Définition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0
un morphisme de groupes.
1 L’ensemble {x ∈ G /f (x) = ε} est appelé le noyau de f ou le ker de f et noté ker f .
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
Généralités
Homomorphisme de groupe
Noyau et Image d’un homomorphisme
Définition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0
un morphisme de groupes.
1 L’ensemble {x ∈ G /f (x) = ε} est appelé le noyau de f ou le ker de f et noté ker f .
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
Soit f : (R, +) //(C?, .) défini par : ∀x ∈ R, f (x) = exp(ix). Alors :
f est un morphisme de groupes.
Kerf = {2kπ/k ∈ Z}. Imf = {z ∈ C/|z| = 1}.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
Soit f : (R, +) //(C?, .) défini par : ∀x ∈ R, f (x) = exp(ix). Alors :
f est un morphisme de groupes. Kerf = {2kπ/k ∈ Z}.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Exemple
Soit f : (R, +) //(C?, .) défini par : ∀x ∈ R, f (x) = exp(ix). Alors :
f est un morphisme de groupes. Kerf = {2kπ/k ∈ Z}.
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Proposition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0
un morphisme de groupes.
1 f est injective si seulement si ker f = {e}
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Généralités
Homomorphisme de groupe
Proposition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0
un morphisme de groupes.
1 f est injective si seulement si ker f = {e}
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Définition
Soit (G , ∗) un groupe et H une partie de G. On dit que H est un sous-groupe de G si :
1 e ∈ H.
2 ∀x, y ∈ H, x ∗ y ∈ H.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Définition
Soit (G , ∗) un groupe et H une partie de G. On dit que H est un sous-groupe de G si :
1 e ∈ H.
2 ∀x, y ∈ H, x ∗ y ∈ H.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Définition
Soit (G , ∗) un groupe et H une partie de G. On dit que H est un sous-groupe de G si :
1 e ∈ H.
2 ∀x, y ∈ H, x ∗ y ∈ H.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Proposition
Soit (G , ∗) un groupe et H une partie de G. H est un sous-groupe de G si et seulement si :
1 H 6= ∅.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Exemple
1 G et {e} sont des sous-groupes triviaux de G.
2 (Z; +)est un sous-groupe de (Q, +).
3 {1, −1} est un sous-groupe des groupes multiplicatifs Q?, R?
et C?.
4 U = {z ∈ C/|z| = 1} est un sous-groupe de (C?, .).
5 Soit (G , .) un groupe et C = {x ∈ G /∀y ∈ G , x.y = y .x}, alors C est un sous-groupe de G.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Exemple
1 G et {e} sont des sous-groupes triviaux de G.
2 (Z; +)est un sous-groupe de (Q, +).
3 {1, −1} est un sous-groupe des groupes multiplicatifs Q?, R?
et C?.
4 U = {z ∈ C/|z| = 1} est un sous-groupe de (C?, .).
5 Soit (G , .) un groupe et C = {x ∈ G /∀y ∈ G , x.y = y .x}, alors C est un sous-groupe de G.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Exemple
1 G et {e} sont des sous-groupes triviaux de G.
2 (Z; +)est un sous-groupe de (Q, +).
3 {1, −1} est un sous-groupe des groupes multiplicatifs Q?, R?
et C?.
4 U = {z ∈ C/|z| = 1} est un sous-groupe de (C?, .).
5 Soit (G , .) un groupe et C = {x ∈ G /∀y ∈ G , x.y = y .x}, alors C est un sous-groupe de G.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Exemple
1 G et {e} sont des sous-groupes triviaux de G.
2 (Z; +)est un sous-groupe de (Q, +).
3 {1, −1} est un sous-groupe des groupes multiplicatifs Q?, R?
et C?.
4 U = {z ∈ C/|z| = 1} est un sous-groupe de (C?, .).
5 Soit (G , .) un groupe et C = {x ∈ G /∀y ∈ G , x.y = y .x}, alors C est un sous-groupe de G.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Exemple
1 G et {e} sont des sous-groupes triviaux de G.
2 (Z; +)est un sous-groupe de (Q, +).
3 {1, −1} est un sous-groupe des groupes multiplicatifs Q?, R?
et C?.
4 U = {z ∈ C/|z| = 1} est un sous-groupe de (C?, .).
5 Soit (G , .) un groupe et C = {x ∈ G /∀y ∈ G , x.y = y .x}, alors C est un sous-groupe de G.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Proposition
Soit (G , ∗) un groupe.
