un morphisme de groupes.
1 Si G = G0 et ? = |, on parle d’endomorphisme.
2 Si f est bijective, on parle d’isomorphisme.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 L’application z //| z | est un homomorphisme de groupes
de (C?, .) dans (R?, .)
2 Si G est abélien, x //x2 et x //x−1 réalisent des
endomorphismes de G.
3 Si G est un groupe multiplicatif alors pour tout élément a ∈ G l’application suivante :
f : Z −→ G k 7−→ f (k) = ak
est un homomorphisme de (Z, +) vers (G , ·) .
4 Si G est un groupe additif alors pour tout élément a ∈ G l’application suivante :
f : Z −→ G k 7−→ f (k) = ka
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 L’application z //| z | est un homomorphisme de groupes
de (C?, .) dans (R?, .)
2 Si G est abélien, x //x2 et x //x−1 réalisent des
endomorphismes de G.
3 Si G est un groupe multiplicatif alors pour tout élément a ∈ G l’application suivante :
f : Z −→ G k 7−→ f (k) = ak
est un homomorphisme de (Z, +) vers (G , ·) .
4 Si G est un groupe additif alors pour tout élément a ∈ G l’application suivante :
f : Z −→ G k 7−→ f (k) = ka
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 L’application z //| z | est un homomorphisme de groupes
de (C?, .) dans (R?, .)
2 Si G est abélien, x //x2 et x //x−1 réalisent des
endomorphismes de G.
3 Si G est un groupe multiplicatif alors pour tout élément a ∈ G l’application suivante :
f : Z −→ G k 7−→ f (k) = ak
est un homomorphisme de (Z, +) vers (G , ·) .
4 Si G est un groupe additif alors pour tout élément a ∈ G l’application suivante :
f : Z −→ G k 7−→ f (k) = ka
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
1 L’application z //| z | est un homomorphisme de groupes
de (C?, .) dans (R?, .)
2 Si G est abélien, x //x2 et x //x−1 réalisent des
endomorphismes de G.
3 Si G est un groupe multiplicatif alors pour tout élément a ∈ G l’application suivante :
f : Z −→ G k 7−→ f (k) = ak
est un homomorphisme de (Z, +) vers (G , ·) .
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Proposition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0
un morphisme de groupes. Si e est l’élément neutre de G et si est l’élément neutre de G0 alors :
1 f (e) = .
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Proposition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0
un morphisme de groupes. Si e est l’élément neutre de G et si est l’élément neutre de G0 alors :
1 f (e) = .
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques Généralités Homomorphisme de groupe Proposition 1 Soient f : G //G0 et f : G0 //G00 deux morphismes de groupes, alors g ◦ f : G //G00
est un morphisme de groupes.
2 Soit f : G //G0
un isomorphisme de groupes alors f−1 est aussi un isomorphisme de groupes. Dans ce cas on dit que G et G0 sont isomorphes.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques Généralités Homomorphisme de groupe Proposition 1 Soient f : G //G0 et f : G0 //G00 deux morphismes de groupes, alors g ◦ f : G //G00
est un morphisme de groupes.
2 Soit f : G //G0
un isomorphisme de groupes alors f−1 est aussi un isomorphisme de groupes. Dans ce cas on dit que G et G0 sont isomorphes.
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Généralités
Homomorphisme de groupe