« Journée des mathématiques » Mont de Marsan, 18 mars 2015
Atelier A, cycle 3: un atelier réglette de Neper (APMEP)
Michel Vigier
Les réglettes n’ayant qu’un intérêt historique, dans cet atelier nous avons présenté différentes
TECHNIQUES OPERATOIRES DE LA MULTIPLICATION
1. Remarques préliminaire :
a) La distributivité de la multiplication par rapport à l'addition, qui justifie la technique employée, est au programme de 5ème.
Rappel: (a + b) (c + d) = (ac + ad + bc + bd) ou encore dans l’exemple suivant:
72 x 38 = (70 + 2) (30 + 8) = 70x30 + 70x8 + 2x30 + 2x8
b) Selon Fahrenfort , la reconnaissance des visages n’est possible que
lorsque l’information est stable. Dans l’étude Les neurosciences et les maths nous conjecturons (p. 4 – 6) qu’il en va de même pour les notions mathématiques ; laisser une zone d'ombre dans la démonstration rendrait difficile l’assimilation d’une notion donnée. Il conviendrait donc d’expliciter la distributivité, sans utiliser le mot, par une démarche d’investigation compréhensible par un enfant de 7-8 ans. c) Le carré de salades :
C’est la première étape : la multiplication apparaît comme un artifice de l’addition ; 3 et 3 et 3 et 3, soit 3 + 3 + 3 + 3, soit encore, à l’aide des tables apprises, 4 x 3 = 12
2. Les cordelettes
C’est la deuxième étape : Le carré de salades n’est pas une présentation généralisatrice d’une technique de calcul.
Nous avons besoin d’un outil conceptuel. La technique des cordelettes, elle, permet une abstraction.
Les salades deviennent des nœuds ou, de façon plus abstraite encore, des intersections ; cependant, le support concret peut-être manipulé pour représenter différentes situations.
Notre exemple initial présente un inconvénient. Il faudrait 72 cordelettes représentées horizontalement et 38 représentées verticalement ! La technique a ses limites. Cependant, si, conventionnellement, une cordelette de couleur mauve représente 10 cordelettes de couleur jaune, la représentation en est simplifiée ; ainsi pour 14 x 13 :
Et, dans l’exemple choisi, à l’aide des tables apprises, nous pouvons faire le décompte des intersections des cordelettes: Jaune – Jaune : 8 x 2 = 16 Jaune – Mauve : 8 x 70 = 560 Mauve - Jaune : 30 x 2 = 60 Mauve - Mauve: 30 x 70 = 2 100 Total : 2 736 3. Le boulier :
L’outil pédagogique « boulier didactique », basé, bien sûr, sur le Suanpan est présenté dans l’article 639 de MathemaTICE (Sesamath), Constructivisme et boulier didactique et le boulier didactique virtuel1est disponible en ligne.
Soit, en l’utilisant dans notre exemple et en inversant multiplicande et multiplicateur, pour contourner le bug sur les deux quinaires mauves à l’extrême gauche, 38 x 72 au lieu de 72 x 38
Nous multiplions les unités avec les unités, puis les unités avec les dizaines, puis les dizaines avec les unités, enfin les dizaines avec les dizaines. Le cumul des résultats intermédiaires s’effectue à l’emplacement habituel (unités en jaune)
Nous obtenons bien 2 736
Mais, attention ! Le boulier ne sert, ici, que d’illustration de la
distributivité ; en effet, on n’effectue pas, au boulier, les multiplications, ainsi. La lourdeur de l’écriture des facteurs à gauche, impose, soit de les écrire sur une feuille de papier à côté de l’outil, soit, beaucoup mieux de faire la multiplication comme en calcul mental, soit ici :
4. La multiplication posée « à la grecque »
Nous retrouvons le résultat final, mais surtout les résultats intermédiaires des premières approches.
5. Notre multiplication posée conventionnelle
Nous retrouvons le résultat final, et le cumul partiel des résultats intermédiaires ; c’est plus condensé, mais cela introduit des retenues …
Les différentes étapes, ou paliers d’abstractions vers la technique finale, facilitent un apprentissage qui sera définitivement ancré.
La découverte de Fahrenfort (références ci-dessus), semble suggérer que la validation des différents paliers d’abstraction, lors de la construction d’une notion ou d’une technique, est «nécessaire » pour l’appropriation définitive de la présentation finale. Ensuite, on ne fera plus appel à ces différentes étapes. Oubliées ? Non, mais stockées. Le cerveau acceptera alors les automatismes2 de la présentation finale. Dis autrement : On ne mémorise bien que ce que l’on a compris. C’est l’avantage de la mémoire procédurale par rapport à la mémoire déclarative.
2
1. Rappels historiques a) Les jalousies
Cette technique arabe du Moyen Age s’inspire des volets orientaux dont les lames sont inclinées. Elle a été améliorée pour donner notre technique opératoire actuelle. Elle est donc encore plus compliquée ! Deux exemples dont celui choisi lors de l’atelier:
b) Les réglettes de Neper (ou Napier) C’est la même technique où il n’y a pas besoin de connaître ses tables puisqu’elles apparaissent sur les réglettes (quelques exemples ci-joints)!
c) Les baguettes chinoises dans un damier: Avec un peu plus de temps,
nous aurions pu aussi parler des baguettes chinoises et de la technique de
multiplication qui est très proche de celle du boulier. A l’origine les chinois
utilisaient une poignée de baguettes de bambou (271 exactement) de longueur 14 cm environ. Les cures dents, un peu plus courts
conviennent bien pour un format A4 divisé en 9 cellules (comme un damier). La disposition des baguettes sera celle adoptée dans le livre « Méthode des
Abaques », Editions abacus, page 17. Le cumul des
résultats intermédiaires s’effectue dans les cellules de la ligne du milieu. Nous n'indiquons, dans cette représentation de damier, que les chiffres arabo-indiens dans le cas de la multiplication 38 x 13.