1 Si H et K sont deux sous-groupes de G alors H ∩ K est un
sous-groupe de G.
2 Si H et K sont deux sous-groupes de G alors H ∪ K est un
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Proposition
Soit (G , ∗) un groupe.
1 Si H et K sont deux sous-groupes de G alors H ∩ K est un
sous-groupe de G.
2 Si H et K sont deux sous-groupes de G alors H ∪ K est un
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Contre-exemple
H = {(x, 0)/x ∈ R} et K = {(0, y )/y ∈ R} sont des sous-groupes de (R2, +). Alors que H ∪ K n’est pas un sous-groupe de (R2, +).
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Proposition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0
un homomorphisme de groupes.
1 Si H est un sous-groupe de G, alors f (H) est un sous-groupe de G0.
2 Imf est un sous-groupe de G0.
3 Si K est un sous-groupe de G0, alors f−1(K ) est un sous-groupe de G.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Proposition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0
un homomorphisme de groupes.
1 Si H est un sous-groupe de G, alors f (H) est un sous-groupe de G0.
2 Imf est un sous-groupe de G0.
3 Si K est un sous-groupe de G0, alors f−1(K ) est un sous-groupe de G.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Proposition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0
un homomorphisme de groupes.
1 Si H est un sous-groupe de G, alors f (H) est un sous-groupe de G0.
2 Imf est un sous-groupe de G0.
3 Si K est un sous-groupe de G0, alors f−1(K ) est un sous-groupe de G.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Proposition
Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0
un homomorphisme de groupes.
1 Si H est un sous-groupe de G, alors f (H) est un sous-groupe de G0.
2 Imf est un sous-groupe de G0.
3 Si K est un sous-groupe de G0, alors f−1(K ) est un sous-groupe de G.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Proposition
Si G est multiplicatif alors :
∀x ∈ G , {ak/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.
Si H est un sous-groupe de G alors pour tout élément a ∈ H :
{ak/k ∈ Z} ⊂ H
Proposition
Si G est additif alors :
∀x ∈ G , {ka/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.
Si H est un sous-groupe de G alors pour tout élément a ∈ H : {ka/k ∈ Z} ⊂ H
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Proposition
Si G est multiplicatif alors :
∀x ∈ G , {ak/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.
Si H est un sous-groupe de G alors pour tout élément a ∈ H :
{ak/k ∈ Z} ⊂ H
Proposition
Si G est additif alors :
∀x ∈ G , {ka/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.
Si H est un sous-groupe de G alors pour tout élément a ∈ H : {ka/k ∈ Z} ⊂ H
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Proposition
Si G est multiplicatif alors :
∀x ∈ G , {ak/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.
Si H est un sous-groupe de G alors pour tout élément a ∈ H :
{ak/k ∈ Z} ⊂ H
Proposition
Si G est additif alors :
∀x ∈ G , {ka/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.
Si H est un sous-groupe de G alors pour tout élément a ∈ H : {ka/k ∈ Z} ⊂ H
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Proposition
Si G est multiplicatif alors :
∀x ∈ G , {ak/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.
Si H est un sous-groupe de G alors pour tout élément a ∈ H :
{ak/k ∈ Z} ⊂ H
Proposition
Si G est additif alors :
∀x ∈ G , {ka/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Notation
Pour tout entier relatif n on note par nZ, l’ensemble nZ = {nk/k ∈ Z}.
Remarque
1 ∀n ∈ Z : nZ est un sous-groupe de Z.
2 Si H est un sous-groupe de (Z, +) alors : ∀n ∈ H, nZ ⊂ H.
3 Si n et m sont deux entiers relatifs alors : nZ ⊂ mZ ⇔ m|n.
4 Si n est un entier relatif alors : nZ = |n|Z.
5 Si n et m sont deux entiers relatifs alors : nZ = mZ ⇔ |m| = |n|.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Notation
Pour tout entier relatif n on note par nZ, l’ensemble nZ = {nk/k ∈ Z}.
Remarque
1 ∀n ∈ Z : nZ est un sous-groupe de Z.
2 Si H est un sous-groupe de (Z, +) alors : ∀n ∈ H, nZ ⊂ H.
3 Si n et m sont deux entiers relatifs alors : nZ ⊂ mZ ⇔ m|n.
4 Si n est un entier relatif alors : nZ = |n|Z.
5 Si n et m sont deux entiers relatifs alors : nZ = mZ ⇔ |m| = |n|.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Notation
Pour tout entier relatif n on note par nZ, l’ensemble nZ = {nk/k ∈ Z}.
Remarque
1 ∀n ∈ Z : nZ est un sous-groupe de Z.
2 Si H est un sous-groupe de (Z, +) alors : ∀n ∈ H, nZ ⊂ H.
3 Si n et m sont deux entiers relatifs alors : nZ ⊂ mZ ⇔ m|n.
4 Si n est un entier relatif alors : nZ = |n|Z.
5 Si n et m sont deux entiers relatifs alors : nZ = mZ ⇔ |m| = |n|.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Notation
Pour tout entier relatif n on note par nZ, l’ensemble nZ = {nk/k ∈ Z}.
Remarque
1 ∀n ∈ Z : nZ est un sous-groupe de Z.
2 Si H est un sous-groupe de (Z, +) alors : ∀n ∈ H, nZ ⊂ H.
3 Si n et m sont deux entiers relatifs alors : nZ ⊂ mZ ⇔ m|n.
4 Si n est un entier relatif alors : nZ = |n|Z.
5 Si n et m sont deux entiers relatifs alors : nZ = mZ ⇔ |m| = |n|.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Notation
Pour tout entier relatif n on note par nZ, l’ensemble nZ = {nk/k ∈ Z}.
Remarque
1 ∀n ∈ Z : nZ est un sous-groupe de Z.
2 Si H est un sous-groupe de (Z, +) alors : ∀n ∈ H, nZ ⊂ H.
3 Si n et m sont deux entiers relatifs alors : nZ ⊂ mZ ⇔ m|n.
4 Si n est un entier relatif alors : nZ = |n|Z.
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Définitions et propriétés
Sous-groupes de Z
Proposition
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
construction
Proposition
Soient (G , ∗) un groupe et H un sous-groupe de G. On définit une relation binaire R sur G par :
∀x, y ∈ G : xRy ⇔ x ∗ y−1 ∈ H
R est une relation d’équivalence sur G. on note par G /H l’ensemble G /R.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
construction
Proposition
Soient (G , ∗) un groupe et H un sous-groupe de G. On définit une relation binaire R sur G par :
∀x, y ∈ G : xRy ⇔ x ∗ y−1 ∈ H
R est une relation d’équivalence sur G.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
construction
Proposition
Soient (G , ∗) un groupe et H un sous-groupe de G. On définit une relation binaire R sur G par :
∀x, y ∈ G : xRy ⇔ x ∗ y−1 ∈ H
R est une relation d’équivalence sur G. on note par G /H l’ensemble G /R.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
construction
Remarque
1 ∀x ∈ G on note la classe de x modulo la relation R par x
2 ∀x ∈ G on a : x = H ∗ x est appelé la classe à droite modulo H.
3 On définit une relation binaire S sur G par :
∀x, y ∈ G : xSy ⇔ x−1∗ y ∈ H
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
construction
Remarque
1 ∀x ∈ G on note la classe de x modulo la relation R par x
2 ∀x ∈ G on a : x = H ∗ x est appelé la classe à droite modulo H.
3 On définit une relation binaire S sur G par :
∀x, y ∈ G : xSy ⇔ x−1∗ y ∈ H
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
construction
Remarque
1 ∀x ∈ G on note la classe de x modulo la relation R par x
2 ∀x ∈ G on a : x = H ∗ x est appelé la classe à droite modulo H.
3 On définit une relation binaire S sur G par :
∀x, y ∈ G : xSy ⇔ x−1∗ y ∈ H
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construction
Définition
1 Si G /H est fini, on dit que H est d’indice fini dans G.
2 Le cardinal de G /H est appelé l’indice de H dans G et noté [G : H].
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construction
Exemple
Soit n un entier naturel. On définit la relation de congruence modulo n par :
∀a, b ∈ Z : a ≡ b (modulo n) ⇔ a − b ∈ nZ 1) Si n = 0
Z/0Z = Z/{0} =
{{k}/k ∈ Z} 0Z = {0} est d’indice infini dans Z 2) Si n 6= 0
0, 1, ..., n − 1 sont distincts deux à deux. Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
construction
Exemple
Soit n un entier naturel. On définit la relation de congruence modulo n par :
∀a, b ∈ Z : a ≡ b (modulo n) ⇔ a − b ∈ nZ 1) Si n = 0
Z/0Z = Z/{0} = {{k }/k ∈ Z}
0Z = {0} est d’indice infini dans Z 2) Si n 6= 0
0, 1, ..., n − 1 sont distincts deux à deux. Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
construction
Exemple
Soit n un entier naturel. On définit la relation de congruence modulo n par :
∀a, b ∈ Z : a ≡ b (modulo n) ⇔ a − b ∈ nZ 1) Si n = 0
Z/0Z = Z/{0} = {{k }/k ∈ Z} 0Z = {0} est d’indice infini dans Z
2) Si n 6= 0
0, 1, ..., n − 1 sont distincts deux à deux. Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
construction
Exemple
Soit n un entier naturel. On définit la relation de congruence modulo n par :
∀a, b ∈ Z : a ≡ b (modulo n) ⇔ a − b ∈ nZ 1) Si n = 0
Z/0Z = Z/{0} = {{k }/k ∈ Z} 0Z = {0} est d’indice infini dans Z 2) Si n 6= 0
0, 1, ..., n − 1 sont distincts deux à deux.
Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.
Groupes Sous-groupes Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient Sous-groupe engendré Groupes monogènes et Groupes cycliques Le groupe symétriques
construction
Exemple
Soit n un entier naturel. On définit la relation de congruence modulo n par :
∀a, b ∈ Z : a ≡ b (modulo n) ⇔ a − b ∈ nZ 1) Si n = 0
Z/0Z = Z/{0} = {{k }/k ∈ Z} 0Z = {0} est d’indice infini dans Z 2) Si n 6= 0
0, 1, ..., n − 1 sont distincts deux à deux. Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.
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construction
Exemple
Soit n un entier naturel. On définit la relation de congruence modulo n par :
∀a, b ∈ Z : a ≡ b (modulo n) ⇔ a − b ∈ nZ 1) Si n = 0
Z/0Z = Z/{0} = {{k }/k ∈ Z} 0Z = {0} est d’indice infini dans Z 2) Si n 6= 0
0, 1, ..., n − 1 sont distincts deux à deux. Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.
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construction
Propriétés
1 ∀a ∈ H, a = H.
2 Si H = {e}, {e} est d’indice fini ssi G est fini et on a [G : {e}] = |G |.
3 G /H est la partition de G associée à la relation R.
4 Les éléments de G /H sont équipotents à H.
5 Si H est d’ordre fini alors tous les éléments de G /H sont finis et on a :
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construction
Propriétés
1 ∀a ∈ H, a = H.
2 Si H = {e}, {e} est d’indice fini ssi G est fini et on a [G : {e}] = |G |.
3 G /H est la partition de G associée à la relation R.
4 Les éléments de G /H sont équipotents à H.
5 Si H est d’ordre fini alors tous les éléments de G /H sont finis et on a :
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construction
Propriétés
1 ∀a ∈ H, a = H.
2 Si H = {e}, {e} est d’indice fini ssi G est fini et on a [G : {e}] = |G |.
3 G /H est la partition de G associée à la relation R.
4 Les éléments de G /H sont équipotents à H.
5 Si H est d’ordre fini alors tous les éléments de G /H sont finis et on a :
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construction
Propriétés
1 ∀a ∈ H, a = H.
2 Si H = {e}, {e} est d’indice fini ssi G est fini et on a [G : {e}] = |G |.
3 G /H est la partition de G associée à la relation R.
4 Les éléments de G /H sont équipotents à H.
5 Si H est d’ordre fini alors tous les éléments de G /H sont finis et on a :
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construction
Propriétés
1 ∀a ∈ H, a = H.
2 Si H = {e}, {e} est d’indice fini ssi G est fini et on a [G : {e}] = |G |.
3 G /H est la partition de G associée à la relation R.
4 Les éléments de G /H sont équipotents à H.
5 Si H est d’ordre fini alors tous les éléments de G /H sont finis et on a :
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construction
Théorème
Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Alors : G est d’ordre fini si et seulement si H est d’ordre fini et H est d’indice fini dans G. et on a :
|G | = [G : H]|H| Cette formule est appelée formule de Lagrange.
Corollaire
Soient G un groupe et H un sous-groupe de G ;
S G est d’ordre fini alors l’ordre de H et l’indice de H dans G sont des diviseurs de |G |.
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Théorème
Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Alors : G est d’ordre fini si et seulement si H est d’ordre fini et H est d’indice fini dans G. et on a :
|G | = [G : H]|H| Cette formule est appelée formule de Lagrange. Corollaire